Ondes : intensité sonore, atténuation et effet Doppler

Rappels. En seconde, le niveau d’intensité sonore se mesure au sonomètre, en décibels, et l’on a vu que doubler l’intensité ajoute 3 dB, la multiplier par 10 ajoute 10 dB (Son : émission, propagation et perception). En première, le son est une onde mécanique progressive de célérité $v$ et de longueur d’onde $\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}$ (Ondes mécaniques : propagation et périodicité). Ce chapitre donne la relation qui explique ces règles.

Intensité sonore. Une onde sonore transporte de l’énergie. L’intensité sonore $I$ est la puissance sonore reçue par unité de surface, la surface étant perpendiculaire à la direction de propagation :

$I={\displaystyle \frac{P}{S}}I{\text{ en W·m}}^{-2},P\text{ en W},S{\text{ en m}}^2$

Niveau d’intensité sonore. L’oreille perçoit des intensités qui vont d’environ ${10}^{-12}$ W·m⁻² à plus de 1 W·m⁻², soit douze puissances de dix. On les repère sur une échelle logarithmique :

$L=10\log \left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)$

avec $I_0=1,0\times {10}^{-12}$ W·m⁻².

$L$ s’exprime en décibels (dB) ; $\log$ est le logarithme décimal ; $I_0$ est l’intensité sonore de référence, voisine du seuil d’audibilité d’un son de 1 000 Hz : $I=I_0$ donne $L=10\log 1=0$ dB. Le rapport ${\displaystyle \frac{I}{I_0}}$ est sans unité.

Chemin inverse. La fonction $x\mapsto {10}^x$ est la réciproque du logarithme décimal : $\log ({10}^x)=x$ et ${10}^{\log y}=y$. De ${\displaystyle \frac{L}{10}}=\log \left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)$, on tire :

$I=I_0\times {10}^{L/10}$

Ce que dit la formule. Comme $\log (a\times b)=\log a+\log b$, multiplier $I$ par un facteur $k$ ajoute $10\log k$ au niveau : $\times 10$ → $+10$ dB ; $\times 2$ → $+3,0$ dB ($10\log 2\approx 3,0$) ; $\times 1000$ → $+30$ dB. Diviser $I$ par $k$ retire $10\log k$.

Perception. L’oreille juge un son « deux fois plus fort » quand le niveau augmente d’environ 10 dB, c’est-à-dire quand l’intensité est multipliée par 10 : l’échelle des décibels suit mieux la sensation que l’intensité elle-même.

Mesurer un niveau. Le sonomètre affiche directement $L$. On le place à une distance fixe et connue de la source, micro tourné vers elle, et l’on relève plusieurs valeurs, car le niveau fluctue.

On additionne les intensités. Quand plusieurs sources indépendantes émettent en même temps, les intensités sonores reçues en un point s’ajoutent : $I=I_1+I_2+\dots$ Les niveaux, eux, ne s’additionnent jamais. (Deux sources indépendantes ne sont pas cohérentes : elles ne donnent pas d’interférences stables, voir Diffraction et interférences.)

Méthode. Chaque niveau donne une intensité ($I_k=I_0\times {10}^{L_k/10}$) ; on fait la somme ; on revient au niveau total par $L=10\log \left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)$.

$N$ sources identiques de niveau $L_1$ : $I=N{I}_1$, donc

$L=L_1+10\log N$

Deux sources : $+3,0$ dB ; quatre : $+6,0$ dB ; dix : $+10$ dB.

Sources de niveaux différents. La plus forte impose presque le niveau total : avec un écart de 10 dB, le total ne dépasse la plus forte que de $10\log (1,1)\approx 0,4$ dB. Pour deux sources, le total est toujours compris entre le niveau de la plus forte et ce niveau augmenté de 3,0 dB.

Retirer un bruit de fond. Si l’on connaît le niveau total et celui du bruit de fond seul, l’intensité due à la source seule est la différence : $I_{\text{source}}=I_{\text{total}}-I_{\text{fond}}$.

