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Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilité d’un événement et événement contraire, probabilité conditionnelle avec un tableau croisé, probabilités composées, arbres pondérés, tests de dépistage, indépendance et répétition de n ⩽ 4 épreuves de Bernoulli, sans calculatrice.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 1re (tronc commun) traite les probabilités conditionnelles en quatre cas : les rappels de seconde (probabilité d’un événement, contraire, équiprobabilité, « et », « ou »), la probabilité conditionnelle lue dans un tableau croisé avec les probabilités composées, les arbres pondérés et les tests de dépistage (sensibilité, spécificité, faux positifs), puis l’indépendance et la répétition de deux à quatre épreuves de Bernoulli. Chaque cas a ses exemples rédigés, un réflexe, un piège et une mission d’entraînement.

Automatismes : probabilité d’un événement, contraire, équiprobabilité

Ce qu’il faut savoir

Vocabulaire. Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles ; leur ensemble est l’univers $Ω$ . Un événement est un ensemble d’issues : il est réalisé si l’issue obtenue en fait partie.

Probabilité. Une probabilité est un nombre compris entre $0$ et $1$ : $0$ pour l’événement impossible $\emptyset$ , $1$ pour l’événement certain $Ω$ . La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ , et la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent.

Équiprobabilité. Si toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, tirage « au hasard »), $P (A) = \frac{C a r d (A)}{C a r d (Ω)}$ , où $C a r d$ désigne le nombre d’éléments. Choisir un individu au hasard dans une population revient à prendre pour probabilité la proportion des individus concernés.

Contraire, « et », « ou ». L’événement contraire $\overset{―}{A}$ (« non $A$ ») regroupe les issues qui ne sont pas dans $A$ : $P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A)$ . L’intersection $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisée quand les deux événements le sont ; la réunion $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») quand au moins l’un des deux l’est. $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ . Le contraire de $A \cup B$ est $\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}$ (« ni $A$ ni $B$ »).

Loi des grands nombres. Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée d’un événement est, sauf exception, proche de sa probabilité. On l’observe en simulant l’expérience avec Python ou un tableur.

Exemples

Équiprobabilité. On tire au hasard une carte parmi $12$ cartes numérotées de $1$ à $12$ . $A$ : « le numéro est un multiple de $3$ », $A = {3; 6; 9; 12}$ , donc $P (A) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ et $P (\overset{―}{A}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ . $B$ : « le numéro est supérieur ou égal à $10$ », $B = {10; 11; 12}$ , donc $P (B) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ .

« Et », « ou ». $A \cap B = {12}$ , donc $P (A \cap B) = \frac{1}{12}$ . $A \cup B = {3; 6; 9; 10; 11; 12}$ : le $12$ n’est compté qu’une fois, donc $P (A \cup B) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ . « Ni $A$ ni $B$ » a pour probabilité $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

Somme des issues. Un service client classe ses appels : facturation avec la probabilité $0, 35$ , panne $0, 42$ , résiliation $0, 1$ , autre motif $p$ . La somme des probabilités vaut $1$ et $0, 35 + 0, 42 + 0, 1 = 0, 87$ , donc $p = 1 - 0, 87 = 0, 13$ . La probabilité qu’un appel ne concerne pas une panne vaut $1 - 0, 42 = 0, 58$ .

Dans une population. Un club de théâtre compte $40$ adhérents, dont $14$ ont moins de $18$ ans. On choisit un adhérent au hasard : la probabilité qu’il ait moins de $18$ ans vaut $\frac{14}{40} = 0, 35$ .

Réflexe — Je vérifie que les issues sont équiprobables avant de compter ; dès que je lis « ne … pas », « aucun » ou « au moins un », je pense à l’événement contraire.

Attention — Une probabilité n’est jamais négative ni supérieure à $1$ : un résultat comme $1, 2$ signale une erreur. Et « $A$ ou $B$ » n’est pas exclusif : ici $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$ n’est pas $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ , car le $12$ serait compté deux fois.

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Probabilité conditionnelle : tableau croisé et probabilités composées

Ce qu’il faut savoir

Définition. Soit $A$ et $B$ deux événements d’une même expérience, avec $P (A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ . On sait que $A$ est réalisé : on réduit l’univers à $A$ . C’est un nombre compris entre $0$ et $1$ .

Lire la notation. L’indice est la condition (ce que l’on sait), la parenthèse contient l’événement étudié. « Sachant que », « parmi », « chez les », « si » annoncent la condition : elle va en indice, jamais dans une intersection.

Avec un tableau croisé d’effectifs. On choisit un individu au hasard. $P (A)$ : total de la ligne (ou de la colonne) de $A$ divisé par l’effectif total. $P (A \cap B)$ : effectif de la case commune divisé par l’effectif total. $P_{A} (B) = \frac{C a r d (A \cap B)}{C a r d (A)}$ : effectif de la case commune divisé par le total de la ligne (ou de la colonne) de $A$ .

