Écoulement d’un fluide : débit et relation de Bernoulli

Un ballon-sonde gonflé à l’hélium a, au sol, un volume de 5,2 m³ ; son enveloppe et sa charge ont une masse de 3,1 kg (volume de la charge négligé). Données : ${\rho }_{\text{air}}=1,22$ kg·m⁻³ ; ${\rho }_{\text{He}}=0,17$ kg·m⁻³ ; $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. a)Calculer la valeur de la poussée d’Archimède exercée par l’air sur le ballon et préciser sa direction et son sens.
2. b)Calculer le poids total du ballon : enveloppe, charge et hélium.
3. c)Déterminer la masse maximale de matériel supplémentaire que le ballon peut emporter tout en décollant.
4. d)Un élève calcule la poussée d’Archimède avec la masse volumique de l’hélium. Expliquer son erreur.

Une canalisation d’irrigation de diamètre intérieur 63 mm transporte 4,6 L·s⁻¹ d’eau, incompressible, en écoulement permanent.

1. a)Calculer la vitesse moyenne de l’eau dans la canalisation.
2. b)Pour limiter l’usure, la vitesse ne doit pas dépasser 0,70 m·s⁻¹. Calculer le diamètre intérieur minimal permettant de transporter le même débit.
3. c)La canalisation de 63 mm alimente six rampes identiques de diamètre 26 mm. Calculer la vitesse de l’eau dans chaque rampe, en justifiant la relation utilisée.
4. d)Calculer le volume d’eau distribué en 1 h 30 min.

De l’eau ($\rho =1,00\times {10}^3$ kg·m⁻³) s’écoule dans une conduite horizontale dont le diamètre passe de 50 mm (point A) à 28 mm (point B). En A, la vitesse vaut 0,75 m·s⁻¹ ; $g=9,81$ N·kg⁻¹. On rappelle la relation de Bernoulli entre deux points A et B d’une même ligne de courant : $P_A+\frac{1}{2}\rho v_A^2+\rho g{z}_A=P_B+\frac{1}{2}\rho v_B^2+\rho g{z}_B$.

1. a)Calculer la vitesse de l’eau en B.
2. b)En supposant les hypothèses de la relation de Bernoulli vérifiées, calculer $P_A-P_B$.
3. c)Deux tubes verticaux ouverts, branchés en A et en B, contiennent de l’eau au repos. Calculer la dénivellation entre leurs niveaux et préciser quel niveau est le plus haut.
4. d)On double le débit. Par quel facteur la dénivellation est-elle multipliée ? Justifier.

Un tonneau ouvert, de diamètre intérieur 58 cm, est équipé près du fond d’un robinet de diamètre 13 mm, situé 0,62 m sous la surface libre ($g=9,81$ N·kg⁻¹). On rappelle la relation de Bernoulli entre deux points A et B d’une même ligne de courant : $P_A+\frac{1}{2}\rho v_A^2+\rho g{z}_A=P_B+\frac{1}{2}\rho v_B^2+\rho g{z}_B$.

1. a)Établir l’expression de la vitesse de sortie de l’eau en précisant les hypothèses, puis la calculer.
2. b)Calculer le débit volumique au robinet, en L·min⁻¹.
3. c)Calculer la vitesse de descente de la surface libre et en déduire la validité de l’une des hypothèses de la question 1.
4. d)Expliquer pourquoi le débit diminue au cours de la vidange, et pourquoi l’écoulement s’arrête vite si le tonneau est fermé hermétiquement sur le dessus.

Dans un immeuble, l’eau arrive au point A (sous-sol, $z_A=0$) par un tuyau de diamètre 33 mm, à 0,92 m·s⁻¹, sous une pression de $3,4\times {10}^5$ Pa. Elle monte jusqu’au point B d’une douche, à $z_B=6,8$ m, où le tuyau a un diamètre de 17 mm ($\rho =1,00\times {10}^3$ kg·m⁻³ ; $g=9,81$ N·kg⁻¹). On rappelle la relation de Bernoulli entre deux points A et B d’une même ligne de courant : $P_A+\frac{1}{2}\rho v_A^2+\rho g{z}_A=P_B+\frac{1}{2}\rho v_B^2+\rho g{z}_B$.

1. a)Citer les hypothèses nécessaires à l’application de la relation de Bernoulli entre A et B.
2. b)Calculer la vitesse de l’eau en B.
3. c)Calculer la pression en B.
4. d)Un élève trouve $P_B=3,34\times {10}^5$ Pa. Identifier son erreur et expliquer pourquoi son résultat est physiquement suspect.