Comment calcule-t-on l'énergie mécanique d'un système ?

L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles : E_m = E_c + E_pp + E_pe, avec E_c = 1/2mv², E_pp = mgz et E_pe = 1/2kx². Elle s'exprime en joules et sa valeur dépend des origines choisies pour l'altitude et pour l'allongement du ressort.

Quand l'énergie mécanique se conserve-t-elle et quand est-elle dissipée ?

Elle se conserve lorsque le système n'est soumis qu'à des forces conservatives (poids, force de rappel d'un ressort) ou à des forces de travail nul. Dès qu'une force de frottement travaille, le théorème de l'énergie mécanique donne E_m = W( f) < 0 : l'énergie mécanique diminue, elle est dissipée.

Comment calculer la période propre d'un oscillateur ?

Pour un système masse-ressort de masse m et de raideur k, la période propre vaut T₀ = 2 de m/k. Pour un pendule simple de longueur effectuant de petites oscillations, T₀ = 2 de /g : elle ne dépend alors ni de la masse, ni de l'amplitude.

Que devient l'énergie dissipée par les frottements ?

Elle n'est pas détruite : elle est transférée au système et au milieu extérieur sous forme d'énergie interne, puis évacuée par transfert thermique. C'est le premier principe de la thermodynamique, étudié au chapitre suivant, qui permet d'en faire le bilan complet.

À quoi sert un portrait de phase ?

Le portrait de phase est la courbe donnant la vitesse en fonction de la position, v(x). Une courbe fermée signale un oscillateur dont l'énergie mécanique se conserve ; une spirale convergeant vers l'origine signale un oscillateur amorti. On y lit l'amplitude, la vitesse maximale et donc la pulsation propre.

Spécialité Physique-Chimie Terminale

Ressources · Terminale · Spécialité Physique-Chimie

Énergie mécanique : conservation et dissipation

Q: Comment calculer la période propre d'un oscillateur ?

Pour un système masse-ressort de masse m et de raideur k, la période propre vaut T₀ = 2 de m/k. Pour un pendule simple de longueur effectuant de petites oscillations, T₀ = 2 de /g : elle ne dépend alors ni de la masse, ni de l'amplitude.

Q: Que devient l'énergie dissipée par les frottements ?

Elle n'est pas détruite : elle est transférée au système et au milieu extérieur sous forme d'énergie interne, puis évacuée par transfert thermique. C'est le premier principe de la thermodynamique, étudié au chapitre suivant, qui permet d'en faire le bilan complet.

Q: À quoi sert un portrait de phase ?

Le portrait de phase est la courbe donnant la vitesse en fonction de la position, v(x). Une courbe fermée signale un oscillateur dont l'énergie mécanique se conserve ; une spirale convergeant vers l'origine signale un oscillateur amorti. On y lit l'amplitude, la vitesse maximale et donc la pulsation propre.

Travail, énergie cinétique et potentielle, conservation et dissipation — programme de Spécialité Physique-Chimie Terminale

À propos de cette page

Ce cours de spécialité physique-chimie en terminale sur « Énergie mécanique : conservation et dissipation » suit le programme officiel de spécialité physique-chimie de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel : travail, énergies, énergie mécanique, Forces conservatives et énergies potentielles, Théorème de l'énergie mécanique : conservation et dissipation, L'oscillateur masse-ressort : équation différentielle et période propre. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité physique-chimie.

L'essentiel : travail, énergies, énergie mécanique

Travail d'une force constante. Pour un déplacement de A vers B :

W_{A B} (\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{A B} = F \times A B \times \cos α

, où

α

est l'angle entre

\vec{F}

\vec{A B}

. Le travail est un transfert d'énergie, exprimé en joules (J) : moteur si

W > 0

, résistant si

W < 0

, nul si

\vec{F} ⟂ \vec{A B}

Énergie cinétique et théorème associé.

E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}

(en J, avec

m

en kg et

v

en m·s⁻¹). Théorème de l'énergie cinétique : entre deux instants,

Δ E_{c} = \sum W ({\vec{F}}_{ext})

— la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures.

Énergies potentielles. Énergie potentielle de pesanteur :

E_{p p} = m g z

, avec un axe vertical orienté vers le haut et une origine choisie librement. Énergie potentielle élastique d'un ressort de raideur

k

E_{p e} = \frac{1}{2} k x^{2}

, où

x

est l'écart à la longueur à vide (allongement ou compression).

