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Énergie mécanique : conservation et dissipation
Travail, énergie cinétique et potentielle, conservation et dissipation — programme de Spécialité Physique-Chimie Terminale
À propos de cette page
Ce cours de spécialité physique-chimie en terminale sur « Énergie mécanique : conservation et dissipation » suit le programme officiel de spécialité physique-chimie de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Travail d'une force sur un déplacement, Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique, Énergie potentielle : pesanteur et ressort, Énergie mécanique totale. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité physique-chimie.
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Travail d'une force sur un déplacement
Le travail d'une force $\vec{F}$ lors du déplacement $\overrightarrow{AB}$ d'un point d'application est :
Définition. $$W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\theta$$où $\theta$ est l'angle entre $\vec{F}$ et $\overrightarrow{AB}$, $F = \|\vec{F}\|$ et $AB = \|\overrightarrow{AB}\|$. Le travail est en joules (J).
On distingue :
- Travail moteur : $W > 0$ (force dans le sens du déplacement, $\theta < 90°$)
- Travail résistant : $W < 0$ (force opposée au déplacement, $\theta > 90°$)
- Travail nul : $W = 0$ si $\theta = 90°$ ou si $F = 0$ ou $AB = 0$
Astuce. La force normale à la surface (réaction normale) est toujours perpendiculaire au déplacement : son travail est donc toujours nul.
Exemple. Un objet de masse $m = 2\,\text{kg}$ glisse sur un plan horizontal sur une distance $d = 5\,\text{m}$ sous l'action d'une force $F = 10\,\text{N}$ faisant un angle $\theta = 30°$ avec le déplacement :
$W = 10 \times 5 \times \cos 30° = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 43{,}3\,\text{J}$
$W = 10 \times 5 \times \cos 30° = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 43{,}3\,\text{J}$
Pour une force variable ou un trajet courbe, on utilise l'intégrale :
$$W_{AB}(\vec{F}) = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{l}$$Travail du poids. Pour un déplacement de hauteur $\Delta h = z_B - z_A$ :
$$W_{AB}(\vec{P}) = -mg\Delta h = mg(z_A - z_B)$$Le travail du poids ne dépend pas du trajet, seulement des positions initiale et finale.
$$W_{AB}(\vec{P}) = -mg\Delta h = mg(z_A - z_B)$$Le travail du poids ne dépend pas du trajet, seulement des positions initiale et finale.
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Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique
Énergie cinétique (Ec). Pour un solide de masse $m$ animé d'une vitesse $v$ :
$$E_c = \frac{1}{2}mv^2$$en joules (J). Elle est toujours positive ou nulle.
$$E_c = \frac{1}{2}mv^2$$en joules (J). Elle est toujours positive ou nulle.
Théorème de l'énergie cinétique (TEC). La variation d'énergie cinétique d'un système entre deux états est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures :
$$\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{AB}(\vec{F}_i)$$
$$\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{AB}(\vec{F}_i)$$
Attention ! Le TEC s'applique à un système en translation. Pour un solide en rotation, il faudrait tenir compte de l'énergie cinétique de rotation. Au lycée, on travaille essentiellement avec des translations.
Exemple. Une voiture de $m = 1\,000\,\text{kg}$ part de l'arrêt et atteint $v = 20\,\text{m/s}$.
$\Delta E_c = \frac{1}{2} \times 1000 \times 20^2 - 0 = 200\,000\,\text{J} = 200\,\text{kJ}$
Le moteur doit fournir au moins ce travail (en l'absence de frottements).
$\Delta E_c = \frac{1}{2} \times 1000 \times 20^2 - 0 = 200\,000\,\text{J} = 200\,\text{kJ}$
Le moteur doit fournir au moins ce travail (en l'absence de frottements).
Astuce — Signe. Si le système accélère, $\Delta E_c > 0$ donc la somme des travaux est positive. Si le système ralentit, $\Delta E_c < 0$ donc la somme des travaux est négative.
Évolution de l'énergie cinétique en fonction de la vitesse (masse m = 1 kg) — la courbe est parabolique.
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Énergie potentielle : pesanteur et ressort
L'énergie potentielle est l'énergie liée à la position d'un système dans un champ de forces conservative. Elle est définie à une constante près (choix de l'origine).
Énergie potentielle de pesanteur. Pour un objet de masse $m$ à l'altitude $z$ (axe orienté vers le haut) :
$$E_{pp} = mgz$$L'origine $z = 0$ est choisie librement. On a toujours : $W_{AB}(\vec{P}) = -(E_{pp,B} - E_{pp,A}) = -\Delta E_{pp}$
$$E_{pp} = mgz$$L'origine $z = 0$ est choisie librement. On a toujours : $W_{AB}(\vec{P}) = -(E_{pp,B} - E_{pp,A}) = -\Delta E_{pp}$
Énergie potentielle élastique. Pour un ressort de raideur $k$ (N/m) écarté de sa position d'équilibre d'une elongation $x$ :
$$E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2$$Elle est toujours positive ou nulle. Le travail de la force de rappel vaut : $W = -\Delta E_{pe}$
$$E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2$$Elle est toujours positive ou nulle. Le travail de la force de rappel vaut : $W = -\Delta E_{pe}$
Exemple — ressort. Un ressort de raideur $k = 200\,\text{N/m}$ est comprimé de $x = 0{,}10\,\text{m}$ par rapport à sa longueur naturelle.
