Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Fiche de révision : automatismes maths

Fractions, puissances, écriture scientifique, ordres de grandeur et unités ; développer, factoriser, isoler une variable ; aires, volumes, Pythagore, Thalès et trigonométrie, sans calculatrice.

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benprofparticulier.frMathématiques · Première

Automatismes : calcul numérique, calcul littéral, géométrie

Fiche méthode

(Maths 1re (tronc commun) · Automatismes · Épreuve anticipée)

La démarche pour une question d’automatismes

1. Je repère le domaine de la question : fractions, puissances, unités, expression à développer ou à factoriser, formule, triangle, aire ou volume.

2. J’estime l’ordre de grandeur du résultat attendu (et, dans un QCM, j’élimine les choix impossibles).

3. Je calcule à la main en écrivant les étapes : dénominateur commun, même base, formule puis valeurs remplacées.

4. Je contrôle : unité, vraisemblance, ou valeur simple de $x$ remplacée dans les deux écritures.

Le réflexe — sans calculatrice, chaque résultat se contrôle : ordre de grandeur, unité, ou valeur simple remplacée dans les deux écritures.

Cas 1 · Calculer sans calculatrice : fractions, puissances, unités

Réflexe — fractions : dénominateur commun pour ajouter, inverse pour diviser ; puissances : même base ; conversions : égalité de référence d’abord.

Exemple 1. Questions types : « Le nombre … est égal à », « Convertir … ». Exemple : $\frac{5}{12} + \frac{3}{8}$ , puis $45$ min en heures.

Dénominateur commun $24$ : $\frac{5}{12} + \frac{3}{8} = \frac{10}{24} + \frac{9}{24} = \frac{19}{24}$ , irréductible.

$45$ min $= \frac{45}{60}$ h $= \frac{3}{4}$ h, soit $0, 75$ h.

Exemple 2. Exemple : écrire $\frac{(10^{2})^{3}}{10^{- 1}}$ sous la forme d’une puissance de $10$ .

$(10^{2})^{3} = 10^{6}$ (on multiplie les exposants), puis $\frac{10^{6}}{10^{- 1}} = 10^{6 + 1} = 10^{7}$ (on soustrait les exposants : $6 - (- 1) = 7$ ).

Attention — « 1 h 45 min = 1,45 h » est faux : 1 h 45 min = 1,75 h.

Cas 2 · Développer, factoriser, isoler une variable

Réflexe — identité remarquable d’abord ; pour factoriser, facteur commun puis identité ; pour isoler, la même opération des deux côtés.

Exemple 1. Questions types : « La forme développée de … est », « Une forme factorisée de … est », « Alors $h$ est égal à ». Exemple : développer $(6 x - 1)^{2}$ .

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ avec $a = 6 x$ et $b = 1$ : $(6 x - 1)^{2} = 36 x^{2} - 12 x + 1$ .

Exemple 2. Exemple : isoler $Δ T$ dans $Q = m c Δ T$ (énergie reçue par un corps qui s’échauffe).

On divise les deux membres par $m c$ , non nul : $Δ T = \frac{Q}{m c}$ .

Attention — « (6x − 1)² = 36x² − 1 » oublie le double produit 2 × 6x × 1.

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Cas 3 · Calculer une longueur, une aire, un volume

Réflexe — triangle rectangle : Pythagore ou trigonométrie ; parallèles : Thalès ; aire ou volume : formule, puis valeurs dans la même unité.

Exemple 1. Questions types : « La longueur … est égale à », « Le volume … est ». Exemple : un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de $1, 5$ m et $2$ m. Longueur de l’hypoténuse ?

D’après le théorème de Pythagore, $h^{2} = 1, 5^{2} + 2^{2} = 2, 25 + 4 = 6, 25$ , donc $h = 2, 5$ m.

Exemple 2. Exemple : volume d’un cône de rayon $2$ cm et de hauteur $6$ cm.

$V = \frac{1}{3} \times π \times 2^{2} \times 6 = \frac{24}{3} π = 8 π$ cm³.

Attention — 1 L = 1 000 cm³ (et non 100 cm³) : un volume en cm³ se divise par 1 000 pour passer aux litres.

Les pièges

On n’ajoute jamais les dénominateurs de deux fractions.
Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 10⁻² = 0,01.
1 m² = 100 dm² et 1 m³ = 1 000 dm³ : pas de « × 10 » pour les aires et les volumes.
(a + b)² ≠ a² + b² : le double produit 2ab est l’oubli le plus fréquent.
Isoler une variable : on divise tous les termes du membre, pas seulement le premier.
Pyramide et cône : ne pas oublier le 1/3 ; vérifier s’il s’agit du rayon ou du diamètre.
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, c’est le plus long.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour répondre à une question d’automatismes sans calculatrice, puis des exemples rédigés pour chacun des trois cas : calculer avec des fractions, des puissances et des unités ; développer, factoriser et isoler ; calculer une longueur ou un volume. Elle se termine par les pièges les plus fréquents.

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