Sujet du bac 2010 de mathématiques (série S) — La Réunion (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S La Réunion 22 juin 2010 /decofive EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par f (x) = 1 + ln(1 + x). On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O, − →ı , − → ) . On note D la droite d’équation y = x. Partie A 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction f . b. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. 2. On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par g (x) = f (x) − x. a. Déterminer lim x→−1 g (x). b. Déterminer limx→+∞ ln(1 + x) 1 + x . En déduire limx→+∞ g (x). c. Étudier le sens de variation de la fonction g , puis dresser le tableau de variations de la fonction g . d. Montrer que sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ l’équation g (x) = 0 admet exactement deux solutions α et β, avec α négative et β appartenant à l’intervalle [2 ; 3]. e. À l’aide des questions précédentes, déterminer le signe de g (x). En déduire la po- sition relative de la courbe C f et de la droite D. Partie B Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplèt e, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Soit (un) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par : { u0 = 2 un+1 = f (un) 1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 2 ⩽ un ⩽ β. 2. La suite (un) est-elle convergente ? Justifier la réponse. Baccalauréat S A. P. M. E. P. EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats Dans cet exercice, tous les …