$E_{pe} = \frac{1}{2} \times 200 \times (0{,}10)^2 = 1\,\text{J}$
$E_{pe} = \frac{1}{2} \times 200 \times (0{,}10)^2 = 1\,\text{J}$
Lien force–énergie potentielle. Pour une force conservative $\vec{F}$ dans la direction $x$ :
$$F_x = -\frac{dE_p}{dx}$$La force dérive de l'énergie potentielle (relation générale, non exigible au lycée mais utile pour comprendre).
$$F_x = -\frac{dE_p}{dx}$$La force dérive de l'énergie potentielle (relation générale, non exigible au lycée mais utile pour comprendre).
| Situation | Énergie potentielle | Variable |
|---|---|---|
| Pesanteur | $E_{pp} = mgz$ | $z$ : altitude |
| Ressort (raideur $k$) | $E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2$ | $x$ : élongation |
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Énergie mécanique totale
Énergie mécanique. L'énergie mécanique $E_m$ d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :
$$E_m = E_c + E_p$$avec $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ et $E_p = E_{pp} + E_{pe}$ selon le contexte.
$$E_m = E_c + E_p$$avec $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ et $E_p = E_{pp} + E_{pe}$ selon le contexte.
Pour un objet en chute libre (sans frottements), soumis uniquement à son poids :
- En haut : $E_c$ faible, $E_{pp}$ grande
- En bas : $E_c$ grande, $E_{pp}$ faible
- $E_m = E_c + E_{pp}$ = constante
En chute libre : Ec augmente, Epp diminue, Em reste constante (100 J ici). La conservation de l'énergie mécanique se lit clairement.
Astuce. Pour calculer l'énergie mécanique, il faut d'abord choisir une origine pour l'énergie potentielle (souvent le point le plus bas ou le sol) et s'y tenir tout au long du problème.
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Conservation de l'énergie mécanique
Théorème de la variation d'énergie mécanique. La variation d'énergie mécanique d'un système est égale à la somme des travaux des forces non conservatives (frottements, force motrice externe, etc.) :
$$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{nc}})$$où les forces conservatives (poids, ressort) sont déjà comptabilisées dans $E_p$.
$$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{nc}})$$où les forces conservatives (poids, ressort) sont déjà comptabilisées dans $E_p$.
Conservation. Si les seules forces qui travaillent sont conservatives (poids, ressort), alors :
$$\Delta E_m = 0 \quad \Leftrightarrow \quad E_m = \text{constante}$$
On dit que l'énergie mécanique est conservée.
$$\Delta E_m = 0 \quad \Leftrightarrow \quad E_m = \text{constante}$$
On dit que l'énergie mécanique est conservée.
Exemple — chute libre. Un objet de masse $m = 0{,}5\,\text{kg}$ est lâché sans vitesse initiale depuis une hauteur $h = 10\,\text{m}$ (sol = référence).
En A : $E_m = mgh = 0{,}5 \times 10 \times 10 = 50\,\text{J}$
En B (sol) : $E_m = \frac{1}{2}mv_B^2$
Conservation : $\frac{1}{2}mv_B^2 = mgh$ donc $v_B = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14{,}1\,\text{m/s}$
En A : $E_m = mgh = 0{,}5 \times 10 \times 10 = 50\,\text{J}$
En B (sol) : $E_m = \frac{1}{2}mv_B^2$
Conservation : $\frac{1}{2}mv_B^2 = mgh$ donc $v_B = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14{,}1\,\text{m/s}$
Attention ! On ne peut appliquer la conservation de l'énergie mécanique QUE si les frottements et les forces non conservatives ont un travail nul (ou sont absents). En présence de frottements, il faut utiliser le bilan d'énergie complet.
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Dissipation et forces non conservatives
En réalité, des forces de frottement ou de résistance de l'air s'opposent au mouvement. Elles effectuent un travail négatif (résistant) et dissipent l'énergie mécanique.
Dissipation d'énergie mécanique. L'énergie mécanique perdue est convertie en énergie thermique (chaleur) :
$$\Delta E_m < 0 \quad \text{et} \quad Q = -\Delta E_m = |W_{\text{frottements}}|$$L'énergie totale (mécanique + thermique) est toujours conservée (premier principe de la thermodynamique).
$$\Delta E_m < 0 \quad \text{et} \quad Q = -\Delta E_m = |W_{\text{frottements}}|$$L'énergie totale (mécanique + thermique) est toujours conservée (premier principe de la thermodynamique).
