Sujet du bac 2024 de spé maths — Métropole, jour 2 (session de remplacement) (général)

24-MATJ2ME3 page sur 6 1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2024 MATHÉMATIQUES Jeudi 12 septembre 2024 Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6. Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les tr aces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées. 24-MATJ2ME3 page sur 6 2 Exercice 1 (5 points) On considère le cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 représenté ci-dessous. Les points 𝐼 et 𝐽 sont les milieux respectifs des segments [𝐴𝐵] et [𝐶𝐺]. Le point 𝑁 est le milieu du segment [𝐼𝐽]. L’objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre 𝐻𝐹𝐼𝐽. On se place dans le repère orthonormé (𝐴; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ). 1. a. Donner les coordonnées des points 𝐼 et 𝐽. En déduire les coordonnées de 𝑁. b. Justifier que les vecteurs 𝐼𝐽⃗⃗⃗ et 𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ont pour coordonnées respectives : 𝐼𝐽⃗⃗⃗ ( 0,5 1 0,5 ) et 𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ( 0,25 −0,5 0,75 ). c. Démontrer que les vecteurs 𝐼𝐽⃗⃗⃗ et 𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux. On admet que 𝑁𝐹 = √14 4 . d. En déduire que l’aire du triangle 𝐹𝐼𝐽 est égale à √21 8 . 2. On considère le vecteur 𝑢⃗ ( 4 −1 −2 ). a. Démontrer que le vecteur 𝑢⃗ est normal au plan (𝐹𝐼𝐽). b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (𝐹𝐼𝐽) est : 4𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 − 2 = 0 . c. On note 𝑑 la droite orthogonale au plan …