Sujet du bac 2013 de Mathématiques (série STI2D) — Nouvelle-Calédonie (STI2D) (STI2D)

A. P . M. E. P . Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat STI 2D/STL /decofive Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 EXERCICE 1 4 points On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π 2 . On considère les nombres complexes z1, z2 et z3 définis par : z1 = 1 + i /radicallow 3, z2 = e−i π 4 et z3 = ei π 12 . 1. Déterminer l’écriture exponentielle de z1. 2. Déterminer l’écriture algébrique de z2. 3. Démontrer que z1 × z2 = 2z3. 4. En déduire l’écriture algébrique de z3. 5. En déduire que cos ( π 12 ) = /radicallow 2 + /radicallow 6 4 et sin ( π 12 ) = − /radicallow 2 + /radicallow 6 4 . EXERCICE 2 4 points Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des pl antes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92 % des sachets sont efficaces et donnent de s plantes résistantes. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à 10−2 près. 1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets. a. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % d e la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100. b. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes ré sistantes. Peut-on rejeter l’hypothèse du directeur ? 2. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de s achets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable al éatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0, 92. a. Déterminer l’espérance et l’écart type de X (arrondi à 0, 01 près). b. La variable aléatoire X peut être approchée par la variable aléatoire Y qui suit la loi normale d’espérance 92 et d’écart type 2, 7. En utilisant la variable aléatoire Y , calculer la probabilité …