Diffraction et interférences

Rappel de première. Une onde progressive sinusoïdale est périodique dans le temps (période $T$, fréquence $f={\displaystyle \frac{1}{T}}$) et dans l’espace (longueur d’onde $\lambda$), avec $\lambda =vT={\displaystyle \frac{v}{f}}$, où $v$ est la célérité de l’onde (Ondes mécaniques : propagation et périodicité). Pour la lumière dans le vide ou dans l’air, $v=c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹. Dans tout ce chapitre, les ondes sont progressives et sinusoïdales.

Le phénomène. Une onde qui rencontre une ouverture ou un obstacle de dimension $a$ ne se propage plus seulement en ligne droite : elle s’étale au-delà, dans des directions qu’elle n’atteindrait pas sans lui. C’est la diffraction. Elle concerne toutes les ondes : houle, son, ultrasons, ondes radio, lumière.

Conditions d’observation. La diffraction est d’autant plus marquée que $a$ est petite ; elle devient très importante quand $a$ est du même ordre de grandeur que $\lambda$, ou plus petite. Si $a$ est très grande devant $\lambda$, l’onde passe pratiquement en ligne droite. Avec un laser, une fente de quelques dixièmes de millimètre (quelques centaines de fois $\lambda$) donne déjà une figure visible sur un écran éloigné de quelques mètres.

Ce qui ne change pas. La diffraction ne modifie ni la fréquence, ni la célérité, donc ni la longueur d’onde : seule la répartition des directions de propagation change.

Figure de diffraction d’une fente. Sur un écran éloigné, on observe une tache centrale très lumineuse, encadrée de taches secondaires beaucoup moins lumineuses et deux fois moins larges, séparées par des zones sombres, les extinctions. La figure s’étale perpendiculairement à la fente : une fente verticale donne une figure horizontale. Un trou circulaire donne une tache centrale entourée d’anneaux.

Fente et fil. Un fil (ou un cheveu) de diamètre $a$ donne la même figure de diffraction qu’une fente de largeur $a$ (résultat admis) : on mesure ainsi des diamètres de quelques dizaines de micromètres.

Conséquences concrètes. On entend une personne cachée derrière une porte entrouverte ; la houle pénètre derrière une digue ; la diffraction limite la finesse des détails qu’un télescope, un microscope ou l’œil peuvent distinguer, et la taille minimale de la tache d’un laser qui lit un disque optique.

Angle caractéristique. Pour une fente de largeur $a$ éclairée par une onde monochromatique de longueur d’onde $\lambda$, la direction de la première extinction fait avec l’axe du faisceau l’angle $\theta$ :

$\theta ={\displaystyle \frac{\lambda }{a}}\theta \text{ en radians ; }\lambda \text{ et }a\text{ dans la même unité}$

$\theta$ est un demi-angle : il va du centre de la tache centrale à la première extinction. Il augmente quand $\lambda$ augmente (le rouge est plus diffracté que le bleu) et quand $a$ diminue. Cette relation vaut pour des angles petits, ce qui est le cas en optique.

Largeur de la tache centrale. Sur un écran à la distance $D$ de la fente, la demi-largeur de la tache centrale est ${\displaystyle \frac{L}{2}}$ : dans le triangle rectangle formé par la fente, le centre de la tache et la première extinction, $\tan \theta ={\displaystyle \frac{L}{2D}}$. Pour un petit angle exprimé en radians, $\tan \theta \approx \theta$, d’où :

$\theta \approx {\displaystyle \frac{L}{2D}}\text{et}L={\displaystyle \frac{2\lambda D}{a}}$

Exploitation graphique. Pour une même longueur d’onde, $\theta$ est proportionnel à ${\displaystyle \frac{1}{a}}$ : la courbe $\theta =f\left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)$ est une droite passant par l’origine, de coefficient directeur $\lambda$. Avec plusieurs fentes calibrées, on mesure ainsi $\lambda$ ; on en déduit ensuite la largeur d’une fente ou le diamètre d’un fil inconnus.

Traitement d’image. Sur une photographie de la figure, un logiciel donne les positions en pixels ; une échelle (par exemple une règle photographiée sur l’écran) convertit les pixels en millimètres avant tout calcul.

