Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilité sachant un événement, arbres pondérés et indépendance — 1re sans spé maths
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Probabilités conditionnelles et indépendance » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels de probabilités, Probabilité conditionnelle : P sachant A, Arbres pondérés : multiplier et additionner, Formule des probabilités totales (cas simples). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
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Rappels de probabilités
On étudie une expérience aléatoire avec un nombre fini d'issues. Un événement est un ensemble d'issues, et sa probabilité $P$ est un nombre compris entre $0$ et $1$.
À connaître.
• $P(\Omega)=1$ (l'événement certain) et $P(\varnothing)=0$ (l'événement impossible)
• $P(\bar{A})=1-P(A)$ ($\bar{A}$ est le contraire de $A$)
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• En situation d'équiprobabilité : $P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$
• $P(\Omega)=1$ (l'événement certain) et $P(\varnothing)=0$ (l'événement impossible)
• $P(\bar{A})=1-P(A)$ ($\bar{A}$ est le contraire de $A$)
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• En situation d'équiprobabilité : $P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$
Exemple. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Il y a 8 cœurs et 4 as.
$P(\text{cœur})=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$ et $P(\text{as})=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.
Comme il y a 1 as de cœur : $P(\text{cœur ou as})=\dfrac{8+4-1}{32}=\dfrac{11}{32}$.
$P(\text{cœur})=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$ et $P(\text{as})=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.
Comme il y a 1 as de cœur : $P(\text{cœur ou as})=\dfrac{8+4-1}{32}=\dfrac{11}{32}$.
Astuce. Le mot « et » correspond à l'intersection $A\cap B$ ; le mot « ou » correspond à l'union $A\cup B$.
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Probabilité conditionnelle : P sachant A
Définition. Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A)\gt 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est :
$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
C'est la probabilité que $B$ se réalise, sachant que $A$ est déjà réalisé.
On « se place à l'intérieur » de $A$ : parmi les cas où $A$ est réalisé, quelle proportion réalise aussi $B$ ?
Formule du produit. En multipliant des deux côtés par $P(A)$, on obtient une formule très utile :
$$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$$
C'est exactement ce qu'on fait sur un arbre pondéré (section 3).
Attention ! $P_A(B)$ et $P_B(A)$ ne sont pas la même chose. « La proba d'être malade sachant le test positif » est différente de « la proba que le test soit positif sachant qu'on est malade ».
Exemple. Dans une classe de 30 élèves, 18 font du sport ($S$), et parmi eux 6 jouent aussi de la musique ($M$). On choisit un élève au hasard.
$P(S)=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$ et $P(S\cap M)=\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}$.
$P_S(M)=\dfrac{P(S\cap M)}{P(S)}=\dfrac{1/5}{3/5}=\dfrac{1}{3}$.
Parmi les sportifs, 1 sur 3 fait de la musique.
$P(S)=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$ et $P(S\cap M)=\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}$.
$P_S(M)=\dfrac{P(S\cap M)}{P(S)}=\dfrac{1/5}{3/5}=\dfrac{1}{3}$.
Parmi les sportifs, 1 sur 3 fait de la musique.
Parmi les 18 sportifs, 6 font aussi de la musique : P(M sachant S) = 6/18 = 1/3
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Arbres pondérés : multiplier et additionner
Un arbre pondéré est l'outil le plus simple pour résoudre un problème de probabilités. Sur chaque branche, on écrit une probabilité (souvent conditionnelle).
| Règle | Ce qu'on fait |
|---|---|
| Le long d'un chemin | On multiplie les probabilités des branches |
| Plusieurs chemins vers un même résultat | On additionne les probabilités des chemins |
| Branches qui partent d'un même point | Leur somme vaut toujours $1$ |
Exemple. Un sac contient 5 boules rouges (R) et 3 boules vertes (V). On tire deux boules sans remise.
1er tirage : $P(R_1)=\dfrac{5}{8}$.
Après une rouge, il reste 4R et 3V, donc $P_{R_1}(R_2)=\dfrac{4}{7}$.
Le long du chemin R puis R : $P(R_1\cap R_2)=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{56}=\dfrac{5}{14}$.
1er tirage : $P(R_1)=\dfrac{5}{8}$.
Après une rouge, il reste 4R et 3V, donc $P_{R_1}(R_2)=\dfrac{4}{7}$.
