Sujet du bac 2011 de mathématiques (série STI) — Polynésie (STI génie civil) (STI génie civil)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat STI Polynésie juin 2011 /decofive Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 5 points Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O, − →u , − →v ) . On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2 . On considère les points A, B et C d’affixes respectives : a = 1 + i, b = a × 2ei π 3 et c = − /radicallow 3 + i /radicallow 3. 1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes a, b et c. b. Vérifier que b = ( 1 − /radicallow 3 ) + i ( 1 + /radicallow 3 ) . c. En déduire que : cos ( 7π 12 ) = 1 − /radicallow 3 2 /radicallow 2 . d. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère ( O, − →u , − →v ) d’unité graphique 2 cm. 2. a. Démontrer que le triangle OAB est un triangle rectangle. b. Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au tri angle OAB et construire ce cercle. 3. Déterminer la nature du quadrilatère OABC et prouver que le p oint C appar- tient au cercle circonscrit au triangle OAB. EXERCICE 2 4 points On fixe à l’extrémité d’un ressort horizontal un objet M, qui peut coulisser sans frot- tement sur un plan. Le point A, où est accrochée l’autre extré mité du ressort, est fixe. Après avoir été écarté de sa position d’équilibre, l’objet e st lâché avec une vitesse initiale. On repère l’objet par son abscisse X qui est fonction du temps t et qui mesure l’écart entre la position à un instant t et sa position initiale. On admet qu’à un instant t , la fonction X est solution de l’équation différentielle (E ) : X ′′ + 100X = 0. A M X …