Sujet du bac 2010 de mathématiques (série STI) — Métropole (STI génie électrique) (STI génie électrique)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat STI Métropole 22 juin 2010 /decofive Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; − →u , − →v ) d’unité graphique 1 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument π 2 1. Soit P (z) = z3 − 27, où z désigne un nombre complexe. a. Vérifier que P (z) = (z − 3) ( z2 + 3z + 9 ) . b. Résoudre, dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation P (z) = 0. 2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives : zA = 3, zB = − 3 2 + 3 /radicallow 3 2 i et zC = − 3 2 − 3 /radicallow 3 2 i. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com plexes zB et zC. b. Écrire le nombre complexe zC sous la forme r eiθ où r est un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel compris entre −π et π. c. Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. d. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère ( O ; − →u , − →v ) . 3. Le point D est l’image du point C par la rotation de centre O et d ’angle − π 3 . On appelle zD l’affixe du point D. Montrer que zD = −3, puis placer le point D sur la figure précédente. 4. Soit F l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie l’égalité : |z + 3| = 3. a. Vérifier que les points O, B et C appartiennent à l’ensemble F . b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incompl ète, ou d’initiative, même non fructueuse, …