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Écoulement d’un fluide : débit et relation de Bernoulli

Poussée d’Archimède et flottaison ; débit volumique et conservation du débit ; relation de Bernoulli et ses hypothèses ; vidange d’un réservoir ; effet Venturi et tube de Pitot.

À propos de cette page

Ce cours de physique-chimie de terminale spécialité modélise l’écoulement d’un fluide en six parties : origine et expression vectorielle de la poussée d’Archimède et sa mesure au dynamomètre, flottaison et masses volumiques, débit volumique et conservation du débit, relation de Bernoulli et ses hypothèses, formule de Torricelli pour la vidange d’un réservoir, effet Venturi et tube de Pitot.

La poussée d’Archimède

Ce qu’il faut savoir

Rappel de première. Un fluide exerce sur toute surface en contact une force pressante perpendiculaire à la surface, de valeur $F = P S$ . Dans un fluide au repos, la pression augmente avec la profondeur selon la loi fondamentale de la statique des fluides, $P_{B} - P_{A} = ρ g (z_{A} - z_{B})$ , l’axe vertical étant orienté vers le haut (Fluide au repos : pression et statique des fluides).

Origine de la poussée d’Archimède. Un corps plongé dans un fluide subit des forces pressantes sur toute sa surface. Sur les faces latérales, elles se compensent deux à deux. Sur la face du bas, plus profonde, la pression est plus grande que sur la face du haut : la résultante de toutes ces forces est verticale et dirigée vers le haut. Pour un pavé de hauteur $H$ et de base $S$ : $F_{bas} - F_{haut} = (P_{bas} - P_{haut}) S = ρ_{fluide} g H S = ρ_{fluide} V g$ , le poids du fluide qui occuperait la place du pavé.

Poussée d’Archimède. Tout corps immergé, totalement ou partiellement, dans un fluide au repos subit de la part de ce fluide une force verticale, vers le haut, égale au poids du fluide déplacé :

$\vec{Π} = - ρ_{fluide} V_{imm} \vec{g} Π = ρ_{fluide} V_{imm} g$

avec $ρ_{fluide}$ en kg·m⁻³, $V_{imm}$ le volume de la partie immergée en m³, $g$ en N·kg⁻¹ et $Π$ en newtons. Elle s’exerce aussi dans un gaz : dans l’air, elle est en général négligeable devant le poids d’un solide ou d’un liquide, mais pas devant celui d’un ballon gonflé.

La tester ou l’exploiter avec un dynamomètre. Un corps suspendu à un dynamomètre indique son poids $P$ dans l’air, puis une valeur plus faible $P_{app}$ (le « poids apparent ») une fois plongé dans un liquide. À l’équilibre, $Π = P - P_{app}$ . En faisant varier le volume immergé ou le liquide, on vérifie que $Π$ est proportionnelle à $V_{imm}$ et à $ρ_{fluide}$ , et qu’elle ne dépend ni de la profondeur ni de la matière du corps.

Exemples

Exemple 1 — un galet dans l’eau. Un galet de volume 180 cm³ = 1,80 × 10⁻⁴ m³ est plongé entièrement dans l’eau ( $ρ = 1, 00 \times 10^{3}$ kg·m⁻³, $g = 9, 81$ N·kg⁻¹) :

$Π = 1, 00 \times 10^{3} \times 1, 80 \times 10^{- 4} \times 9, 81 = 1, 77$ N, verticale, vers le haut.

Exemple 2 — identifier un métal au dynamomètre. Un petit cylindre de métal pèse 2,45 N dans l’air ; le dynamomètre indique 2,16 N quand il est entièrement plongé dans l’eau. La poussée vaut $Π = 2, 45 - 2, 16 = 0, 29$ N, d’où le volume du cylindre $V = \frac{Π}{ρ_{eau} g} \approx 29, 6$ cm³. Comme $\frac{P}{Π} = \frac{ρ_{métal}}{ρ_{eau}}$ , on obtient $ρ_{métal} = 1, 00 \times 10^{3} \times \frac{2, 45}{0, 29} \approx 8, 4 \times 10^{3}$ kg·m⁻³ : c’est la masse volumique d’un laiton.