Exemple — frottement solide. Un objet glisse sur une surface horizontale sur $d = 3\,\text{m}$. La force de frottement est $f = 5\,\text{N}$.
$W_f = -f \times d = -5 \times 3 = -15\,\text{J}$
$\Delta E_m = -15\,\text{J}$ : 15 J d'énergie mécanique ont été dissipés en chaleur.
$W_f = -f \times d = -5 \times 3 = -15\,\text{J}$
$\Delta E_m = -15\,\text{J}$ : 15 J d'énergie mécanique ont été dissipés en chaleur.
Attention ! La force de frottement cinétique effectue toujours un travail négatif (elle s'oppose au mouvement). Ne jamais la compter positivement.
| Type de force | Conservative ? | Effet sur Em |
|---|---|---|
| Poids | Oui | Aucun (inclus dans Ep) |
| Force de rappel ressort | Oui | Aucun (inclus dans Ep) |
| Réaction normale | — | Travail nul (⊥ déplacement) |
| Frottement cinétique | Non | Diminue Em (dissipation) |
| Résistance de l'air | Non | Diminue Em (dissipation) |
| Force motrice extérieure | Non | Peut augmenter Em |
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Bilan énergétique : méthode et exemples
Méthode générale (bilan énergétique).
1. Choisir le système et définir les états initial (A) et final (B).
2. Choisir l'origine de $E_{pp}$ et la noter sur le schéma.
3. Calculer $E_{m,A}$ et $E_{m,B}$.
4. Identifier toutes les forces non conservatives et calculer leurs travaux.
5. Appliquer $\Delta E_m = \sum W_{\text{nc}}$.
6. En déduire l'inconnue (vitesse, distance, force…).
1. Choisir le système et définir les états initial (A) et final (B).
2. Choisir l'origine de $E_{pp}$ et la noter sur le schéma.
3. Calculer $E_{m,A}$ et $E_{m,B}$.
4. Identifier toutes les forces non conservatives et calculer leurs travaux.
5. Appliquer $\Delta E_m = \sum W_{\text{nc}}$.
6. En déduire l'inconnue (vitesse, distance, force…).
Exemple complet — toboggan avec frottements.
Un enfant de masse $m = 30\,\text{kg}$ part du haut d'un toboggan de hauteur $h = 4\,\text{m}$ avec une vitesse initiale nulle. En bas, sa vitesse est $v = 7\,\text{m/s}$. On prend $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.
$E_{m,A} = mgh = 30 \times 9{,}81 \times 4 = 1177{,}2\,\text{J}$
$E_{m,B} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 30 \times 49 = 735\,\text{J}$
$\Delta E_m = 735 - 1177{,}2 = -442{,}2\,\text{J}$
Cette perte d'énergie mécanique correspond au travail des frottements : $W_f = -442{,}2\,\text{J}$
L'énergie thermique produite est $Q = 442{,}2\,\text{J}$.
Un enfant de masse $m = 30\,\text{kg}$ part du haut d'un toboggan de hauteur $h = 4\,\text{m}$ avec une vitesse initiale nulle. En bas, sa vitesse est $v = 7\,\text{m/s}$. On prend $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.
$E_{m,A} = mgh = 30 \times 9{,}81 \times 4 = 1177{,}2\,\text{J}$
$E_{m,B} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 30 \times 49 = 735\,\text{J}$
$\Delta E_m = 735 - 1177{,}2 = -442{,}2\,\text{J}$
Cette perte d'énergie mécanique correspond au travail des frottements : $W_f = -442{,}2\,\text{J}$
L'énergie thermique produite est $Q = 442{,}2\,\text{J}$.
Astuce — Oscillateur (pendule / ressort). Pour un oscillateur sans frottement, l'énergie mécanique se conserve. En position d'équilibre ($x = 0$), toute l'énergie est cinétique ($E_c = E_{m}$, $E_p = 0$). En position extrême ($v = 0$), toute l'énergie est potentielle ($E_p = E_m$, $E_c = 0$).
En bref
- Le travail d'une force : $W = F \cdot d \cdot \cos\theta$ (en J).
- TEC : $\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_i)$ — la variation d'énergie cinétique égale la somme des travaux.
- Énergie mécanique : $E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgz$ (+ $\frac{1}{2}kx^2$ si ressort).
- Conservation : $\Delta E_m = 0$ si aucune force non conservative ne travaille.
- Dissipation : $\Delta E_m = W_{\text{frottements}} < 0$ → l'énergie mécanique perdue devient chaleur.
- Méthode : choisir un système, une référence d'altitude, identifier les forces, appliquer $\Delta E_m = \sum W_{\text{nc}}$.
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