Atténuation. L’atténuation entre une position 1 et une position 2 (ou celle d’un dispositif placé sur le trajet du son) est la baisse du niveau d’intensité sonore, en décibels :

$A=L_1-L_2=10\log \left({\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}\right)$

L’intensité est alors divisée par le facteur ${\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}={10}^{A/10}$ : 3,0 dB → divisée par 2 ; 10 dB → par 10 ; 20 dB → par 100. Des atténuations successives s’ajoutent en décibels, car les facteurs de division se multiplient.

Atténuation géométrique. Une source ponctuelle et isotrope (qui émet de la même façon dans toutes les directions) de puissance sonore $P$ répartit cette puissance sur une sphère de rayon $d$, de surface $4\pi d^2$ :

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi d^2}}$

Sans perte d’énergie, l’intensité diminue donc comme ${\displaystyle \frac{1}{d^2}}$ : la même puissance traverse une surface 4 fois plus grande à une distance double. Entre les distances $d_1$ et $d_2$ :

$A=10\log \left({\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}\right)=10\log \left({\displaystyle \frac{d_2^2}{d_1^2}}\right)$, soit

$A=20\log \left({\displaystyle \frac{d_2}{d_1}}\right)$

Doubler la distance retire $20\log 2\approx 6,0$ dB ; la multiplier par 10 retire 20 dB.

Absorption. Quand le son se propage dans l’air ou traverse un matériau (mousse, laine minérale, bouchon d’oreille), une partie de son énergie est absorbée par le milieu et convertie en énergie thermique : l’intensité baisse même à distance fixe de la source. C’est l’atténuation par absorption. L’atténuation géométrique, elle, ne fait perdre aucune énergie : elle l’étale.

Obstacles. Une paroi, une fenêtre ou une protection auditive renvoie une partie de l’énergie par réflexion et en absorbe une autre ; seule une petite fraction passe de l’autre côté. Chacune est caractérisée par l’atténuation qu’elle apporte, en dB : derrière elle, $L_2=L_1-A$. Deux obstacles traversés l’un après l’autre : les atténuations s’ajoutent.

Absorption par l’air. Elle se décrit par un coefficient $\alpha$ en dB par kilomètre : sur une distance $d$, $A_{\text{abs}}=\alpha \times d$. Elle augmente fortement avec la fréquence. D’après la norme ISO 9613-1, dans l’air à 20 °C et 70 % d’humidité, $\alpha$ vaut environ 0,3 dB/km à 125 Hz, 5 dB/km à 1 000 Hz et 23 dB/km à 4 000 Hz. Elle est négligeable à quelques mètres, mais pas sur des kilomètres : un son lointain a perdu surtout ses aigus.

Bilan entre deux points. Les deux atténuations s’ajoutent : $L_2=L_1-A_{\text{géom}}-A_{\text{abs}}$.

Les illustrer. Un haut-parleur émet un son de fréquence fixée ; un sonomètre placé à distance fixe mesure $L$ avec, puis sans plaque d’un matériau entre eux : la différence est l’atténuation par absorption de la plaque. Sans plaque, on éloigne le sonomètre : le niveau baisse d’environ 6 dB à chaque doublement de la distance (atténuation géométrique), tant que les réflexions sur les murs restent faibles.

Observation. Quand une ambulance s’approche, sa sirène paraît plus aiguë que lorsqu’elle est arrêtée ; dès qu’elle s’éloigne, elle paraît plus grave. L’effet Doppler est la modification de la fréquence reçue par un récepteur lorsque l’émetteur et le récepteur sont en mouvement l’un par rapport à l’autre. La fréquence émise ne change pas ; seule la fréquence reçue change. Il concerne toutes les ondes : son, ultrasons, ondes radio, lumière.

Interprétation. L’émetteur émet ses crêtes successives depuis des positions différentes. Devant lui, elles sont plus serrées : la longueur d’onde reçue est plus courte, la fréquence reçue plus grande. Derrière lui, c’est l’inverse.

