Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Automatismes : calcul numérique, calcul littéral et géométrie

Fractions, puissances, écriture scientifique, ordres de grandeur et unités ; développer, factoriser, isoler une variable ; aires, volumes, Pythagore, Thalès et trigonométrie, sans calculatrice.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés sans calculatrice, dans l’esprit des exercices de l’épreuve anticipée : carreler une salle de bains, une citerne d’eau de pluie, la distance d’arrêt d’une voiture, un cornet de glace étudié avec Thalès, et le temps que met la lumière du Soleil pour atteindre la Terre et Jupiter.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je relève les données et je les écris dans la même unité (m et cm, L et m³, h et min).
Je repère l’outil : formule d’aire ou de volume, Pythagore, Thalès, trigonométrie, formule à isoler, puissances de 10.
J’écris le calcul avant de l’effectuer : formule, puis valeurs remplacées. Sans calculatrice, c’est ce qui rapporte les points.
Je contrôle l’ordre de grandeur et l’unité, puis je réponds par une phrase qui répond à la question posée.

Problème 1 · Carreler une salle de bains★★★Facile

Le sol d’une salle de bains est un rectangle de

3, 2

m sur

2, 5

m. On le couvre de carreaux carrés de

40

cm de côté, vendus par boîtes de

12

carreaux à

23, 50

€ la boîte. On prévoit

10 %

de carreaux en plus pour les découpes et la casse.

1. Aire du sol : m²
$3, 2 \times 2, 5 = 8$ m².
2. Aire d’un carreau, en m² :
$40$ cm $= 0, 4$ m, donc l’aire d’un carreau est $0, 4 \times 0, 4 = 0, 16$ m².
3. Justifier qu’il faut $50$ carreaux sans compter les pertes, puis donner le nombre de carreaux à prévoir avec les $10 %$ en plus :
Rédaction attendue. Nombre de carreaux : $\frac{8}{0, 16} = \frac{800}{16} = 50$ . Avec $10 %$ en plus, on multiplie par $1, 1$ : $50 \times 1, 1 = 55$ carreaux.
4. Nombre de boîtes à acheter :
$4$ boîtes contiennent $48$ carreaux, c’est trop peu ; $5$ boîtes en contiennent $60$ , c’est suffisant. Il faut $5$ boîtes.
5. Prix à payer : €
$5 \times 23, 50 = 117, 50$ €.

Problème 2 · Une citerne d’eau de pluie★★★Moyen

Une citerne a la forme d’un cylindre de rayon

50

cm et de hauteur

1, 2

m. Elle recueille l’eau tombée sur un toit qui couvre

60

m² au sol. Une hauteur de pluie de

1

mm sur

1

m² correspond à

1

L d’eau. On donne

π \approx 3, 14

1. Volume exact de la citerne : $π$ m³
Même unité : $r = 50$ cm $= 0, 5$ m. $V = π r^{2} h = π \times 0, 25 \times 1, 2$ , soit $0, 3 π$ m³.
2. Contenance de la citerne en litres, avec $π \approx 3, 14$ : environ L
$0, 3 \times 3, 14 = 0, 942$ m³, et $1$ m³ $= 1 000$ L : environ $942$ L.
3. Justifier le volume d’eau recueilli lors d’une pluie de $15$ mm : L
Rédaction attendue. Chaque m² de toit reçoit $15$ mm de pluie, soit $15$ L d’eau. Pour $60$ m² : $60 \times 15 = 900$ L. Autre méthode : $15$ mm $= 0, 015$ m et $60 \times 0, 015 = 0, 9$ m³, soit $900$ L.
4. La citerne était vide avant cette pluie. Place qui reste dans la citerne après la pluie : environ L
$942 - 900 = 42$ L : la citerne ne déborde pas, il reste environ $42$ L de place.
5. Hauteur de pluie qui suffirait à remplir exactement la citerne vide (avec la contenance arrondie) : mm
Il faut environ $942$ L, répartis sur $60$ m² : $\frac{942}{60} = 15, 7$ L par m², c’est-à-dire une pluie de $15, 7$ mm.

Problème 3 · La distance d’arrêt d’une voiture★★★Moyen

Une règle souvent enseignée pour le permis de conduire : sur route sèche, la distance d’arrêt d’une voiture, en mètres, vaut environ le carré du nombre de dizaines de sa vitesse, soit

d_{A} = {(\frac{v}{10})}^{2}

avec

v

en km/h. Cette distance se compose de la distance de réaction

d_{R}

, parcourue à vitesse constante pendant le temps de réaction du conducteur (estimé ici à