Réflexe — poussée d’Archimède = $ρ_{fluide} \times V_{imm} \times g$ : je prends la masse volumique du fluide, le volume de la partie immergée, et je convertis ce volume en m³ (1 cm³ = 10⁻⁶ m³ ; 1 L = 10⁻³ m³).

Attention — la poussée ne dépend pas de la masse volumique du corps : un cube de plomb et un cube de bois de même volume, tous deux entièrement immergés, subissent la même poussée. Et elle n’augmente plus avec la profondeur une fois le corps entièrement immergé.

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Couler, flotter, monter : l’équilibre dans un fluide

Ce qu’il faut savoir

Couler ou remonter. Un corps plein, entièrement immergé puis lâché, n’est soumis qu’à son poids $P = ρ_{corps} V g$ et à la poussée $Π = ρ_{fluide} V g$ (au départ, sans frottements). Le même volume $V$ apparaît dans les deux : tout se joue sur les masses volumiques.

$ρ_{corps} & l t; ρ_{fluide}$ : $Π & g t; P$ , le corps remonte, puis flotte ;
$ρ_{corps} = ρ_{fluide}$ : $Π = P$ , il reste en équilibre à toute profondeur ;
$ρ_{corps} & g t; ρ_{fluide}$ : $Π & l t; P$ , il coule.

Hors équilibre, la deuxième loi de Newton s’applique au corps : $m \vec{a} = \vec{P} + \vec{Π}$ (+ les frottements dès qu’il prend de la vitesse).

Flotteur à l’équilibre. Un corps qui flotte est en équilibre : $Π = P$ , soit $ρ_{fluide} V_{imm} g = ρ_{corps} V g$ , d’où

$\frac{V_{imm}}{V} = \frac{ρ_{corps}}{ρ_{fluide}}$

Un flotteur déplace donc une masse de fluide égale à sa propre masse. Si on le charge, $V_{imm}$ augmente ; la charge maximale est atteinte quand il est tout juste entièrement immergé.

Dans l’air. Un ballon monte si sa masse totale (enveloppe, gaz, charge) est inférieure à celle de l’air qu’il déplace : on le gonfle avec un gaz moins dense que l’air (hélium) ou avec de l’air chaud, moins dense que l’air froid à la même pression (montgolfière).

Exemples

Exemple 1 — la partie cachée d’un iceberg. La glace ( $ρ = 917$ kg·m⁻³) flotte dans l’eau de mer ( $ρ = 1 025$ kg·m⁻³). À l’équilibre, $\frac{V_{imm}}{V} = \frac{917}{1 025} \approx 0, 895$ : 89,5 % du volume est immergé, seuls 10,5 % émergent.

Exemple 2 — le densimètre. Un densimètre de masse 12,0 g flotte verticalement. Dans l’eau, il déplace 12,0 g d’eau, soit 12,0 cm³. Dans un liquide de masse volumique 960 kg·m⁻³, il déplace toujours 12,0 g de liquide, soit $\frac{12, 0}{0, 960} = 12, 5$ cm³ : il s’enfonce davantage, et la graduation lue à la surface indique la masse volumique du liquide.

Réflexe — corps qui flotte : j’écris l’équilibre $Π = P$ et j’isole l’inconnue (volume immergé, masse volumique, charge). Corps lâché : je compare $ρ_{corps}$ et $ρ_{fluide}$ .

Attention — quand un flotteur passe dans un liquide plus dense, la poussée ne change pas (elle compense toujours le même poids) : c’est le volume immergé qui diminue. Et la fraction immergée vaut $ρ_{corps} / ρ_{fluide}$ : la fraction émergée est son complément.

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Débit volumique et conservation du débit

Ce qu’il faut savoir

Deux modèles. Un fluide est incompressible si sa masse volumique $ρ$ reste constante : c’est le cas des liquides, et des gaz tant que leur vitesse reste faible devant celle du son (moins d’environ 0,3 fois). Un écoulement est permanent (ou stationnaire) si, en chaque point, la vitesse et la pression du fluide ne dépendent pas du temps.

