Sujet du bac 2023 de spé maths — Nouvelle-Calédonie, jour 2 (général)

23MATJ2NC1 Page : BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2023 MATHÉMATIQUES JOUR 2 Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé. La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 5 pages numérotés de à . 23MATJ2NC1 Page : EXERCICE 1 (5 points) On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-contre. On note K le milieu du segment ሾHGሿ. On se place dans le repère orthonormé (A ; ADሬሬሬሬሬԦ , ABሬሬሬሬሬԦ, AEሬሬሬሬሬԦ ). 1. Justifier que les points C, F et K définissent un plan. 2. a. Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC. b. Calculer l’aire du triangle FGC. c. Calculer le volume du tétraèdre FGCK . On rappelle que le volume ܸd’un tétraèdre est donné par : ൌ ଵ ଷ݄ , où ࣜest l’aire d’une base et ݄la hauteur correspondante. 3. a. On note ݊ ሬሬሬԦ le vecteur de coordonnées ൭ 1 2 1 ൱ . Démontrer que ሬԦ est normal au plan ሺCFKሻ. b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan ሺCFKሻ est : ൅ 2− 3 ൌ 0. 4. On note Δ la droite passant par le point G et orthogonale au plan ሺCFKሻ. Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite Δ est : ൝ ൌ 1ݐ ൌ 1 ൅ 2ݐ ൌ 1ݐ Թሻ . 5. Soit L le point d’intersection entre la droite Δ et le plan ሺCFKሻ. a. Déterminer les coordonnées du point L. b. En déduire que ൌ √଺ ଺ . 6. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle CFK. K 23MATJ2NC1 Page : EXERCICE 2 (5 points) On …