Sujet du bac 2010 de mathématiques (série STI) — Métropole (session de remplacement) (STI génie des matériaux) (STI génie des matériaux)

/decofourBaccalauréat STI Métropole septembre 2010 /decofive Génie mécanique, des matériaux EXERCICE 1 6 points Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O ; − →u , − →v ) . 1. a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z2 + z + 1 = 0 On notera z1 et z2 les solutions de cette équation, z1 étant celle dont la partie imaginaire est négative. b. Montrer que z2 1 = z2. 2. a. On considère dans la suite de l’exercice les points A, B et C d’ affixes respectives z1 = −1 − i /radicallow 3 2 , z2 = −1 + i /radicallow 3 2 et z3 = 1. Écrire chacun de ces trois nombres complexes sous forme trig onométrique et en déduire que z3 1 = z3. b. Calculer z2 010 1 . 3. a. Placer les points A, B et C dans le plan. On prendra 4 cm comme un ité graphique sur cha- cun des axes. b. Montrer que ces points sont sur un cercle, dont on déterminer a le centre et le rayon. Dans les questions suivantes, toute trace de recherche, mêm e incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation . 4. Montrer que le triangle ABC est équilatéral. 5. Placer le point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallé logramme puis calculer les coor- données du point D. 6. Expliquer, sans faire de calculs, pourquoi les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires. EXERCICE 2 4 points Partie A On considère l’équation différentielle (E0 :) y ′′ + 9y = 0 où y est une fonction deux fois dérivable sur R. 1. Résoudre l’équation différentielle (E0). 2. Déterminer la solution particulière f de l’équation différentielle (E0) vérifiant les conditions f (0) = /radicallow 3 et f ′(0) = 3. 3. À l’aide de la formule cos( a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b), …