Le long du chemin R puis R : $P(R_1\cap R_2)=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{56}=\dfrac{5}{14}$.
Les 4 chemins de l'arbre : on multiplie les branches d'un chemin, on additionne les chemins
Astuce. Un arbre bien construit évite toutes les formules compliquées : il suffit de multiplier le long des branches et d'additionner les chemins.
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Formule des probabilités totales (cas simples)
Souvent un événement $B$ peut se produire de deux façons : soit $A$ est réalisé, soit son contraire $\bar{A}$. On rassemble alors les deux chemins de l'arbre qui mènent à $B$.
Formule des probabilités totales (cas $A$ / $\bar{A}$).
$$P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(B)$$
Autrement dit : on additionne les deux chemins de l'arbre qui aboutissent à $B$.
Exemple. Une usine a deux machines. La machine 1 fabrique 60 % des pièces, la machine 2 en fabrique 40 %. Le taux de défaut est de 2 % pour la machine 1 et de 5 % pour la machine 2. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?
On note $M_1$ = « fabriquée par la machine 1 » et $D$ = « défectueuse ».
$P(D)=P(M_1)\times P_{M_1}(D)+P(M_2)\times P_{M_2}(D)$
$P(D)=0{,}6\times 0{,}02+0{,}4\times 0{,}05=0{,}012+0{,}020=0{,}032$.
La probabilité est donc $0{,}032$, soit $3{,}2\,\%$.
On note $M_1$ = « fabriquée par la machine 1 » et $D$ = « défectueuse ».
$P(D)=P(M_1)\times P_{M_1}(D)+P(M_2)\times P_{M_2}(D)$
$P(D)=0{,}6\times 0{,}02+0{,}4\times 0{,}05=0{,}012+0{,}020=0{,}032$.
La probabilité est donc $0{,}032$, soit $3{,}2\,\%$.
Chaque machine apporte sa part au total : 1,2 % + 2,0 % = 3,2 %
Astuce. Pour retrouver la formule, repérez tous les chemins de l'arbre qui finissent par $B$, multipliez chaque chemin, puis additionnez.
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Indépendance de deux événements
Définition. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque :
$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$
Cela signifie que savoir si $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ : $P_A(B)=P(B)$.
Exemple. On lance deux dés équilibrés. $A$ = « le premier dé donne un nombre pair » et $B$ = « le second dé donne 6 ».
$P(A)=\dfrac{1}{2}$, $P(B)=\dfrac{1}{6}$, et $P(A\cap B)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$.
$P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}=P(A\cap B)$.
Donc $A$ et $B$ sont indépendants : c'est logique, les deux dés ne s'influencent pas.
$P(A)=\dfrac{1}{2}$, $P(B)=\dfrac{1}{6}$, et $P(A\cap B)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$.
$P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}=P(A\cap B)$.
Donc $A$ et $B$ sont indépendants : c'est logique, les deux dés ne s'influencent pas.
Attention — ne pas confondre ! « Indépendants » n'est pas « incompatibles ». Deux événements incompatibles ($A\cap B=\varnothing$) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, car alors $P(A\cap B)=0$ alors que $P(A)\times P(B)\gt 0$.
Astuce — tirage avec ou sans remise. Un tirage avec remise donne des événements indépendants (la situation est remise à zéro). Un tirage sans remise rend les événements dépendants (la composition change).
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Méthode : choisir le bon outil
| Ce qu'on cherche | Outil à utiliser |
|---|---|
| Une proba « sachant que… » | $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ |
| Une intersection $P(A\cap B)$ | Multiplier le long du chemin : $P(A)\times P_A(B)$ |
| $P(B)$ quand $B$ vient de $A$ ou $\bar{A}$ | Probabilités totales (additionner les chemins) |
| Vérifier l'indépendance | Tester $P(A\cap B)\stackrel{?}{=}P(A)\times P(B)$ |
Astuce générale. Commencez toujours par nommer les événements avec des lettres ($A$, $B$, $D$…), écrivez les probabilités données, puis faites un arbre. L'arbre permet presque toujours de répondre sans formule compliquée.
Carte mentale des quatre outils essentiels du sans spé
À retenir
- En bref — Probabilités conditionnelles (sans spé) :
- $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ si $P(A)\gt 0$ (proba de $B$ sachant $A$)
- Formule du produit : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$
- Arbre : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins
- Probabilités totales : $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(B)$
- Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$
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