Sujet du bac 2023 de spé maths — Polynésie française, jour 2 (général)

23-MATJ2PO1 Page : BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2023 MATHÉMATIQUES Jour 2 Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 7 pages numérotées de à . Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées. 23-MATJ2PO1 Page : Exercice 1. (5 points) Thèmes : probabilités, suites Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Partie A Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que : • si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90 % des cas le jour suivant ; • si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70 % des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain. On note pour tout entier naturel 𝑛 : • 𝑅𝑛 l'événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la 𝑛-ième séance », • 𝑝𝑛 la probabilité de l'événement 𝑅𝑛. On considère que 𝑝0 = 0,6. 1. Soit 𝑛 un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés. 2. Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel 𝑛, on a : 𝑝𝑛+1 = 0,6 𝑝𝑛 + 0,3. 3. On considère la suite (𝑢𝑛) définie, pour tout entier naturel 𝑛, par 𝑢𝑛 = 𝑝𝑛 − 0,75. a. Démontrer que la suite (𝑢𝑛) est une suite géométrique dont on précisera la raison …