Sujet du bac 2022 de spé maths — Nouvelle-Calédonie, jour 1 (général)

22-MATJ1NC1 Page : BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2022 MATHÉMATIQUES JOUR 1 Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 6 pages numérotées de à . Le sujet propose 4 exercices. Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices. Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points). Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte. 22-MATJ1NC1 Page : EXERCICE 1 (7 points) Principaux domaines abordés : Fonctions, Fonction logarithme ; Convexité. On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 4 ln(𝑥) . On admet que la fonction 𝑓 est deux fois dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ . On note 𝑓′ sa dérivée et 𝑓′′ sa dérivée seconde. On note 𝒞𝑓 la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un repère orthogonal. 1. a. Déterminer lim 𝑥→0 𝑓(𝑥). Interpréter graphiquement ce résultat. b. Déterminer lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥). 2. a. Déterminer 𝑓′(𝑥) pour tout réel 𝑥 appartenant à ]0 ; +∞[. b. Étudier le signe de 𝑓′(𝑥) sur l’intervalle ]0 ; +∞[ . En déduire le tableau de variations de 𝑓. 3. Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [4; 5]. 4. On admet que, pour tout 𝑥 de ]0 ; +∞[, on a : 𝑓′′(𝑥) = 2𝑥2 − 4 𝑥2 . a. Étudier la convexité de la fonction 𝑓 sur ]0 ; +∞[. On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de 𝒞𝑓. b. On note A le point de coordonnées (√2 ; 𝑓(√2)). Soit 𝑡 un réel strictement positif tel que 𝑡 ≠ √2. Soit M …