Probabilités composées. En multipliant la définition par $P (A)$ : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ . De même, si $P (B) \neq 0$ : $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A)$ .

Contraire sous condition. Une fois la condition fixée, les règles habituelles restent vraies : $P_{A} (\overset{―}{B}) = 1 - P_{A} (B)$ .

Exemples

Un cinéma a interrogé ses $320$ spectateurs d’une journée. $A$ : « le spectateur est abonné », $S$ : « il assiste à la séance du soir ». On choisit un spectateur au hasard.

	Soir $S$	Après-midi	Total
Abonné $A$	96	32	128
Non abonné	84	108	192
Total	180	140	320

Probabilités « simples ». $P (A) = \frac{128}{320} = 0, 4$ et $P (A \cap S) = \frac{96}{320} = 0, 3$ .

Sachant $A$ . $P_{A} (S) = \frac{0, 3}{0, 4} = 0, 75$ ; on le lit aussi sur la seule ligne des abonnés : $\frac{96}{128} = 0, 75$ . Donc $P_{A} (\overset{―}{S}) = 1 - 0, 75 = 0, 25$ .

Sachant $S$ . $P_{S} (A) = \frac{96}{180} = \frac{8}{15} \approx 0, 53$ : cette fois, on ne garde que la colonne du soir.

Probabilités composées. Dans un réseau de bus, $45 %$ des usagers sont abonnés ( $B$ ) et, parmi les abonnés, $60 %$ voyagent aux heures de pointe ( $H$ ). Donc $P (B \cap H) = 0, 45 \times 0, 6 = 0, 27$ : $27 %$ des usagers sont des abonnés qui voyagent aux heures de pointe.

Réflexe — Je repère la condition (« sachant », « parmi », « chez les ») : c’est l’indice, et son effectif (ou sa probabilité) va au dénominateur.

Attention — $P_{A} (S) = 0, 75$ et $P_{S} (A) \approx 0, 53$ ne disent pas la même chose : même numérateur $96$ , dénominateurs différents. Et $P (A \cap S) = 0, 3$ se calcule sur tous les spectateurs, pas seulement sur les abonnés.

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Arbres pondérés et tests de dépistage

Ce qu’il faut savoir

Construire l’arbre. Au premier niveau, les événements dont l’énoncé donne la probabilité « sur l’ensemble » (souvent $A$ et $\overset{―}{A}$ , parfois trois cas ou plus) ; au second niveau, l’événement étudié et son contraire, avec les probabilités « parmi … ». Chaque branche porte la probabilité de l’événement où elle arrive, sachant tout ce qui la précède : la branche de $A$ vers $B$ porte $P_{A} (B)$ .

Les trois règles. La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$ . La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ . La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent : $P (B) = P (A \cap B) + P (\overset{―}{A} \cap B)$ .

Inverser la condition. Pour $P_{B} (A)$ , on applique la définition : $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ , avec $P (A \cap B)$ lu au bout d’un chemin et $P (B)$ obtenu en additionnant des chemins.

Tirages successifs. Avec remise, le second tirage se fait dans la même urne : ses probabilités ne dépendent pas du premier. Sans remise, l’urne a perdu un objet : les probabilités du second niveau dépendent du premier tirage. Par exemple, dans un sac de $8$ billes dont $3$ bleues, deux billes bleues tirées sans remise ont pour probabilité $\frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$ , contre $\frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}$ avec remise.

Arbre ou tableau. En imaginant une population de $1 000$ ou $10 000$ individus, on remplace les probabilités par des effectifs : l’arbre devient un tableau croisé, souvent plus facile à lire.

Tests de dépistage. $M$ : « la personne est malade », $T$ : « le test est positif ». La sensibilité du test est $P_{M} (T)$ , sa spécificité est $P_{\overset{―}{M}} (\overset{―}{T})$ . Un faux positif est une personne non malade testée positive ; un faux négatif, une personne malade testée négative. Ce qui intéresse une personne testée positive est $P_{T} (M)$ , qui peut être faible quand la maladie est rare.

Exemples

Somme des chemins. Un fabricant assemble ses téléphones dans deux usines : $60 %$ dans l’usine $U_{1}$ , $40 %$ dans l’usine $U_{2}$ . L’écran est défectueux ( $D$ ) pour $2 %$ des téléphones de $U_{1}$ et pour $5 %$ de ceux de $U_{2}$ . On choisit un téléphone au hasard.

Deux chemins mènent à $D$ : $P (D) = 0, 012 + 0, 02 = 0, 032$ . Ainsi $3, 2 %$ des téléphones ont un écran défectueux.

