Sujet du bac 2010 de mathématiques (série STI) — Métropole (STI génie des matériaux) (STI génie des matériaux)

Durée : 4 heures /decofourBaccalaurét STI Métropole juin 2010 /decofive Génie mécanique, génie des matériaux Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, l a clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. EXERCICE 1 4 points Le plan est muni d’un repère orthogonal ( O ; − →ı , − → ) . On considère l’équation différentielle (E) sui- vante : 4y ′′ = −y où y désigne une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivable sur R et où y ′′ désigne sa dérivée seconde. 1. Soit f la fonction numérique définie sur R par : f (x) = 2 cos ( x 2 + π 3 ) . Calculer f ′(x) et f ′′(x), puis vérifier que la fonction f est une solution de l’équation différen- tielle (E). 2. a. Donner la forme générale des solutions de l’équation différ entielle (E). b. Déterminer la solution particulière g de l’équation différentielle (E) dont la courbe repré- sentative passe par les points A(0 ; 1) et B ( π ; − /radicallow 3 ) . c. Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : g (x) = f (x). EXERCICE 2 6 points Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O ; − →u , − →v ) . On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument π 2 ; 1. Résoudre dans l’ensemble C des complexes l’équation : (z − 2) ( z2 − 2z + 4 ) = 0. 2. On considère les points A, B, C, D, E d’affixes respectives : zA = 2 ; zB = 1 + i /radicallow 3 ; zC = zB ; zD = 2e2i π 3 ; …