Débit volumique. C’est le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps : $D_{V} = \frac{V}{Δ t}$ , en m³·s⁻¹. Pendant $Δ t$ , le fluide avance de $v Δ t$ dans une conduite de section $S$ : le volume écoulé est $S v Δ t$ , d’où

$D_{V} = S v avec S = \frac{π d^{2}}{4} pour un tuyau de diamètre d$

où $v$ est la vitesse moyenne dans la section. Le débit massique vaut $D_{m} = ρ D_{V}$ (kg·s⁻¹). Au laboratoire, on mesure un débit en recueillant le fluide dans une éprouvette pendant une durée chronométrée.

Conservation du débit volumique. Pour un fluide incompressible en écoulement permanent, sans fuite ni apport, le débit volumique est le même à travers toute section de la conduite :

$S_{A} v_{A} = S_{B} v_{B} d’où, pour des sections circulaires : v_{B} = v_{A} {(\frac{d_{A}}{d_{B}})}^{2}$

Là où la conduite se rétrécit, le fluide accélère. À une bifurcation, ce sont les débits qui s’additionnent : $D_{0} = D_{1} + D_{2}$ .

Exemples

Exemple 1 — un tuyau d’arrosage. Diamètre intérieur 16 mm, eau à 1,3 m·s⁻¹ : $S = \frac{π \times (0, 016)^{2}}{4} = 2, 01 \times 10^{- 4}$ m², $D_{V} = S v = 2, 61 \times 10^{- 4}$ m³·s⁻¹, soit 15,7 L·min⁻¹ (on multiplie par 60 000). Débit massique : $D_{m} = 1, 00 \times 10^{3} \times D_{V} \approx 0, 261$ kg·s⁻¹.

Exemple 2 — l’embout. Le même tuyau se termine par un embout de diamètre 10 mm : $v = 1, 3 \times {(\frac{16}{10})}^{2} = 3, 33$ m·s⁻¹. C’est pour cela qu’on rétrécit la sortie quand on veut arroser loin.

Réflexe — je convertis tout en unités SI (mm → m ; L → 10⁻³ m³ ; min → 60 s), je calcule la section avec le diamètre, $S = \frac{π d^{2}}{4}$ , puis j’écris $D_{V} = S v$ dans la section utile ; entre deux sections, $S_{A} v_{A} = S_{B} v_{B}$ .

Attention — diviser le diamètre par 2 divise la section par 4 : la vitesse est multipliée par 4, pas par 2. Et à une bifurcation, les vitesses ne s’additionnent pas : seuls les débits s’additionnent.

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La relation de Bernoulli et ses hypothèses

Ce qu’il faut savoir

Relation de Bernoulli (fournie dans les sujets). Pour deux points A et B d’une même ligne de courant :

$P_{A} + \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} + ρ g z_{A} = P_{B} + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} + ρ g z_{B}$

avec $P$ en Pa, $ρ$ en kg·m⁻³, $v$ en m·s⁻¹ et $z$ en m (axe vertical orienté vers le haut).

Hypothèses, à citer dans toute rédaction : fluide parfait (viscosité et frottements négligeables) ; fluide incompressible ; écoulement permanent ; A et B sur une même ligne de courant, sans machine (pompe, turbine) entre eux.

Interprétation énergétique. Chaque terme est une énergie par unité de volume (1 Pa = 1 J·m⁻³) : $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ est l’énergie cinétique volumique, $ρ g z$ l’énergie potentielle de pesanteur volumique, $P$ le terme lié aux forces pressantes. La relation traduit la conservation de l’énergie mécanique d’un fluide sans frottement.

Trois cas particuliers.

Fluide au repos ( $v = 0$ ) : on retrouve la statique des fluides, $P_{A} + ρ g z_{A} = P_{B} + ρ g z_{B}$ .
Conduite horizontale ( $z_{A} = z_{B}$ ) : $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} ρ (v_{B}^{2} - v_{A}^{2})$ .
Jet à l’air libre ( $P = P_{atm}$ partout) : $\frac{1}{2} v^{2} + g z$ est constant, comme en chute libre.

