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Fiche de révision : Modéliser l'écoulement d'un fluide

Poussée d’Archimède et flottaison ; débit volumique et conservation du débit ; relation de Bernoulli et ses hypothèses ; vidange d’un réservoir ; effet Venturi et tube de Pitot.

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Écoulement d’un fluide : débit et relation de Bernoulli

Fiche méthode

(Physique-chimie Tle spécialité · Mouvement et interactions · Modéliser l’écoulement d’un fluide)

La démarche pour un exercice de mécanique des fluides

1. Je fixe le modèle : système et référentiel terrestre pour une poussée ; fluide incompressible, écoulement permanent, fluide parfait pour un débit ou Bernoulli.

2. Je convertis en SI : cm³ → 10⁻⁶ m³, L → 10⁻³ m³, mm → m, min → 60 s, bar → 10⁵ Pa, kPa → 10³ Pa.

3. Je choisis la relation : $Π = ρ_{fluide} V_{imm} g$ et l’équilibre $Π = P$ ; $D_{V} = S v$ et $S_{A} v_{A} = S_{B} v_{B}$ ; Bernoulli entre deux points bien choisis.

4. Je résous littéralement, puis je fais l’application numérique avec le bon nombre de chiffres significatifs.

5. Je contrôle : sens physique (la vitesse augmente au rétrécissement, la pression baisse en montant), ordre de grandeur, hypothèses vérifiées.

Le réflexe — la poussée se calcule avec le fluide et le volume immergé ; la vitesse se relie au débit par la section ; la pression se relie à la vitesse et à l’altitude par Bernoulli.

Cas 1 · Calculer une poussée d’Archimède

Réflexe — $Π = ρ_{fluide} V_{imm} g$ , volume en m³ ; au dynamomètre, $Π = P - P_{app}$ .

Exemple. Une ancre de volume 2,4 L, entièrement plongée dans l’eau de mer (1 025 kg·m⁻³).

$Π = 1 025 \times 2, 4 \times 10^{- 3} \times 9, 81 \approx$ 24,1 N, verticale vers le haut.

Attention — masse volumique du fluide, pas du corps.

Cas 2 · Flotter : équilibre et charge maximale

Réflexe — $Π = P$ ; $\frac{V_{imm}}{V} = \frac{ρ_{corps}}{ρ_{fluide}}$ ; charge maximale quand $V_{imm} = V$ .

Exemple. Un radeau de polystyrène de 0,060 m³ ( $ρ$ = 30 kg·m⁻³) sur l’eau douce : charge maximale.

À la limite, $ρ_{eau} V g = (ρ_{p} V + m) g$ , d’où $m = (1 000 - 30) \times 0, 060 \approx$ 58,2 kg.

Attention — fraction immergée = $ρ_{corps} / ρ_{fluide}$ ; l’émergée est le complément.

Cas 3 · Débit et conservation du débit

Réflexe — $D_{V} = \frac{V}{Δ t} = S v$ avec $S = \frac{π d^{2}}{4}$ ; $v_{B} = v_{A} {(\frac{d_{A}}{d_{B}})}^{2}$ .

Exemple. La pompe d’une piscine débite 9,0 m³·h⁻¹ dans un tuyau de 50 mm de diamètre intérieur : vitesse de l’eau.

$D_{V} = \frac{9, 0}{3 600} = 2, 5 \times 10^{- 3}$ m³·s⁻¹ ; $S = \frac{π \times 0, 050^{2}}{4} = 1, 96 \times 10^{- 3}$ m² ; $v = \frac{D_{V}}{S} \approx$ 1,27 m·s⁻¹.

Attention — diamètre ÷ 2 ⇒ vitesse × 4.

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Cas 4 · Appliquer la relation de Bernoulli

Réflexe — hypothèses, deux points, $P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z$ en chacun, simplifications, calcul littéral.

Exemple. Eau en A : 3,0 × 10⁵ Pa, 2,0 m·s⁻¹. En B, 4,0 m plus haut, elle circule à 5,0 m·s⁻¹. Pression en B ?

$P_{B} = P_{A} + \frac{1}{2} ρ (v_{A}^{2} - v_{B}^{2}) - ρ g (z_{B} - z_{A}) = 3, 0 \times 10^{5} - 10 500 - 39 240 \approx$ $2, 50 \times 10^{5}$ Pa.

Attention — ne pas oublier le terme $ρ g z$ quand les altitudes diffèrent.

Cas 5 · Vidange : formule de Torricelli

Réflexe — A surface libre, B jet, tous deux à $P_{atm}$ : $v = \sqrt{2 g h}$ , puis $D_{V} = s v$ .

Exemple. Robinet de diamètre 15 mm, 1,2 m sous la surface libre d’une grande cuve.

$v = \sqrt{2 \times 9, 81 \times 1, 2} \approx$ 4,85 m·s⁻¹ ; $D_{V} = \frac{π \times 0, 015^{2}}{4} \times v \approx$ 51,4 L·min⁻¹.

Attention — $h$ se mesure depuis la surface libre ; $v$ ne dépend pas de $ρ$ .

Cas 6 · Effet Venturi, tube de Pitot

Réflexe — $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} ρ (v_{B}^{2} - v_{A}^{2})$ ; $v = \sqrt{\frac{2 (P_{t} - P_{s})}{ρ}}$ .

Exemple. Eau à 0,45 m·s⁻¹ dans une conduite horizontale de 30 mm qui se rétrécit à 12 mm : baisse de pression.

$v_{B} = 0, 45 \times {(\frac{30}{12})}^{2} = 2, 81$ m·s⁻¹ ; $P_{A} - P_{B} = 500 \times (2, 81^{2} - 0, 45^{2}) \approx$ $3, 85 \times 10^{3}$ Pa.

Attention — soustraire les carrés des vitesses ; pas de « compression » au col.

Les pièges

Calculer la poussée avec la masse volumique du corps ou avec son volume total alors qu’il flotte.
Utiliser le rayon au lieu du diamètre dans $S = \frac{π d^{2}}{4}$ , ou oublier le carré du rapport des diamètres.
Oublier de convertir : un débit en L·min⁻¹ se divise par 60 000 pour passer en m³·s⁻¹.
Oublier le terme d’altitude $ρ g z$ : environ 10 kPa par mètre pour l’eau.
Appliquer Bernoulli à un fluide visqueux, à un gaz rapide, ou de part et d’autre d’une pompe.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

La fiche méthode tient en deux pages : la démarche en cinq étapes, du choix du modèle au contrôle du résultat, puis un exemple corrigé par cas — une ancre dans l’eau de mer, un radeau de polystyrène, la pompe d’une piscine, une eau qui monte en accélérant, un robinet de cuve, un rétrécissement de conduite — et cinq pièges sur les unités, les sections et les hypothèses.

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