Sujet du bac 2014 de mathématiques (série STD2A) — Antilles-Guyane (STD2A) (STD2A)

/decofourBaccalauréat Antilles-Guyane 18 juin 2014 /decofive Sciences et technologies du design et des arts appliqués EXERCICE 1 7 points Un designer-graphiste a imaginé le logo ci-dessous. Il est c onstitué de deux demi-cercles concen- triques et d’une courbe. L ’objectif de cet exercice est de reproduire ce logo. Partie A : Les demi-cercles 1. Dans le repère orthonormal ( O, − →ı , − → ) de l’annexe 1, on a placé les points A(5 ; 2) et B( −1 ; 2) puis on a tracé le demi-cercle supérieur joignant les points A et B. a. Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB]. b. Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point d’ intersection de l’axe des or- données avec ce demi-cercle. 2. a. Sur la figure de l’annexe 1, placer le point C(4 ; 4) puis tracer le demi-cercle joignant les points C et O, correspondant au deuxième demi-cercle du logo. b. Tracer la droite ( T ), tangente à ce demi-cercle au point O. Déterminer graphiqu ement le coefficient directeur de ( T ). Partie B : La courbe On souhaite construire la base du logo avec un raccordement l isse en O. Soit f la fonction définie sur [0 ; 5] par f (x) = −0, 072x3 + 0, 64x2 − x. On note C f la courbe représentant la fonction f dans le repère de l’annexe 1. 1. Justifier que la courbe C f passe par les points O et A. 2. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . a. Calculer f ′(x). b. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courb e C f au point d’abscisse 0. c. Calculer f ′(5) et donner une interprétation graphique du résultat obte nu. d. Vérifier que f ′(x) = 0, 008(5− x)(27x − 25). 3. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; …