Sujet du bac 2024 de spé maths — Asie, jour 2 (général)

24-MATJ2JA1 Page : BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2024 MATHÉMATIQUES Jour J2 Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 16 L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 6 pages numérotées de à . Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Tous les exercices doivent être traités. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse. 24-MATJ2JA1 Page : Exercice 1 (5,5 points) On considère la fonction 𝑓 définie sur ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 ln (𝑥). On admet que 𝑓 est deux fois dérivable sur ]0 ; +∞[. On note 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓 et 𝑓′′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓′. Partie A : Étude de la fonction 𝒇 1. Déterminer les limites de la fonction 𝑓 en 0 et en +∞. 2. Pour tout réel 𝑥 strictement positif, calculer 𝑓′(𝑥). 3. Montrer que pour tout réel 𝑥 strictement positif : 𝑓′′(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑥 4. Étudier les variations de la fonction 𝑓′ sur ]0 ; +∞[, puis dresser le tableau des variations de la fonction 𝑓′ sur ]0 ; +∞[. On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extremum de la fonction 𝑓′ sur ]0 ; +∞[. Les limites de la fonction 𝑓′ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues. 5. Montrer que la fonction 𝑓 est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation 𝒇(𝒙) = 𝒙 On considère dans cette partie la fonction 𝑔 définie …