Tester la relation. Des capteurs de pression placés le long d’une conduite (ou des tubes verticaux ouverts) et la mesure du débit donnent $P$ , $v$ et $z$ en plusieurs points : on compare la somme $P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z$ d’un point à l’autre. Pour un fluide réel (visqueux), elle diminue le long de l’écoulement : ce sont les pertes de charge, et la relation de Bernoulli n’est alors qu’un modèle approché.

Exemples

Exemple 1 — une conduite qui descend. De l’eau circule dans une conduite de section constante qui descend de 4,0 m entre A et B. Le débit et la section étant les mêmes, $v_{A} = v_{B}$ : les termes cinétiques s’éliminent et $P_{B} - P_{A} = ρ g (z_{A} - z_{B}) = 1, 00 \times 10^{3} \times 9, 81 \times 4, 0 \approx 3, 9 \times 10^{4}$ Pa. La pression gagne environ 0,4 bar en bas.

Exemple 2 — ordres de grandeur. Pour l’eau, $ρ g$ vaut 9 810 Pa·m⁻¹ : environ 10 kPa par mètre de dénivelé. À 2,0 m·s⁻¹, l’énergie cinétique volumique vaut $\frac{1}{2} \times 1, 00 \times 10^{3} \times 2, 0^{2} = 2 000$ J·m⁻³, soit 2 kPa : un mètre de dénivelé pèse ici plus que la vitesse.

Exemple 3 — un test qui échoue. Dans une conduite horizontale de section constante, deux capteurs distants de 5 m lisent 1,80 bar puis 1,74 bar. Bernoulli prévoit deux pressions égales ( $v$ et $z$ identiques) : l’écart de 6 kPa mesure les pertes de charge, le modèle du fluide parfait n’est pas vérifié ici.

Réflexe — je cite les hypothèses, je choisis A et B là où je connais le plus de grandeurs, j’écris $P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z$ en chacun, je simplifie (pression atmosphérique, vitesse nulle, même altitude), je relie les vitesses par la conservation du débit, je résous littéralement, puis je fais l’application numérique.

Attention — dès que $z_{A} \neq z_{B}$ , le terme $ρ g z$ compte, et il l’emporte souvent sur le terme cinétique. Pas de relation de Bernoulli pour un fluide très visqueux (miel, huile épaisse), un gaz rapide (compressible), un écoulement qui varie dans le temps, ni entre deux points séparés par une pompe.

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Vidange d’un réservoir : la formule de Torricelli

Ce qu’il faut savoir

Formule de Torricelli. Un liquide sort d’un grand réservoir ouvert par un petit orifice situé à la profondeur $h$ sous la surface libre. On applique la relation de Bernoulli entre A, sur la surface libre ( $P_{A} = P_{atm}$ , $v_{A} \approx 0$ , $z_{A} = h$ ), et B, dans le jet juste à la sortie ( $P_{B} = P_{atm}$ , $z_{B} = 0$ ) :

$P_{atm} + ρ g h = P_{atm} + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} ⟹ v_{B} = \sqrt{2 g h}$

Ce qu’elle dit. C’est la vitesse d’un objet en chute libre depuis la hauteur $h$ : elle ne dépend ni de la masse volumique du liquide (eau, huile ou mercure sortent à la même vitesse), ni de la taille de l’orifice. Le débit, lui, en dépend : $D_{V} = s \sqrt{2 g h}$ , où $s$ est la section de l’orifice. Après la sortie, chaque goutte du jet est en chute libre (Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme).

Validité. « Grand réservoir » signifie que la section $s$ de l’orifice est très petite devant la section $S$ de la surface libre : par conservation du débit, la surface descend à la vitesse $v_{A} = v_{B} \frac{s}{S}$ , et $v_{A}^{2}$ est négligeable devant $v_{B}^{2}$ . L’écoulement est alors presque permanent.

La vidange ralentit. Comme $v$ varie comme $\sqrt{h}$ , la vitesse et le débit diminuent à mesure que le niveau baisse : la fin d’une vidange est lente.

Exemples

Exemple 1 — vitesse de sortie. Un orifice est percé 0,85 m sous la surface libre d’une cuve d’eau : $v = \sqrt{2 \times 9, 81 \times 0, 85} = 4, 08$ m·s⁻¹.

Exemple 2 — quand le niveau a baissé. Quand la hauteur d’eau au-dessus de l’orifice est quatre fois plus petite, $v = \sqrt{2 \times 9, 81 \times \frac{0, 85}{4}} = 2, 04$ m·s⁻¹ : la vitesse, et donc le débit, n’est divisée que par 2.

Réflexe — réservoir ou jet : A sur la surface libre, B dans le jet, les deux à $P_{atm}$ ; je mesure $h$ de la surface libre jusqu’à l’orifice ; je vérifie que la vitesse de la surface est négligeable.

Attention — $h$ n’est pas la hauteur de l’orifice au-dessus du fond, ni la hauteur totale du réservoir. Et la pression dans le jet à l’air libre n’est pas nulle : c’est la pression atmosphérique.

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Effet Venturi et tube de Pitot

Ce qu’il faut savoir

Effet Venturi. Dans une conduite horizontale qui se rétrécit, la vitesse augmente (conservation du débit) donc la pression diminue (relation de Bernoulli à altitude constante) :

$P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} ρ (v_{B}^{2} - v_{A}^{2}) & g t; 0$

Au col, la pression est minimale. Deux tubes verticaux ouverts branchés en A et au col contiennent du liquide au repos : la loi de la statique donne $P_{A} - P_{B} = ρ g Δ h$ , et le niveau est plus bas au-dessus du col.

Applications. Le débitmètre de Venturi : la mesure de $Δ h$ (ou de $P_{A} - P_{B}$ ) donne les vitesses, donc le débit, sans pièce mobile. La trompe à eau et le pulvérisateur : au col, la pression descend sous la pression atmosphérique et aspire de l’air ou un liquide. En médecine, dans une artère rétrécie (sténose), la pression du sang baisse au rétrécissement.

Tube de Pitot. Une prise tournée face à l’écoulement crée un point d’arrêt où $v = 0$ : elle mesure la pression totale $P_{t}$ . Des prises latérales mesurent la pression statique $P_{s}$ de l’écoulement non perturbé. Les deux prises étant à la même altitude, Bernoulli donne $P_{s} + \frac{1}{2} ρ v^{2} = P_{t}$ :

$v = \sqrt{\frac{2 (P_{t} - P_{s})}{ρ}}$

où $ρ$ est la masse volumique du fluide en mouvement. C’est le principe de l’anémomètre des avions.

Exemples

Exemple 1 — au bout du tuyau d’arrosage. L’eau passe de 1,3 m·s⁻¹ dans le tuyau à 3,33 m·s⁻¹ dans l’embout (partie 3) : $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} \times 1, 00 \times 10^{3} \times (3, 33^{2} - 1, 3^{2}) \approx 4, 7 \times 10^{3}$ Pa.

Exemple 2 — une soufflerie. Un tube de Pitot mesure $P_{t} - P_{s} = 610$ Pa dans l’air ( $ρ = 1, 23$ kg·m⁻³) : $v = \sqrt{\frac{2 \times 610}{1, 23}} = 31, 5$ m·s⁻¹, soit 113 km·h⁻¹.

Réflexe — Venturi : $v_{B} = v_{A} {(\frac{d_{A}}{d_{B}})}^{2}$ puis $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} ρ (v_{B}^{2} - v_{A}^{2})$ . Pitot : $v = \sqrt{\frac{2 (P_{t} - P_{s})}{ρ}}$ avec la masse volumique du fluide qui s’écoule.

Attention — au rétrécissement, le fluide n’est pas « comprimé » : il accélère, et sa pression diminue. On soustrait les carrés des vitesses, pas la différence des vitesses élevée au carré. Dans un tube de Pitot, la masse volumique est celle du fluide qui s’écoule, pas celle du liquide du manomètre.

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Pour aller plus loin

Écoulements réels. Un fluide réel est visqueux : près des parois il ralentit, l’énergie mécanique se dissipe (pertes de charge) et, au-delà d’une certaine vitesse, l’écoulement devient turbulent. Ces modèles, qui corrigent la relation de Bernoulli, sont étudiés après le baccalauréat.

Énergie. La relation de Bernoulli est un bilan d’énergie mécanique ; le travail des forces, les énergies cinétique et potentielle et leur dissipation sont traités en première dans Énergie mécanique : cinétique, potentielle et conservation.

À retenir

Poussée d’Archimède : $\vec{Π} = - ρ_{fluide} V_{imm} \vec{g}$ , verticale vers le haut, égale au poids du fluide déplacé ; elle naît de la pression plus forte sous le corps.
Corps lâché : il coule si $ρ_{corps} > ρ_{fluide}$ ; flotteur à l’équilibre : $\frac{V_{imm}}{V} = \frac{ρ_{corps}}{ρ_{fluide}}$ .
Débit volumique $D_{V} = \frac{V}{Δ t} = S v$ ; fluide incompressible en écoulement permanent : $S_{A} v_{A} = S_{B} v_{B}$ , la vitesse augmente là où la section diminue.
Relation de Bernoulli : $P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z$ constante le long d’une ligne de courant, pour un fluide parfait, incompressible, en écoulement permanent.
Torricelli : $v = \sqrt{2 g h}$ , indépendante de $ρ$ , avec $h$ mesurée sous la surface libre.
Venturi : au rétrécissement, la vitesse augmente et la pression diminue ; Pitot : $v = \sqrt{\frac{2 (P_{t} - P_{s})}{ρ}}$ .

Questions fréquentes

D’où vient la poussée d’Archimède ?

Un corps plongé dans un fluide subit des forces pressantes sur toute sa surface. Comme la pression augmente avec la profondeur, les forces sur le bas du corps l’emportent sur celles du haut : la résultante est verticale et dirigée vers le haut. Sa valeur est le poids du fluide déplacé, Π = ρ(fluide) × V(immergé) × g.

Comment savoir si un objet flotte ou coule ?

On compare sa masse volumique à celle du fluide. Un objet plein plus dense que le fluide coule ; moins dense, il remonte et flotte. À l’équilibre, la fraction de son volume qui est immergée vaut ρ(corps) ÷ ρ(fluide) : un corps deux fois moins dense que le liquide flotte à moitié immergé.

Pourquoi l’eau va-t-elle plus vite dans un tuyau plus étroit ?

Pour un liquide en écoulement permanent, le débit volumique D = S × v est le même dans toute section. Si la section diminue, la vitesse augmente dans le même rapport. Pour un tuyau, la section varie comme le carré du diamètre : un diamètre deux fois plus petit donne une vitesse quatre fois plus grande.

Quand peut-on appliquer la relation de Bernoulli ?

Pour un fluide parfait (frottements négligeables), incompressible, en écoulement permanent, entre deux points d’une même ligne de courant sans pompe ni turbine entre eux. Elle ne convient pas au miel ni à un gaz très rapide, et elle surestime les vitesses et les pressions d’un fluide réel, qui subit des pertes de charge.

À quelle vitesse l’eau sort-elle d’un réservoir percé ?

D’après la formule de Torricelli, v = √(2gh), où h est la profondeur de l’orifice sous la surface libre. C’est la vitesse d’un objet tombé de la hauteur h ; elle ne dépend pas du liquide. Pour h = 0,85 m, v ≈ 4,08 m/s.

Qu’est-ce que l’effet Venturi ?

Dans une conduite horizontale qui se rétrécit, le fluide accélère (conservation du débit) et sa pression diminue (relation de Bernoulli). On s’en sert pour mesurer un débit, dans les trompes à eau et les pulvérisateurs ; le tube de Pitot, lui, mesure une vitesse à partir de la différence entre pression totale et pression statique.

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