Sujet du bac 2021 de spé maths — Polynésie française (session de remplacement) (général)

21-MATJ2PO1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2021 MATHÉMATIQUES Jour 2 Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 9 pages numérotées de à . Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées. 21-MATJ2PO1 EXERCICE 1 commun à tous les candidats (5 points) On considère la suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢0 = 10 000 et pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢𝑛+1 = 0,95 𝑢𝑛 + 200. 1. Calculer 𝑢1 et vérifier que 𝑢2 = 9 415. 2. a. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢𝑛 > 4 000. b. On admet que la suite (𝑢𝑛) est décroissante. Justifier qu’elle converge. 3. Pour tout entier naturel 𝑛, on considère la suite (𝑣𝑛) définie par : 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 4 000. a. Calculer 𝑣0. b. Démontrer que la suite (𝑣𝑛) est géométrique de raison égale à 0,95. c. En déduire que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢𝑛 = 4 000 + 6 000 × 0, 95𝑛. d. Quelle est la limite de la suite (𝑢𝑛) ? Justifier la réponse. 4. En 2020, une espèce animale comptait 10 000 individus. L’évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu’à partir de l’année 2021, cette population baissera de 5 % chaque début d’année. Pour ralentir cette baisse, …