Énergie mécanique.

E_{m} = E_{c} + E_{p}

, somme de l'énergie cinétique et de toutes les énergies potentielles du système. Pour un pendule élastique vertical :

E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g z + \frac{1}{2} k x^{2}

Exemple. Un livre de masse 0,75 kg posé sur une étagère à 1,20 m du sol, l'origine des altitudes étant prise au sol :

E_{p p} = 0, 75 \times 9, 81 \times 1, 20

= 8,8 J. Un ressort de raideur 24 N·m⁻¹ comprimé de 10 cm stocke

E_{p e} = \frac{1}{2} \times 24 \times (0, 10)^{2}

= 0,12 J.

Forces conservatives et énergies potentielles

Force conservative. Une force est conservative si son travail entre deux points ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des positions de départ et d'arrivée. On peut alors lui associer une énergie potentielle telle que

W_{A B} = - Δ E_{p} = E_{p} (A) - E_{p} (B)

Deux forces conservatives au programme :

Force	Travail	Énergie potentielle
Poids $\vec{P} = m \vec{g}$	$W_{A B} (\vec{P}) = m g (z_{A} - z_{B})$	$E_{p p} = m g z$
Force de rappel d'un ressort	$W_{A B} = \frac{1}{2} k (x_{A}^{2} - x_{B}^{2})$	$E_{p e} = \frac{1}{2} k x^{2}$

Forces non conservatives et forces de travail nul. Les frottements (solides ou fluides) sont non conservatifs : leur travail dépend du trajet (il est proportionnel à la longueur parcourue) et il est toujours négatif, car la force s'oppose au mouvement. La tension d'un fil inextensible et la réaction normale d'un support ont en revanche un travail nul, car elles restent perpendiculaires au déplacement.

Astuce. Avant tout bilan, classez les forces en trois colonnes : conservatives (déjà comptées dans

E_{p}

), de travail nul (à ignorer), non conservatives (les seules qui font varier

E_{m}

Théorème de l'énergie mécanique : conservation et dissipation

Théorème de l'énergie mécanique. Entre deux instants,

Δ E_{m} = \sum W ({\vec{F}}_{non conservatives})

. Autrement dit, seules les forces non conservatives font varier l'énergie mécanique d'un système.

Démonstration exigible. Le théorème de l'énergie cinétique donne $Δ E_{c} = W (\vec{P}) + W (\vec{f}) + W (\vec{R})$ . Or $W (\vec{P}) = - Δ E_{p p}$ (le poids est conservatif) et $W (\vec{R}) = 0$ (réaction normale perpendiculaire au déplacement). Donc $Δ E_{c} + Δ E_{p p} = W (\vec{f})$ , c'est-à-dire $Δ (E_{c} + E_{p p}) = Δ E_{m} = W (\vec{f})$ .

Conservation. Si le système n'est soumis qu'à des forces conservatives ou de travail nul, alors

Δ E_{m} = 0

: l'énergie mécanique est constante. Elle se répartit à chaque instant entre

E_{c}

E_{p}

, l'une augmentant exactement de ce que l'autre perd.

Dissipation. En présence de frottements,

W (\vec{f}) < 0

donc

E_{m}

diminue : on dit que l'énergie mécanique est dissipée. Elle n'est pas détruite : elle est transférée sous forme d'énergie interne au système et au milieu extérieur (échauffement), transfert dont le bilan complet relève du premier principe de la thermodynamique.

Exemple rédigé. L'énergie mécanique d'un palet lancé sur une table passe de 0,52 J à 0,31 J entre deux points. Le théorème de l'énergie mécanique donne

W (\vec{f}) = Δ E_{m}

= 0,31 − 0,52 = −0,21 J : les frottements ont dissipé 0,21 J, soit 40 % de l'énergie initiale.

L'oscillateur masse-ressort : équation différentielle et période propre

On considère un solide de masse $m$ accroché à un ressort de raideur $k$ , glissant sans frottement sur un support horizontal. L'axe $(O x)$ est horizontal, l'origine prise à la position d'équilibre, si bien que $x$ mesure aussi l'allongement du ressort.

Force de rappel.