Établir le décalage (observateur fixe, émetteur mobile, à une dimension). Un émetteur E se rapproche à la vitesse $v_E$ d’un récepteur R immobile ; l’onde a la célérité $v$ ($v_E<v$) et E émet une onde de période $T_E$. E émet une crête à $t=0$, la suivante à $t=T_E$. Pendant ce temps, la première crête a parcouru $v{T}_E$ et E a avancé de $v_E{T}_E$ dans le même sens. Deux crêtes successives sont donc séparées de :

${\lambda }_R=v{T}_E-v_E{T}_E=(v-v_E)T_E$

Elles avancent à la célérité $v$ vers R, qui les reçoit à la fréquence $f_R={\displaystyle \frac{v}{{\lambda }_R}}={\displaystyle \frac{v}{(v-v_E)T_E}}$, soit, avec $f_E={\displaystyle \frac{1}{T_E}}$ :

$f_R=f_E{\displaystyle \frac{v}{v-v_E}}$ (E se rapproche)

$f_R=f_E{\displaystyle \frac{v}{v+v_E}}$ (E s’éloigne)

Décalage Doppler. C’est $\Delta f=f_R-f_E$ : $\Delta f=f_E{\displaystyle \frac{v_E}{v-v_E}}>0$ quand E se rapproche, $\Delta f=-f_E{\displaystyle \frac{v_E}{v+v_E}}<0$ quand il s’éloigne. Si $v_E$ est très petite devant $v$, $|\Delta f|\approx f_E{\displaystyle \frac{v_E}{v}}$ dans les deux cas.

Un peu d’histoire. Christian Doppler propose l’effet en 1842. En 1845, Christophorus Buys Ballot le vérifie avec le son : des musiciens jouent une note sur un wagon tiré par une locomotive, entre Utrecht et Maarssen, devant des auditeurs restés sur le quai.

En acoustique : la vitesse d’une source. De $f_R=f_E{\displaystyle \frac{v}{v-v_E}}$, on tire $f_R(v-v_E)=f_{E}v$, d’où, pour un émetteur qui se rapproche :

$v_E=v{\displaystyle \frac{f_R-f_E}{f_R}}$ (E se rapproche)

$v_E=v{\displaystyle \frac{f_E-f_R}{f_R}}$ (E s’éloigne)

Une source qui passe. Si $f_E$ est inconnue, on mesure la fréquence $f_1$ reçue à l’approche et $f_2$ à l’éloignement. Alors ${\displaystyle \frac{1}{f_1}}={\displaystyle \frac{v-v_E}{f_{E}v}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{f_2}}={\displaystyle \frac{v+v_E}{f_{E}v}}$ ; en faisant le rapport, ${\displaystyle \frac{f_1}{f_2}}={\displaystyle \frac{v+v_E}{v-v_E}}$, d’où $v_E=v{\displaystyle \frac{f_1-f_2}{f_1+f_2}}$.

Au laboratoire. Un émetteur d’ultrasons (40 kHz environ) est fixé sur un chariot motorisé qui roule vers un récepteur fixe. On mesure la fréquence reçue, chariot immobile puis en mouvement, à l’oscilloscope (sur plusieurs périodes) ou avec un fréquencemètre, et l’on en déduit la vitesse du chariot.

Pour la lumière et les ondes radio, $v$ devient $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ et dans les situations étudiées, la vitesse de l’émetteur est très petite devant $c$ : ${\displaystyle \frac{|\Delta f|}{f_E}}\approx {\displaystyle \frac{v_E}{c}}$. En longueur d’onde, avec $\Delta \lambda ={\lambda }_R-{\lambda }_E$ : ${\displaystyle \frac{|\Delta \lambda |}{{\lambda }_E}}\approx {\displaystyle \frac{v_E}{c}}$. Une étoile qui s’éloigne a ses raies décalées vers les grandes longueurs d’onde (décalage vers le rouge, $\Delta \lambda >0$) ; une étoile qui se rapproche, vers le bleu ($\Delta \lambda <0$). Les astronomes mesurent ainsi la vitesse radiale des étoiles et des galaxies, et détectent des exoplanètes.

Onde réfléchie sur une cible mobile (radar routier, sonar, échographie Doppler) : l’onde subit deux décalages, à l’aller et au retour ; l’expression à utiliser est alors donnée par l’énoncé.