Sujet du bac 2010 de mathématiques (série S) — Amérique du Nord (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Amérique du Nord 3 juin 2010 /decofive EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats L ’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O, − →ı , − → , − →k ) . Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives : A(1 ; −2 ; 4) B( −2 ; −6 ; 5) C( −4 ; 0 ; −3). 1. (a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. (b) Démontrer que le vecteur − →n (1 ; −1 ; −1) est un vecteur normal au plan (ABC). (c) Déterminer une équation du plan (ABC). 2. (a) Déterminer une représentation paramétrique de la dro ite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC). (b) Déterminer les coordonnées du point O ′ projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). 3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur La droi te (BC). Soit t le réel tel que − − →BH = t − − →BC. (a) Démontrer que t = − − →BO · − − →BC ‖‖‖ − − →BC ‖‖‖ 2 . (b) En déduire le réel t et les coordonnées du point H. EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes. 1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’e lle soit rouge ? 2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Montrer que la probabilité qu’elle porte le numéro 2 est égal e à 2 7 . 3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue n tirages successifs d’une boule …