Inverser. Un téléphone a un écran défectueux : $P_{D} (U_{1}) = \frac{0, 012}{0, 032} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} = 0, 375$ . L’usine $U_{1}$ fabrique $60 %$ des téléphones, mais seulement $37, 5 %$ des écrans défectueux.

Test de dépistage. Une maladie touche $2 %$ d’une population. Un test a une sensibilité de $95 %$ et une spécificité de $97 %$ . Sur $10 000$ personnes : $200$ malades, dont $200 \times 0, 95 = 190$ testés positifs ; $9 800$ non malades, dont $9 800 \times 0, 03 = 294$ faux positifs. Il y a $190 + 294 = 484$ tests positifs, et $P_{T} (M) = \frac{190}{484} \approx 0, 39$ . Comme $0, 4 \times 484 = 193, 6$ dépasse $190$ , moins de $4$ personnes positives sur $10$ sont malades, alors que $P_{M} (T) = 0, 95$ .

Réflexe — Au premier niveau de l’arbre, je place ce que l’énoncé donne « sur l’ensemble » ; au second, les pourcentages « parmi … ». Je vérifie que chaque nœud fait $1$ , je multiplie le long des chemins et j’additionne les chemins utiles.

Attention — $P_{A} (B)$ est écrite sur une branche, $P (A \cap B)$ au bout d’un chemin. Additionner $0, 02$ et $0, 05$ n’a aucun sens : ces probabilités n’ont pas la même condition. Et la sensibilité $P_{M} (T)$ n’est pas $P_{T} (M)$ .

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Indépendance et répétition d’épreuves de Bernoulli

Ce qu’il faut savoir

Indépendance. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ . Si $P (A) \neq 0$ , cela revient à $P_{A} (B) = P (B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ .

Justifier ou utiliser. Pour justifier une indépendance, on calcule $P (A \cap B)$ et $P (A) \times P (B)$ , puis on compare. Pour utiliser l’indépendance (lancers successifs, tirages avec remise, appareils qui fonctionnent séparément), il faut qu’elle soit donnée par l’énoncé ou démontrée : alors on multiplie.

Propriété. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overset{―}{B}$ le sont aussi, ainsi que $\overset{―}{A}$ et $\overset{―}{B}$ . En effet, $A$ est la réunion des événements incompatibles $A \cap B$ et $A \cap \overset{―}{B}$ , donc $P (A \cap \overset{―}{B}) = P (A) - P (A \cap B)$ . Par indépendance, $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ , d’où $P (A \cap \overset{―}{B}) = P (A) (1 - P (B))$ , c’est-à-dire $P (A) \times P (\overset{―}{B})$ .

Épreuve de Bernoulli. C’est une expérience à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p$ , et l’échec $\overset{―}{S}$ , de probabilité $1 - p$ .

Répétition de $n ⩽ 4$ épreuves identiques et indépendantes. On la représente par un arbre à $n$ niveaux, qui compte $2^{n}$ chemins ( $4$ , $8$ ou $16$ ) ; chaque branche « succès » porte $p$ , chaque branche « échec » porte $1 - p$ . Un chemin à $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^{k} \times (1 - p)^{n - k}$ : pour « exactement $k$ succès », on compte ces chemins et on multiplie. « Au moins un succès » est le contraire de « aucun succès » : sa probabilité vaut $1 - (1 - p)^{n}$ .

Exemples

Indépendance. On tire au hasard un jeton parmi $20$ jetons numérotés de $1$ à $20$ . $A$ : « le numéro est un multiple de $5$ » ( $4$ numéros), $B$ : « le numéro est pair » ( $10$ numéros). $P (A) = 0, 2$ , $P (B) = 0, 5$ et $A \cap B = {10; 20}$ , donc $P (A \cap B) = 0, 1$ . Or $0, 2 \times 0, 5 = 0, 1$ : $A$ et $B$ sont indépendants.

Non-indépendance. $C$ : « le numéro est un multiple de $4$ » ( $5$ numéros), $D$ : « le numéro est supérieur ou égal à $11$ » ( $10$ numéros). $C \cap D = {12; 16; 20}$ , donc $P (C \cap D) = 0, 15$ , alors que $0, 25 \times 0, 5 = 0, 125$ : $C$ et $D$ ne sont pas indépendants.

Trois épreuves. Un archer atteint la cible ( $S$ ) avec la probabilité $0, 4$ ; ses tirs sont indépendants. Il tire $3$ flèches.

• Trois succès : un seul chemin, $0, 4^{3} = 0, 064$ .

• Aucun succès : $0, 6^{3} = 0, 216$ , donc au moins un succès : $1 - 0, 216 = 0, 784$ .

• Exactement deux succès : $3$ chemins ( $S S \overset{―}{S}$ , $S \overset{―}{S} S$ et $\overset{―}{S} S S$ ), chacun de probabilité $0, 4^{2} \times 0, 6 = 0, 096$ , d’où $3 \times 0, 096 = 0, 288$ .