1

s), et de la distance de freinage

d_{F}

d_{A} = d_{R} + d_{F}

1. À $90$ km/h, distance d’arrêt : m
$\frac{90}{10} = 9$ et $9^{2} = 81$ : $d_{A} = 81$ m.
2. Justifier qu’à $90$ km/h la voiture parcourt $25$ m en $1$ s, puis donner la distance de freinage : $d_{F} =$ m
Rédaction attendue. $90$ km/h, c’est $90 000$ m en $3 600$ s, soit $90 000 \div 3 600 = 25$ m par seconde : pendant $1$ s de réaction, $d_{R} = 25$ m. Comme $d_{A} = d_{R} + d_{F}$ , on isole $d_{F} = d_{A} - d_{R} = 81 - 25 = 56$ m.
3. Justifier que $d_{R} = \frac{v}{3, 6}$ (en m, pour $v$ en km/h), puis calculer la distance de freinage à $72$ km/h : m
Rédaction attendue. Une vitesse de $v$ km/h vaut $\frac{v}{3, 6}$ m/s ; en $1$ s, la voiture parcourt donc $d_{R} = \frac{v}{3, 6}$ mètres. À $72$ km/h : $d_{A} = 7, 2^{2} = 51, 84$ m et $d_{R} = \frac{72}{3, 6} = 20$ m, donc $d_{F} = 51, 84 - 20 = 31, 84$ m.
4. Isoler $v$ dans $d_{A} = {(\frac{v}{10})}^{2}$ (avec $v > 0$ ). Vitesse pour laquelle la distance d’arrêt est de $36$ m : km/h
Comme $v > 0$ , $d_{A} = {(\frac{v}{10})}^{2}$ donne $\frac{v}{10} = \sqrt{d_{A}}$ , donc $v = 10 \sqrt{d_{A}}$ . Pour $d_{A} = 36$ : $v = 10 \times 6 = 60$ km/h.
5. Avec cette règle, quand la vitesse double, la distance d’arrêt est multipliée par
Si $v$ devient $2 v$ : ${(\frac{2 v}{10})}^{2} = 4 \times {(\frac{v}{10})}^{2}$ . La distance d’arrêt est multipliée par $4$ (par exemple $9$ m à $30$ km/h et $36$ m à $60$ km/h).

Problème 4 · Un cornet de glace★★★Difficile

Un cornet a la forme d’un cône de révolution de rayon

3

cm et de hauteur

12

cm. On le remplit de glace, puis on pose dessus une boule de glace de rayon

3

cm.

1. Volume du cône : $π$ cm³
$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} \times π \times 9 \times 12$ , soit $36 π$ cm³.
2. Justifier que la boule a le même volume que le cône, puis donner le volume total de glace : $π$ cm³
Rédaction attendue. Volume de la boule : $\frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} \times π \times 27$ , soit $36 π$ cm³, comme le cône. Volume total : $36 π + 36 π = 72 π$ cm³.
3. Avec $π \approx 3$ , le volume total de glace vaut environ mL
$72 \times 3 = 216$ cm³, et $1$ cm³ $= 1$ mL : environ $216$ mL. (Avec $π \approx 3, 14$ , on trouverait environ $226$ mL.)
4. Un autre jour, on ne remplit le cornet que jusqu’à mi-hauteur. La surface de la glace est un disque : justifier avec le théorème de Thalès que son rayon vaut cm
Rédaction attendue. Dans une coupe verticale passant par l’axe, on note $S$ la pointe du cône, $O$ le centre de son ouverture, $A$ un point du bord, $O'$ le milieu de $[S O]$ et $A'$ le point de $[S A]$ au niveau de la glace. Les rayons $[O A]$ et $[O' A']$ sont perpendiculaires à l’axe $(S O)$ , donc parallèles. D’après le théorème de Thalès, $\frac{O' A'}{O A} = \frac{S O'}{S O} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ , donc $O' A' = \frac{3}{2} = 1, 5$ cm.
5. Le volume de glace jusqu’à mi-hauteur est une fraction du volume du cornet. Cette fraction vaut
Petit cône : rayon $1, 5$ cm, hauteur $6$ cm, et $1, 5^{2} = 2, 25$ . Son volume vaut $\frac{1}{3} \times 2, 25 \times 6 \times π$ , soit $4, 5 π$ cm³. Fraction : $\frac{4, 5 π}{36 π} = \frac{4, 5}{36} = \frac{1}{8}$ . À mi-hauteur, le cornet ne contient qu’un huitième de sa capacité.

Problème 5 · La lumière du Soleil★★★Difficile

Dans le vide, la lumière parcourt environ

3 \times 10^{5}

km par seconde. La distance moyenne de la Terre au Soleil est d’environ

1, 5 \times 10^{8}

km, celle de Jupiter au Soleil d’environ

7, 8 \times 10^{8}

km.

1. La durée $t$ d’un trajet de longueur $d$ à la vitesse $v$ vérifie $d = v \times t$ . Isoler $t$ , puis calculer la durée du trajet de la lumière du Soleil à la Terre : $t =$ s
On divise par $v$ : $t = \frac{d}{v}$ . Puis $\frac{1, 5 \times 10^{8}}{3 \times 10^{5}} = \frac{1, 5}{3} \times 10^{8 - 5} = 0, 5 \times 10^{3}$ , soit $500$ s.
2. Cette durée s’écrit $8$ min s
$8 \times 60 + 20 = 500$ : $500$ s, c’est $8$ min $20$ s.
3. Durée du trajet de la lumière du Soleil à Jupiter : s
$t = \frac{7, 8 \times 10^{8}}{3 \times 10^{5}} = 2, 6 \times 10^{3}$ , soit $2 600$ s, c’est-à-dire $43$ min $20$ s.
4. Justifier que Jupiter est environ $5$ fois plus loin du Soleil que la Terre, en calculant le rapport exact de leurs distances au Soleil :
Rédaction attendue. $\frac{7, 8 \times 10^{8}}{1, 5 \times 10^{8}} = \frac{7, 8}{1, 5} = \frac{78}{15} = 5, 2$ : Jupiter est environ $5$ fois plus loin du Soleil que la Terre. On retrouve ce rapport sur les durées : $\frac{2 600}{500} = 5, 2$ .

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs