Comment modéliser l'écoulement d'un fluide en Terminale ?

On modélise le fluide comme incompressible (masse volumique constante) et l'écoulement comme permanent (vitesse et pression indépendantes du temps en chaque point). Deux lois suffisent alors : la conservation du débit volumique D_V = S × v, et la relation de Bernoulli, qui relie pression, vitesse et altitude le long d'une ligne de courant.

Quelles sont les conditions d'application de la relation de Bernoulli ?

La relation P + ½ρv² + ρgz = constante s'applique à un fluide parfait (viscosité négligeable), incompressible, en écoulement permanent, entre deux points d'une même ligne de courant sans pompe ni turbine entre eux. Elle ne convient pas pour un liquide très visqueux ni pour un gaz rapide.

Qu'est-ce que l'effet Venturi ?

Quand une conduite horizontale se rétrécit, la conservation du débit impose une vitesse plus grande, et la relation de Bernoulli impose alors une pression plus faible. Cette baisse de pression au col sert à mesurer des débits (débitmètre de Venturi) ou à aspirer un fluide (trompe à eau, pulvérisateur).

Comment calculer la poussée d'Archimède ?

La poussée d'Archimède est verticale, vers le haut, et vaut Π = ρ_fluide × V_immergé × g : c'est le poids du fluide déplacé. Par exemple, un objet de 2,0 L totalement immergé dans l'eau subit Π = 1 000 × 2,0×10⁻³ × 9,81 ≈ 19,6 N.

Comment trouver la vitesse de sortie d'un liquide lors de la vidange d'un réservoir ?

On applique la relation de Bernoulli entre la surface libre (pression atmosphérique, vitesse quasi nulle) et le jet (pression atmosphérique). On obtient la formule de Torricelli v = √(2gh), où h est la hauteur de liquide au-dessus de l'orifice ; cette vitesse ne dépend pas de la nature du liquide.

Spécialité Physique-Chimie Terminale

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Modéliser l'écoulement d'un fluide

Poussée d'Archimède, débit volumique, conservation du débit, relation de Bernoulli et applications (thème Mouvement et interactions)

À propos de cette page

Ce cours de spécialité physique-chimie en terminale sur « Modéliser l'écoulement d'un fluide » suit le programme officiel de spécialité physique-chimie de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Poussée d'Archimède, Débit volumique et conservation du débit, Relation de Bernoulli et hypothèses de validité. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité physique-chimie.

L'essentiel

Fluide incompressible : sa masse volumique

ρ

reste constante. C'est le cas des liquides, et des gaz tant que leur vitesse reste faible devant celle du son.
Écoulement permanent (ou stationnaire) : en chaque point, la vitesse et la pression du fluide ne dépendent pas du temps.

Poussée d'Archimède :

\vec{Π} = - ρ_{fluide} V_{imm} \vec{g}

, verticale, vers le haut, de norme

Π = ρ_{fluide} V_{imm} g

Débit volumique :

D_{V} = \frac{V}{Δ t} = S v

, en m³·s⁻¹. Conservation du débit :

S_{A} v_{A} = S_{B} v_{B}

Relation de Bernoulli (fluide parfait, incompressible, écoulement permanent, le long d'une ligne de courant) :

P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z = constante

Rappel de 1re. Pression

P = \frac{F}{S}

en pascals (1 bar = 10⁵ Pa). Loi fondamentale de la statique des fluides :

P_{B} - P_{A} = ρ g (z_{A} - z_{B})

. C'est la relation de Bernoulli dans le cas

v = 0

Poussée d'Archimède

Un corps plongé dans un fluide subit des forces pressantes sur toute sa surface. La pression augmentant avec la profondeur, les forces exercées sur le bas du corps l'emportent sur celles exercées sur le haut : leur résultante est verticale et dirigée vers le haut. C'est la poussée d'Archimède.

Poussée d'Archimède. Tout corps immergé, totalement ou partiellement, dans un fluide au repos subit une force verticale, vers le haut, égale au poids du fluide déplacé :

\vec{Π} = - ρ_{fluide} V_{imm} \vec{g}

, où

V_{imm}

est le volume de la partie immergée.

Exemple. Un galet de volume 180 cm³ = 1,80×10⁻⁴ m³ est plongé dans l'eau :

Π = 1, 00 \times 10^{3} \times 1, 80 \times 10^{- 4} \times 9, 81 = 1, 77

Comparaison	Corps lâché, totalement immergé
$\rho_{\text{corps}} < \rho_{\text{fluide}}$	$Π > P$ : il remonte, puis flotte partiellement immergé
$ρ_{corps} = ρ_{fluide}$	$Π = P$ : il reste en équilibre à toute profondeur
$ρ_{corps} > ρ_{fluide}$	$\Pi < P$ : il coule

Pour un corps qui flotte, l'équilibre

Π = P

donne

\frac{V_{imm}}{V} = \frac{ρ_{corps}}{ρ_{fluide}}

. La poussée existe aussi dans l'air : c'est elle qui fait monter ballons et montgolfières.

Débit volumique et conservation du débit

Débit volumique. Volume de fluide qui traverse une section par unité de temps :

D_{V} = \frac{V}{Δ t}

. Pendant

Δ t

, le fluide avance de

v Δ t

dans une conduite de section

S

: le volume écoulé est

S v Δ t

, d'où

D_{V} = S v

(

v

: vitesse moyenne dans la section). Le débit massique vaut

D_{m} = ρ D_{V}

(kg·s⁻¹).

Exemple. Tuyau d'arrosage de diamètre 16 mm, eau à 1,3 m·s⁻¹ :

S = \frac{π d^{2}}{4} = 2, 01 \times 10^{- 4}

m²,

D_{V} = S v = 2, 61 \times 10^{- 4}

m³·s⁻¹, soit 15,7 L·min⁻¹.

Conservation du débit volumique. Pour un fluide incompressible en écoulement permanent, sans fuite ni apport, le débit volumique est le même à travers toute section de la conduite :

S_{A} v_{A} = S_{B} v_{B}

. Pour des sections circulaires :

v_{B} = v_{A} {(\frac{d_{A}}{d_{B}})}^{2}

. À une bifurcation, ce sont les débits qui s'additionnent :

D_{0} = D_{1} + D_{2}

Exemple. Le tuyau précédent se termine par un embout de 10 mm :

v = 1, 3 \times {(\frac{16}{10})}^{2} = 3, 33

m·s⁻¹. Là où la conduite se rétrécit, le fluide accélère.

Relation de Bernoulli et hypothèses de validité

Relation de Bernoulli. Pour deux points A et B d'une même ligne de courant :

P_{A} + \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} + ρ g z_{A} = P_{B} + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} + ρ g z_{B}

avec

P

en Pa,

ρ

en kg·m⁻³,

v

en m·s⁻¹ et

z

en m (axe vertical orienté vers le haut).

Hypothèses de validité, à citer dans toute rédaction :

fluide parfait : viscosité et frottements négligeables ;
fluide incompressible : $ρ$ constante ;
écoulement permanent ;
A et B sur une même ligne de courant, sans machine (pompe, turbine) entre eux.

Interprétation énergétique. Chaque terme est une énergie par unité de volume (1 Pa = 1 J·m⁻³) :

\frac{1}{2} ρ v^{2}

est l'énergie cinétique volumique,

ρ g z

l'énergie potentielle de pesanteur volumique,

P

le terme lié aux forces pressantes. La relation traduit la conservation de l'énergie mécanique d'un fluide sans frottement.

Cas particulier	Relation obtenue
Fluide au repos ( $v = 0$ )	statique des fluides : $P_{A} + ρ g z_{A} = P_{B} + ρ g z_{B}$
Conduite horizontale ( $z_{A} = z_{B}$ )	effet Venturi : $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} ρ (v_{B}^{2} - v_{A}^{2})$
Jet à l'air libre ( $P = P_{atm}$ )	$\frac{1}{2} v^{2} + g z$ constant, comme en chute libre

Pour un fluide réel (visqueux), l'énergie mécanique diminue le long de l'écoulement : dans une conduite horizontale de section constante, la pression baisse de l'amont vers l'aval (pertes de charge). La relation de Bernoulli n'est alors qu'un modèle approché.

Effet Venturi, tube de Pitot et vidange d'un réservoir

Effet Venturi. Dans une conduite horizontale qui se rétrécit, la vitesse augmente (conservation du débit) donc la pression diminue (relation de Bernoulli) : au col, la pression est minimale.

Exemple. Eau passant de 1,3 m·s⁻¹ à 3,33 m·s⁻¹ (tuyau de la partie 3) :

P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} \times 1, 00 \times 10^{3} \times (3, 33^{2} - 1, 3^{2}) \approx 4, 7 \times 10^{3}

Pa.

Applications : débitmètre de Venturi (la mesure de $P_{A} - P_{B}$ donne le débit), trompe à eau, pulvérisateur ; en médecine, baisse de pression dans une artère rétrécie (sténose).

Tube de Pitot. Une prise tournée face à l'écoulement crée un point d'arrêt où

v = 0

: elle mesure la pression totale

P_{t}

. Des prises latérales mesurent la pression statique

P_{s}

de l'écoulement non perturbé. Les deux prises étant à la même altitude :

v = \sqrt{\frac{2 (P_{t} - P_{s})}{ρ}}

où

ρ

est la masse volumique du fluide en mouvement. C'est le principe de l'anémomètre des avions.

Vidange d'un réservoir : formule de Torricelli. Un liquide sort d'un grand réservoir ouvert, par un petit orifice situé à la profondeur

h

sous la surface libre, avec la vitesse

v = \sqrt{2 g h}

C'est la vitesse d'un objet en chute libre depuis la hauteur

h

: elle ne dépend pas de la masse volumique du liquide.

Comme $v$ varie comme $\sqrt{h}$ , le débit diminue à mesure que le réservoir se vide : la fin d'une vidange est lente.

Méthodes

Méthode 1 — Étudier la flottaison d'un corps

Définir le système et le référentiel terrestre.
Faire le bilan des forces : poids $P = ρ_{corps} V g$ et poussée $Π = ρ_{fluide} V_{imm} g$ .
Écrire la condition d'équilibre $Π = P$ .
Isoler l'inconnue : volume immergé, masse maximale, masse volumique.

Exemple rédigé. Un iceberg (

ρ = 917

kg·m⁻³) flotte dans l'eau de mer (

ρ = 1 025

kg·m⁻³). À l'équilibre,

ρ_{mer} V_{imm} g = ρ_{glace} V g

, donc

\frac{V_{imm}}{V} = \frac{917}{1 025} = 0, 895

: 89,5 % du volume est immergé, seuls 10,5 % émergent.

Méthode 2 — Exploiter la conservation du débit

Vérifier les hypothèses : fluide incompressible, écoulement permanent, pas de fuite.
Convertir en unités SI : 1 L = 10⁻³ m³ ; 1 L·min⁻¹ = $\frac{10^{- 3}}{60}$ m³·s⁻¹ ; mm → m.
Calculer la section $S = \frac{π d^{2}}{4}$ (diamètre, et non rayon).
Écrire $D_{V} = S v$ dans la section utile et conclure.

Exemple rédigé. Une lance d'incendie débite 480 L·min⁻¹ par une buse de diamètre 25 mm.

D_{V} = \frac{480 \times 10^{- 3}}{60} = 8, 00 \times 10^{- 3}

m³·s⁻¹ ;

S = \frac{π \times (25 \times 10^{- 3})^{2}}{4} = 4, 91 \times 10^{- 4}

m² ;

v = \frac{D_{V}}{S} =

16,3 m·s⁻¹.

