Transferts thermiques : flux, résistance et loi de Newton

Rappel. Pour un système fermé au repos, le premier principe s’écrit $\Delta U=W+Q$ : toute énergie reçue est comptée positivement. Pour un système incompressible (solide, liquide), $W=0$ et $\Delta U=C\Delta T=mc\Delta T$, avec $C$ la capacité thermique en J·K⁻¹ (voir Système thermodynamique : gaz parfait et premier principe). Ce chapitre étudie le terme $Q$ : comment l’énergie passe d’un corps à un autre, et à quel rythme.

Rappel de 5e. Les trois modes de transfert, les conducteurs et les isolants thermiques ont été vus au collège (voir Énergie : transferts thermiques, chaleur et température) ; on les décrit ici à l’échelle microscopique, avant de les chiffrer.

Sens spontané. Un transfert thermique n’existe que s’il y a un écart de température. Il se fait spontanément du corps le plus chaud vers le corps le plus froid, jusqu’à l’égalité des températures : l’équilibre thermique.

• Conduction (surtout dans les solides) : l’agitation thermique se transmet de proche en proche par chocs entre entités voisines, sans déplacement de matière.
• Convection (liquides et gaz) : un fluide se déplace et emporte son énergie ; le fluide chaud, moins dense, monte, le fluide froid descend.
• Rayonnement (tout milieu transparent, même le vide) : émission et absorption d’ondes électromagnétiques, surtout infrarouges aux températures usuelles.

Rayonnement et surfaces. Tout corps émet un rayonnement d’autant plus intense que sa température est élevée. Une surface mate et sombre absorbe bien le rayonnement qu’elle reçoit ; une surface polie et brillante en réfléchit une grande partie.

Isolants. Les meilleurs isolants (laines, polystyrène expansé, duvet) emprisonnent de l’air immobile dans de petites cellules : l’air conduit très mal, et les cellules l’empêchent de circuler, donc de transporter l’énergie par convection.

Flux thermique. Le flux thermique $\Phi$ à travers une surface est l’énergie transférée par unité de temps : $\Phi ={\displaystyle \frac{Q}{\Delta t}}$, en watts. C’est une puissance ; sur une durée $\Delta t$ (en s), l’énergie transférée vaut $Q=\Phi \Delta t$. Unité pratique : 1 kWh $=3,6\times {10}^6$ J.

Résistance thermique d’une paroi. En régime stationnaire (températures constantes au cours du temps), une paroi plane dont les faces sont à $T_1\>T_2$ est traversée, de la face chaude vers la face froide, par le flux

$\Phi ={\displaystyle \frac{T_1-T_2}{R_{th}}}\text{avec}{R}_{th}={\displaystyle \frac{e}{\lambda S}}$

$e$ est l’épaisseur (m), $S$ l’aire (m²), $\lambda$ la conductivité thermique du matériau (W·m⁻¹·K⁻¹) et $R_{th}$ la résistance thermique (K·W⁻¹) ; l’expression de $R_{th}$ est donnée dans les sujets. Plus $R_{th}$ est grande, plus la paroi isole. On retrouve la forme de la loi d’Ohm : l’écart de température joue le rôle de la tension, le flux celui de l’intensité.

Couches en série. Des couches superposées (mur + isolant + plâtre) sont traversées successivement par le même flux. Les écarts de température de chaque couche s’ajoutent, donc les résistances aussi :

$R_{th}=R_1+R_2+\dots \text{et}{T}_1-T_{\text{jonction}}=R_1\Phi$

La plus forte chute de température se produit dans la couche la plus résistante, c’est-à-dire la plus isolante.

Parois en parallèle. Des parois côte à côte (murs, toiture, fenêtres d’une maison) sont soumises au même écart de température et traversées par des flux différents, qui s’ajoutent :

$\Phi ={\Phi }_1+{\Phi }_2+\dots =\Delta T({\displaystyle \frac{1}{R_1}}+{\displaystyle \frac{1}{R_2}}+\dots )$

C’est la paroi de plus petite résistance qui laisse passer le plus grand flux : c’est le point faible à traiter en priorité.