Superposition. Quand deux ondes atteignent le même point M, leurs élongations s’ajoutent : $y(t)=y_1(t)+y_2(t)$. On parle d’interférences quand cette superposition donne en chaque point une amplitude stable dans le temps, qui varie d’un point à l’autre entre un maximum et un minimum.

Deux signaux synchrones (même période $T$) : $y_1=A_1\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi t}{T}}\right)$ et $y_2=A_2\cos ({\displaystyle \frac{2\pi t}{T}}+\phi )$, où $\phi$ est la phase à l’origine du second, c’est-à-dire son déphasage par rapport au premier. Leur somme est un signal sinusoïdal de même période $T$, dont l’amplitude dépend de $\phi$ :

• signaux en phase ($\phi =0$, $2\pi$, $4\pi$…) : ils s’ajoutent, l’amplitude est maximale et vaut $A_1+A_2$ : interférences constructives ;
• signaux en opposition de phase ($\phi =\pi$, $3\pi$…) : ils se retranchent, l’amplitude est minimale et vaut $|A_1-A_2|$, nulle si $A_1=A_2$ : interférences destructives ;
• autre déphasage : amplitude intermédiaire.

Déphasage et retard. Si le second signal reproduit le premier avec un retard $\Delta \tau$, son déphasage vaut $\phi =2\pi {\displaystyle \frac{\Delta \tau }{T}}$ (au signe près) : un retard d’une période entière donne des signaux en phase, un retard d’une demi-période des signaux en opposition de phase.

Cohérence. Deux ondes ne donnent une figure d’interférences stable que si elles sont cohérentes : même fréquence et déphasage constant dans le temps. On les obtient en dédoublant une source unique : deux fentes éclairées par le même laser, deux pointes fixées au même vibreur, deux haut-parleurs branchés sur le même générateur. Deux lampes, deux lasers ou deux générateurs indépendants ne sont pas cohérents : la figure se brouille ou défile.

En Python. Le programme ci-dessous trace $y_1$, $y_2$ et leur somme ; on fait varier phi pour voir l’amplitude de la somme passer de $A_1+A_2$ à $|A_1-A_2|$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
T = 2.0e-3            # période commune (s)
A1, A2 = 3.0, 2.0     # amplitudes (mm)
phi = np.pi           # phase à l’origine du signal 2 (rad)
t = np.linspace(0, 3*T, 600)
y1 = A1*np.cos(2*np.pi*t/T)
y2 = A2*np.cos(2*np.pi*t/T + phi)
plt.plot(t, y1, t, y2, t, y1 + y2)
plt.xlabel("t (s)")
plt.show()

Conséquences concrètes. Un casque à réduction de bruit émet un son de même fréquence que le bruit, en opposition de phase ; les couleurs irisées des bulles de savon, des ailes de certains papillons ou du traitement antireflet des lunettes viennent d’interférences lumineuses.

Situation. Deux sources ponctuelles $S_1$ et $S_2$ émettent en phase des ondes de même période $T$, qui se propagent à la célérité $v$ dans un milieu homogène. Un point M est à la distance $d_1$ de $S_1$ et $d_2$ de $S_2$. On appelle différence de marche $\delta =d_2-d_1$.

Démonstration (à savoir refaire). L’onde issue de $S_1$ met la durée ${\displaystyle \frac{d_1}{v}}$ pour atteindre M, celle issue de $S_2$ met ${\displaystyle \frac{d_2}{v}}$. En M, la seconde est donc en retard de

$\Delta \tau ={\displaystyle \frac{d_2-d_1}{v}}={\displaystyle \frac{\delta }{v}}$

• Les deux vibrations arrivent en phase si ce retard est un multiple de la période : $\Delta \tau =kT⟺\delta =kvT=k\lambda$ : interférences constructives, amplitude maximale ;
• elles arrivent en opposition de phase si $\Delta \tau =(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T⟺\delta =(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})\lambda$ : interférences destructives, amplitude minimale ;
• dans les autres cas, l’amplitude est intermédiaire ($k$ est un entier relatif).

Dans une cuve à ondes. Deux pointes fixées au même vibreur frappent l’eau en phase. Les points où l’eau reste immobile dessinent des lignes (des hyperboles de foyers $S_1$ et $S_2$), qui alternent avec des lignes d’amplitude maximale ; un stroboscope permet de les observer. On teste les conditions précédentes en mesurant $d_1$ et $d_2$ pour des points de chaque ligne.