\vec{F} = - k x \vec{i}

: elle est toujours dirigée vers la position d'équilibre et proportionnelle à l'écart à cette position. C'est la signature d'un oscillateur harmonique.

Équation différentielle. La deuxième loi de Newton projetée sur $(O x)$ donne $m \ddot{x} = - k x$ , soit :

\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0

Solution et période propre. Les solutions s'écrivent

x (t) = X_{m} \cos (\frac{2 π}{T_{0}} t + φ)

, où

X_{m}

est l'amplitude et

φ

la phase à l'origine (fixées par les conditions initiales), et où la période propre vaut

T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}

. On note aussi

ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}

la pulsation propre et

f_{0} = \frac{1}{T_{0}}

la fréquence propre.

Vérification (exigible). En dérivant deux fois, $\ddot{x} = - {(\frac{2 π}{T_{0}})}^{2} x$ . En reportant dans l'équation, il faut ${(\frac{2 π}{T_{0}})}^{2} = \frac{k}{m}$ , ce qui donne bien $T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$ . La période propre ne dépend pas de l'amplitude : l'oscillateur harmonique est isochrone.

Bilan énergétique. Sans frottement,

E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}

est constante. Aux positions extrêmes (

x = \pm X_{m}

v = 0

) :

E_{m} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2}

. Au passage par l'équilibre (

x = 0

v = v_{m a x}

) :

E_{m} = \frac{1}{2} m v_{m a x}^{2}

. On en déduit

v_{m a x} = ω_{0} X_{m}

Exemple.

m

= 0,60 kg et

k

= 24 N·m⁻¹ :

T_{0} = 2 π \sqrt{0, 60 / 24} = 2 π \sqrt{0, 025}

= 0,993 s, et

f_{0}

= 1,01 Hz.

Pendule simple et oscillations amorties

Pendule simple. Une masse ponctuelle suspendue à un fil inextensible de longueur

ℓ

et de masse négligeable. Pour de petites oscillations (amplitude angulaire

θ_{m} \leq 20 °

environ), la période propre vaut

T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{ℓ}{g}}

: elle ne dépend ni de la masse, ni de l'amplitude.

Exemple. Pour

ℓ

= 0,60 m et

g

= 9,81 m·s⁻²,

T_{0} = 2 π \sqrt{0, 60 / 9, 81}

= 1,55 s. Doubler la masse ne change rien ; il faudrait multiplier la longueur par 4 pour doubler la période.

La hauteur de remontée du pendule écarté de $θ_{m}$ s'obtient par géométrie : $h = ℓ (1 - \cos θ_{m})$ , d'où $E_{m} = m g ℓ (1 - \cos θ_{m})$ en prenant l'origine des altitudes au point le plus bas.

Oscillations libres amorties. En présence de frottements, l'énergie mécanique décroît : l'amplitude des oscillations successives diminue et le mouvement finit par s'arrêter à la position d'équilibre. Si l'amortissement est faible, le mouvement est pseudo-périodique : on mesure une pseudo-période

T

, légèrement supérieure à

T_{0}

mais pratiquement constante. Si l'amortissement est fort, le régime est apériodique : le système rejoint l'équilibre sans osciller.

Astuce. L'amplitude décroît de façon géométrique : le rapport de deux amplitudes successives est à peu près constant, donc le rapport de deux énergies mécaniques successives aussi (il vaut le carré du précédent, puisque

E_{m} \propto X_{m}^{2}

Lire un portrait de phase

Portrait de phase. C'est la courbe représentant la vitesse

v = \dot{x}

en fonction de la position

x

, le temps n'apparaissant plus que comme paramètre. Chaque point de la courbe est un état du système à un instant donné.

Trois lectures immédiates :

Courbe fermée (une ellipse pour un oscillateur harmonique) : le système repasse indéfiniment par les mêmes états, son énergie mécanique se conserve. Les demi-axes valent $X_{m}$ sur l'axe des positions et $v_{m a x} = ω_{0} X_{m}$ sur l'axe des vitesses, d'où $ω_{0} = \frac{v_{m a x}}{X_{m}}$ et $T_{0} = \frac{2 π X_{m}}{v_{m a x}}$ .
Spirale convergeant vers l'origine : l'amplitude et la vitesse maximale diminuent à chaque tour, l'énergie mécanique est dissipée. Un tour complet correspond à une pseudo-période.
Courbe rejoignant l'origine sans faire de tour : régime apériodique, le système n'oscille pas.