Rappel de première. La Terre reçoit en moyenne 340 W·m⁻² du Soleil, en renvoie environ 30 % vers l’espace (l’albédo) et émet un rayonnement infrarouge ; l’atmosphère en absorbe une partie : c’est l’effet de serre (voir Bilan radiatif terrestre : albédo et effet de serre).

Loi de Stefan-Boltzmann (fournie). Un corps de température absolue $T$ qui rayonne comme un corps noir émet, par unité de surface, la puissance $p=\sigma T^4$, avec $\sigma =5,67\times {10}^{-8}$ W·m⁻²·K⁻⁴. Une surface $S$ émet $P=\sigma S{T}^4$.

Bilan d’une planète sans atmosphère. En régime stationnaire, sa température ne varie pas : $\Delta U=0$, donc la puissance absorbée est égale à la puissance émise. Le Soleil l’éclaire avec la puissance surfacique $𝒞$ (constante solaire, mesurée face au Soleil) sur un disque d’aire $\pi R^2$ ; elle en absorbe la fraction $1-A$ ; elle émet par toute sa sphère, d’aire $4\pi R^2$ :

$(1-A)𝒞\pi R^2=\sigma 4\pi R^2{T}^4\text{d’où}T={\left({\displaystyle \frac{(1-A)𝒞}{4\sigma }}\right)}^{1/4}$

Pour la Terre ($𝒞=1361$ W·m⁻², $A\approx 0,30$), on obtient 255 K, soit −18 °C, alors que la température moyenne mesurée au sol est d’environ 288 K (15 °C). L’écart est dû à l’effet de serre.

Effet de serre : un modèle à une couche. L’atmosphère laisse passer l’essentiel du rayonnement solaire, mais absorbe une grande partie de l’infrarouge émis par le sol et en réémet vers l’espace et vers le sol. Le sol reçoit donc le rayonnement du Soleil plus celui de l’atmosphère : il est plus chaud qu’en l’absence d’atmosphère. Dans le modèle à une couche, l’atmosphère est une couche de température $T_a$, transparente au rayonnement solaire, qui absorbe une fraction de l’infrarouge du sol et rayonne autant vers le haut que vers le bas ; on écrit le bilan de chaque partie (l’ensemble vu de l’espace, la couche, le sol), chacun en régime stationnaire. Si la couche absorbait tout l’infrarouge du sol, on trouverait $T_s=2^{1/4}{T}_e$ ($T_e$ : température sans effet de serre) : le sol serait trop chaud, car l’atmosphère réelle n’en absorbe qu’une partie.

Influences. Un albédo plus grand (glaces, nuages) diminue la puissance absorbée, donc la température d’équilibre ; davantage de gaz à effet de serre augmente l’infrarouge renvoyé vers le sol, donc la température du sol.

Loi phénoménologique de Newton (fournie). Un système de température uniforme $T$, au contact d’un milieu extérieur de température $T_{ext}$ constante (un thermostat : air d’une pièce, eau d’un grand bain), lui cède le flux

$\Phi =hS(T-T_{ext})$

$h$ est le coefficient de transfert thermique surfacique (W·m⁻²·K⁻¹) et $S$ la surface d’échange. C’est une loi tirée de l’expérience, valable pour des écarts de température modérés. Dans l’air au repos, $h$ vaut de quelques W·m⁻²·K⁻¹ à quelques dizaines.

