Sujet du bac 2010 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (session de remplacement) (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Nouvelle-Calédonie /decofive 15 novembre 2010 EXERCICE 1 7 points Commun à tous les candidats PARTIE A : restitution organisée de connaissances On suppose connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [ a ; b] avec a < b ⋆ si pour tout x ∈ [a ; b] u(x) /greaterorequalslant0 alors ∫ b a u(x) dx /greaterorequalslant0 ⋆ ∫ b a [u(x) + v(x)] dx = ∫ b a u(x) dx + ∫ b a v(x) dx ⋆ ∫ b a αu(x) dx = α ∫ b a u(x) dx où α est un nombre réel. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [ a ; b] avec a < b et si pour tout x de [a ; b], f (x) ⩽ g (x) alors : ∫ b a f (x) dx ⩽ ∫ b a g (x) dx. PARTIE B : Soit ϕ la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par ϕ(x) = 1 + x2 − 2x2 ln x. 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur l’intervalle [1 ; +∞[. b. Calculer ϕ(e). Démontrer que l’équation ϕ(x) = 0 admet une unique solution α sur l’inter- valle [1 ; e]. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−1. c. Déterminer le signe de ϕ(x) suivant les valeurs de x. 2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par f (x) = ln x 1 + x2 . On note f ′ la fonction dérivée de f . a. Calculer f ′(x) et montrer que pour tout x /greaterorequalslant1 on a : f ′(x) = ϕ(x) x ( 1 + x2)2 . b. Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[. c. Démontrer que pour tout …