Quatre épreuves. Une imprimante 3D rate une impression avec la probabilité $0, 1$ , indépendamment des autres. Sur $4$ impressions, aucune n’est ratée avec la probabilité $0, 9^{4} = 0, 81^{2} = 0, 656 1$ ; au moins une est ratée avec la probabilité $1 - 0, 656 1 = 0, 343 9$ .

Réflexe — Pour l’indépendance, je compare $P (A \cap B)$ et $P (A) \times P (B)$ . Pour une répétition, je vérifie « identiques et indépendantes », je compte les chemins, et pour « au moins un » je passe par « aucun ».

Attention — « Indépendants » n’est pas « incompatibles » : deux événements incompatibles de probabilités non nulles vérifient $P (A \cap B) = 0$ , alors que $P (A) \times P (B) > 0$ : ils ne sont jamais indépendants. Et pour l’archer, « au moins un succès » n’est pas $3 \times 0, 4 = 1, 2$ , qui dépasse $1$ .

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Pour aller plus loin

Formule des probabilités totales. Additionner les chemins qui mènent à $B$ s’écrit, quand $A_{1}$ , …, $A_{n}$ forment une partition de l’univers, $P (B) = P (A_{1} \cap B) + \dots + P (A_{n} \cap B)$ . Cette écriture générale est étudiée en spécialité : Probabilités conditionnelles (1re spécialité).

Rappels de seconde. Univers, équiprobabilité, premiers tableaux croisés et arbres : Probabilités et échantillonnage (2nde).

Fréquences conditionnelles. Dans un tableau croisé, la probabilité conditionnelle d’un individu choisi au hasard est la fréquence conditionnelle « parmi … » : Statistique à deux caractères : tableaux croisés, nuage de points, ajustement affine. Le pourcentage d’un pourcentage, qui correspond à $P (A) \times P_{A} (B)$ : Automatismes : proportions et pourcentages.

Nombre de succès. Compter les succès sur un grand nombre de répétitions mène à la loi binomiale, étudiée en terminale en spécialité ou en option maths complémentaires ; en tronc commun, on s’arrête à $n ⩽ 4$ épreuves.

L’épreuve. Probabilité d’un événement contraire, probabilité conditionnelle lue dans un tableau croisé ou un arbre, et distinction entre $P (A \cap B)$ , $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ sont des automatismes évalués sans calculatrice dans la première partie de l’épreuve anticipée. Les autres automatismes : Automatismes : calcul numérique, calcul littéral et géométrie.

À retenir

Une probabilité est comprise entre $0$ et $1$ ; $P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A)$ ; en équiprobabilité, $P (A) = \frac{C a r d (A)}{C a r d (Ω)}$ .
$P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ : la condition est en indice et va au dénominateur ; dans un tableau croisé, on divise par le total de la ligne ou de la colonne de $A$ . En général, $P_{A} (B) \neq P_{B} (A)$ .
Probabilités composées : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ . Sur un arbre, on multiplie le long d’un chemin et on additionne les chemins qui mènent à un événement.
$A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ; deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Répétition de $n ⩽ 4$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes : un chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; au moins un succès : $1 - (1 - p)^{n}$ .

Questions fréquentes

Comment calculer la probabilité de l’événement contraire ?

On utilise P(non A) = 1 − P(A). C’est le réflexe dès que l’énoncé dit « ne … pas », « aucun » ou « au moins un » : par exemple, si P(A) = 0,37, alors P(non A) = 0,63. En équiprobabilité, P(A) est le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues.

Comment calculer une probabilité conditionnelle avec un tableau croisé ?

La probabilité de B sachant A vaut P(A ∩ B) ÷ P(A). Dans un tableau croisé d’effectifs, on divise l’effectif de la case « A et B » par le total de la ligne ou de la colonne de A : on ne compte plus que les individus de A. Inverser la condition change le dénominateur, donc le résultat.

Comment utiliser un arbre pondéré ?

Chaque branche porte la probabilité de l’événement où elle arrive, sachant tout ce qui la précède ; les branches issues d’un même nœud ont pour somme 1. On multiplie les probabilités le long d’un chemin, et on additionne les chemins qui mènent à un même événement.

Quelle est la différence entre événements indépendants et incompatibles ?

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B. Ils sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser ensemble. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Comment calculer la probabilité d’au moins un succès sur plusieurs épreuves ?

Si l’on répète n fois (n ⩽ 4 en 1re) la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante, « aucun succès » correspond à un seul chemin, de probabilité (1 − p)ⁿ. « Au moins un succès » en est le contraire : 1 − (1 − p)ⁿ. Par exemple, avec p = 0,4 et 3 essais : 1 − 0,6³ = 0,784.

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