Sujet du bac 2011 de mathématiques (série STL) — Métropole (session de remplacement) (STL physique de laboratoire) (STL physique de laboratoire)

/decofourBaccalauréat STL Métropole 13 septembre 2011 /decofive Physique de laboratoire et de procédés industriels Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 6 points On note i le complexe de module 1 et d’argument π 2 . Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O, − →u , − →v ) d’unité graphique 1 cm. 1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation suivante : z2 − 4z /radicallow 3 + 16 = 0. Les solutions seront données sous forme algébrique. 2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2 /radicallow 3 + 2i, zB = 2 /radicallow 3 − 2i, zC = 6ei 2π 3 a. Déterminer les formes exponentielles des nombres complexe s zA et zB c’est-à-dire leur écriture sous la forme r eiθ avec r nombre réel strictement positif et θ un nombre réel ap- partenant à l’intervalle ] − π ; π]. b. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe zC. c. Construire avec précision les points A, B et C. d. Calculer les longueurs OA, OC et AC. En déduire la nature du tr iangle OAC. 3. On considère la rotation de centre O et d’angle π 4 . On définit le point D comme l’image du point A par cette rotation. a. Calculer la forme algébrique de l’affixe de D notée zD. b. À l’aide de la question 2. a., déterminer la forme exponentie lle de zD. c. Déduire de ce qui précède les valeurs exactes de cos ( 5π 12 ) et sin ( 5π 12 ) . EXERCICE 2 5 points On considère l’équation différentielle (E) suivante : y ′′ + 4y = 0, où y est une fonction définie sur R et y ′′ sa dérivée seconde. 1. Donner la solution générale de (E). 2. Déterminer la solution particulière, notée f , de (E) telle que f ( π 6 ) = …