Équation différentielle. Système incompressible, sans travail : pendant $dt$, il reçoit $\delta Q=-hS(T-T_{ext})dt$ et $dU=mcdT$. Le premier principe donne $mc{\displaystyle \frac{dT}{dt}}=-hS(T-T_{ext})$, soit

${\displaystyle \frac{dT}{dt}}+{\displaystyle \frac{T}{\tau }}={\displaystyle \frac{T_{ext}}{\tau }}\text{avec}\tau ={\displaystyle \frac{mc}{hS}}={\displaystyle \frac{C}{hS}}$

C’est une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants, avec un second membre constant. Ses solutions sont $T(t)=T_{ext}+K{e}^{-t/\tau }$ ; la condition $T(0)=T_0$ donne $K=T_0-T_{ext}$ :

$T(t)=T_{ext}+(T_0-T_{ext})e^{-t/\tau }$

Vérification : ${\displaystyle \frac{dT}{dt}}=-{\displaystyle \frac{T_0-T_{ext}}{\tau }}{e}^{-t/\tau }=-{\displaystyle \frac{T-T_{ext}}{\tau }}$. L’écart $T-T_{ext}$ décroît exponentiellement, que le système refroidisse ($T_0\>T_{ext}$) ou se réchauffe ($T_0\<T_{ext}$). $\tau$ est la constante de temps, en secondes : grande si le système a beaucoup d’énergie à échanger ($m$, $c$ grands), petite si les échanges sont faciles ($h$, $S$ grands).

Lecture de τ. Au bout de $\tau$, l’écart initial est multiplié par $e^{-1}\approx 0,37$ (le système a fait 63 % du chemin) ; la tangente à l’origine coupe l’asymptote $T=T_{ext}$ à $t=\tau$ ; au bout de $5\tau$, il reste moins de 1 % de l’écart.

Durée pour atteindre une température. On isole l’exponentielle puis on prend le logarithme népérien : $e^{-t/\tau }={\displaystyle \frac{T-T_{ext}}{T_0-T_{ext}}}$, d’où $t=\tau \ln \left({\displaystyle \frac{T_0-T_{ext}}{T-T_{ext}}}\right)$.

Déterminer τ à partir de mesures. D’un seul point : $\tau ={\displaystyle \frac{t}{\ln \left(\frac{T_0-T_{ext}}{T-T_{ext}}\right)}}$. De toute la série : $\ln \left({\displaystyle \frac{T-T_{ext}}{T_0-T_{ext}}}\right)=-{\displaystyle \frac{t}{\tau }}$ est une fonction linéaire du temps ; les points doivent s’aligner sur une droite passant par l’origine, de coefficient directeur $-{\displaystyle \frac{1}{\tau }}$. On en tire $hS={\displaystyle \frac{C}{\tau }}$, puis $h$.

Chauffer malgré les pertes. Si le système reçoit aussi une puissance $P$ constante (résistance chauffante), $C{\displaystyle \frac{dT}{dt}}=P-hS(T-T_{ext})$. La température tend vers la valeur limite $T_{lim}=T_{ext}+{\displaystyle \frac{P}{hS}}$, atteinte quand les pertes compensent exactement le chauffage, avec la même constante de temps : $T(t)=T_{lim}+(T_0-T_{lim})e^{-t/\tau }$.

Résolution numérique (méthode d’Euler). On remplace la dérivée par un taux de variation sur un petit pas $\Delta t$ : $T_{k+1}=T_k-\Delta t{\displaystyle \frac{T_k-T_{ext}}{\tau }}$. Le programme ci-dessous calcule ainsi la durée de refroidissement de 60 °C à 30 °C pour $\tau =400$ s et $T_{ext}=15$ °C :

tau, Text, dt = 400.0, 15.0, 10.0
T, t = 60.0, 0.0
while T > 30.0:
    T = T - dt * (T - Text) / tau
    t = t + dt
print(t, T)

Limites du modèle. Température supposée uniforme (le cœur d’une pièce épaisse reste plus chaud) ; $h$ supposé constant alors que la convection dépend de l’écart ; rayonnement non proportionnel à l’écart, important aux hautes températures ; évaporation d’un liquide ; milieu extérieur qui doit rester à température constante.