Méthode 3 — Appliquer la relation de Bernoulli entre deux points

Citer les hypothèses : fluide parfait, incompressible, écoulement permanent, même ligne de courant.
Choisir A et B là où l'on connaît le plus de grandeurs : surface libre, jet, point d'arrêt.
Simplifier : surface libre ou jet à l'air libre → $P = P_{atm}$ ; grand réservoir → $v \approx 0$ ; même altitude → les termes $ρ g z$ s'éliminent.
Relier les vitesses par la conservation du débit si nécessaire.
Résoudre littéralement, puis faire l'application numérique.

Exemple rédigé : démonstration de la formule de Torricelli. A sur la surface libre (

P_{atm}

v_{A} \approx 0

z_{A} = h

), B dans le jet à la sortie de l'orifice (

P_{atm}

v_{B}

z_{B} = 0

). Bernoulli :

P_{atm} + ρ g h = P_{atm} + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2}

, d'où

v_{B} = \sqrt{2 g h}

. Pour

h = 0, 85

m :

v_{B} = \sqrt{2 \times 9, 81 \times 0, 85} =

4,08 m·s⁻¹.

Méthode 4 — Exploiter un tube de Pitot

Identifier la pression totale $P_{t}$ (point d'arrêt, $v = 0$ ) et la pression statique $P_{s}$ .
Appliquer Bernoulli entre un point de l'écoulement amont et le point d'arrêt, à la même altitude : $P_{s} + \frac{1}{2} ρ v^{2} = P_{t}$ .
En déduire $v$ avec la masse volumique du fluide qui s'écoule, et non celle du liquide du manomètre.

Exemple rédigé. Dans une soufflerie,

P_{t} - P_{s} = 610

Pa dans l'air (

ρ = 1, 23

kg·m⁻³) :

v = \sqrt{\frac{2 \times 610}{1, 23}} = 31, 5

m·s⁻¹, soit 113 km·h⁻¹.

Pièges et erreurs classiques

Masse volumique dans la poussée.

Π

se calcule avec la masse volumique du fluide et le volume immergé, jamais avec la masse volumique du corps.

Diamètre et vitesse. Diviser le diamètre par 2 divise la section par 4 : la vitesse est multipliée par 4, pas par 2.

Unités. Litres, millimètres, kilopascals et bars se convertissent avant tout calcul ; un débit en L·min⁻¹ se divise par 60 000 pour passer en m³·s⁻¹.

Terme d'altitude oublié. Dès que

z_{A} \neq z_{B}

, le terme

ρ g z

compte : pour l'eau, environ 10 kPa de moins par mètre de montée.

Venturi contre-intuitif. Au rétrécissement, le fluide n'est pas « comprimé » : il accélère, et sa pression diminue.

Domaine de validité. Pas de relation de Bernoulli pour un fluide très visqueux (miel, huile épaisse), un gaz rapide (compressible), un écoulement non permanent, ni entre deux points séparés par une pompe.

Torricelli.

h

se mesure de la surface libre à l'orifice ;

v

ne dépend ni de

ρ

ni de la taille de l'orifice (seul le débit en dépend).

En bref

Poussée d'Archimède : $Π = ρ_{fluide} V_{imm} g$ , verticale vers le haut ; un corps flotte si $\rho_{\text{corps}} < \rho_{\text{fluide}}$.
Débit volumique : $D_{V} = \frac{V}{Δ t} = S v$ ; fluide incompressible en écoulement permanent : $S_{A} v_{A} = S_{B} v_{B}$ .
Bernoulli : $P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z$ constant le long d'une ligne de courant (fluide parfait, incompressible, écoulement permanent).
Effet Venturi : rétrécissement → vitesse plus grande → pression plus faible.
Tube de Pitot : $v = \sqrt{\frac{2 (P_{t} - P_{s})}{ρ}}$ ; formule de Torricelli : $v = \sqrt{2 g h}$ .

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