Dispositif. Un laser éclaire deux fentes (ou deux trous) très fines, parallèles, distantes de $b$ : chacune diffracte la lumière, et les deux ondes, issues du même laser, sont cohérentes et en phase. Sur un écran placé à la distance $D\gg b$, on observe, dans la zone où les deux faisceaux diffractés se superposent, des franges rectilignes, parallèles aux fentes, équidistantes, alternativement brillantes et sombres.

Différence de chemin optique. Pour la lumière, on compare les chemins optiques : dans un milieu d’indice $n$, $\delta =n(d_2-d_1)$ ; dans l’air, $n=1,00$. En un point M d’abscisse $x$ de l’écran (origine O au centre de la figure), l’expression linéarisée est donnée : $\delta ={\displaystyle \frac{nbx}{D}}$, soit $\delta ={\displaystyle \frac{bx}{D}}$ dans l’air. Les conditions de la partie précédente s’appliquent : frange brillante si $\delta =k\lambda$, frange sombre si $\delta =(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})\lambda$.

Établir l’interfrange (dans l’air). Les franges brillantes vérifient ${\displaystyle \frac{b{x}_k}{D}}=k\lambda$, donc $x_k={\displaystyle \frac{k\lambda D}{b}}$. Deux franges brillantes consécutives sont distantes de

$i=x_{k+1}-x_k={\displaystyle \frac{(k+1)\lambda D}{b}}-{\displaystyle \frac{k\lambda D}{b}}\text{soit}i={\displaystyle \frac{\lambda D}{b}}$

La frange centrale ($x=0$, $k=0$) est brillante ; les franges sombres sont à mi-chemin, en $x=(k+{\displaystyle \frac{1}{2}})i$. En un point d’abscisse $x$, ${\displaystyle \frac{\delta }{\lambda }}={\displaystyle \frac{x}{i}}$ : c’est un moyen rapide de connaître la nature du point. L’interfrange est proportionnel à $\lambda$ et à $D$, inversement proportionnel à $b$.

Mesurer un interfrange. On choisit $N$ franges brillantes consécutives, le plus grand nombre lisible, et on mesure la distance $\ell$ entre les centres des deux franges extrêmes : elle couvre $N-1$ interfranges, donc $i={\displaystyle \frac{\ell }{N-1}}$. L’incertitude de lecture des deux centres est la même quel que soit $N$ : répartie sur $N-1$ interfranges, elle pèse $N-1$ fois moins sur $i$. Par traitement d’image, on lit les positions en pixels et on les convertit grâce à l’échelle de la photographie.

Exploiter $i={\displaystyle \frac{\lambda D}{b}}$. On isole l’inconnue : $\lambda ={\displaystyle \frac{ib}{D}}$, $b={\displaystyle \frac{\lambda D}{i}}$ ou $D={\displaystyle \frac{ib}{\lambda }}$. Avec plusieurs distances $D$, la courbe $i=f(D)$ est une droite passant par l’origine, de coefficient directeur ${\displaystyle \frac{\lambda }{b}}$.

Dans un milieu d’indice $n$. La fréquence de la lumière ne change pas, mais sa longueur d’onde devient ${\displaystyle \frac{\lambda }{n}}$ : l’interfrange est divisé par $n$, les franges se resserrent.

Franges et diffraction. Les franges n’apparaissent que dans la zone éclairée par les deux fentes, c’est-à-dire à l’intérieur de la tache centrale de diffraction de chaque fente, de largeur ${\displaystyle \frac{2\lambda D}{a}}$ : leur nombre dépend du rapport entre $b$ et $a$.

En lumière blanche. Chaque radiation a son propre interfrange. Au centre, $\delta =0$ pour toutes : la frange centrale est blanche. De part et d’autre, quelques franges irisées, puis l’écran paraît de nouveau blanchâtre (« blanc d’ordre supérieur ») : en chaque point, plusieurs radiations réparties sur tout le spectre sont éteintes à la fois. En un point où la différence de marche vaut $\delta$, sont éteintes les radiations visibles de longueur d’onde $\lambda ={\displaystyle \frac{\delta }{k+1/2}}$ et renforcées celles de longueur d’onde $\lambda ={\displaystyle \frac{\delta }{k}}$ ; un spectroscope y montre des cannelures sombres.