Sujet du bac 2023 de spé maths — Centres étrangers - Groupe 1, jour 4 (général)

Page 23-MATJ2LI1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2023 MATHÉMATIQUES JOUR 2 Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 5 pages numérotées de à . La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les t races de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées. Page 23-MATJ2LI1 Exercice 1 (5 points) On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 1 1 + e−3𝑥 On note 𝒞𝑓 sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On nomme A le point de coordonnées (0 ; 1 2 ) et B le point de coordonnées (1 ; 5 4 ). On a tracé ci -dessous la courbe 𝒞𝑓, et 𝒯 la tangente à la courbe 𝒞𝑓 au point d’abscisse 0. Partie A : lectures graphiques Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée. 1. Déterminer l’équation réduite de la tangente 𝒯. 2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 semble convexe ou concave. Partie B : étude de la fonction 1. On admet que la fonction 𝑓 est dérivable sur ℝ. Déterminer l’expression de sa fonction dérivée 𝑓′. 2. Justifier que la fonction 𝑓 est strictement croissante sur ℝ. 3. a. Déterminer la limite en +∞ de la fonction 𝑓. b. Déterminer la limite en −∞ de la fonction 𝑓. 4. Déterminer la valeur exacte de la solution 𝛼 de l’équation 𝑓(𝑥) = 0,99. 𝒯 A B 𝒞𝑓 Page 23-MATJ2LI1 Partie C : Tangente et convexité 1. Déterminer par le calcul une équation de la tangente 𝒯 à la courbe 𝒞𝑓 au point d’abscisse 0. On admet que la fonction 𝑓 est deux …