Sujet du bac 2023 de spé maths — Centres étrangers - Groupe 1, jour 3 (général)

Page 23-MATJ1LI1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2023 MATHÉMATIQUES JOUR 1 Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 6 pages numérotées de à . La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les t races de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées. Page 23-MATJ1LI1 Exercice 1 (5 points) Partie A On considère la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par 𝑔(𝑥) = ln(𝑥2) + 𝑥 − 2 1. Déterminer les limites de la fonction 𝑔 aux bornes de son ensemble de définition. 2. On admet que la fonction 𝑔 est dérivable sur l’intervalle ]0; +∞[. Étudier les variations de la fonction 𝑔 sur l’intervalle ]0; +∞[. 3. a. Démontrer qu’il existe un unique réel strictement positif 𝛼 tel que 𝑔(𝛼) = 0. b. Déterminer un encadrement de 𝛼 d’amplitude 10−2. 4. En déduire le tableau de signe de la fonction 𝑔 sur l’intervalle ]0; +∞[. Partie B On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = (𝑥−2) 𝑥 ln (𝑥) On note 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1. a. Déterminer la limite de la fonction 𝑓 en 0. b. Interpréter graphiquement le résultat. 2. Déterminer la limite de la fonction 𝑓 en +∞. 3. On admet que la fonction 𝑓 est dérivable sur l’intervalle ]0; +∞[. Montrer que pour tout réel 𝑥 strictement positif, on a 𝑓′(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑥2 . 4. En déduire les variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle ]0; +∞[. Partie C Étudier la position relative de la courbe 𝐶𝑓 et de la courbe représentative de la fonction ln sur l’intervalle ]0; +∞[. Page 23-MATJ1LI1 Exercice …