Sens de parcours. Il est toujours horaire : dans la partie haute du portrait,

v > 0

, donc

x

augmente et le point se déplace vers la droite ; dans la partie basse,

v < 0

x

diminue.

Exemple. Sur un portrait fermé, on lit

X_{m}

= 5,0 cm et

v_{m a x}

= 0,80 m·s⁻¹. Alors

ω_{0}

= 0,80 / 0,050 = 16 rad·s⁻¹ et

T_{0} = 2 π / 16

= 0,39 s.

Méthodes

Méthode — Établir l'équation différentielle d'un oscillateur et en déduire sa période propre

Définir le système, le référentiel (terrestre supposé galiléen) et l'axe d'étude, avec l'origine à la position d'équilibre.
Faire le bilan des forces et appliquer la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F} = m \vec{a}$ .
Projeter sur l'axe et écrire l'équation sous la forme canonique $\ddot{x} + ω_{0}^{2} x = 0$ .
Identifier $ω_{0}^{2}$ avec le coefficient devant $x$ , puis conclure : $T_{0} = \frac{2 π}{ω_{0}}$ .

Exemple rédigé. Un solide de masse

m

= 0,90 kg glisse sans frottement, relié à un ressort de raideur

k

= 50 N·m⁻¹. Système : le solide ; référentiel terrestre. Forces : le poids et la réaction normale, qui se compensent verticalement, et la force de rappel

- k x \vec{i}

. Projection :

m \ddot{x} = - k x

, soit

\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0

. On identifie

ω_{0}^{2} = k / m

= 55,6 rad²·s⁻², donc

ω_{0}

= 7,45 rad·s⁻¹ et $T_{0} = 2 π \sqrt{0, 90 / 50}$ = 0,843 s.

Méthode — Faire un bilan énergétique en présence de frottements

Choisir les deux instants (ou les deux points) du bilan et fixer l'origine des altitudes.
Calculer $E_{m}$ à chacun des deux états : $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g z + \frac{1}{2} k x^{2}$ selon le dispositif.
Appliquer $Δ E_{m} = W (\vec{f})$ ; le résultat négatif donne l'énergie dissipée.
Si la force de frottement est supposée constante et opposée au mouvement sur une longueur $L$ : $W (\vec{f}) = - f \times L$ , d'où $f$ .

Exemple rédigé. Un mobile de masse 1,2 kg lancé à 5,0 m·s⁻¹ sur une piste horizontale s'arrête au bout de 3,2 m. L'altitude est constante donc

Δ E_{p p} = 0

Δ E_{m} = Δ E_{c} = 0 - \frac{1}{2} \times 1, 2 \times (5, 0)^{2}

= −15 J. Les frottements ont donc dissipé 15 J. Avec

W (\vec{f}) = - f L

f

= 15 / 3,2, soit $f$ = 4,7 N.

Méthode — Exploiter un portrait de phase

Repérer la forme de la courbe pour conclure sur la conservation ou la dissipation de l'énergie mécanique.
Lire l'amplitude $X_{m}$ sur l'axe des abscisses et la vitesse maximale $v_{m a x}$ sur l'axe des ordonnées.
En déduire $ω_{0} = v_{m a x} / X_{m}$ , puis $T_{0}$ , puis la grandeur demandée ( $k = m ω_{0}^{2}$ ou $m = k / ω_{0}^{2}$ ).
Calculer les énergies aux points d'intersection avec l'axe des abscisses, où $E_{m} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2}$ .

Exemple rédigé. Un portrait de phase fermé donne

X_{m}

= 4,0 cm et

v_{m a x}

= 0,60 m·s⁻¹. La courbe est fermée : l'énergie mécanique se conserve.

ω_{0}

= 0,60 / 0,040 = 15 rad·s⁻¹, donc

T_{0} = 2 π / 15

= 0,419 s. Si la masse oscillante vaut 0,48 kg, alors $k = m ω_{0}^{2} = 0, 48 \times 15^{2}$ = 108 N·m⁻¹.

Pièges et erreurs classiques

Confondre les deux périodes propres.

T_{0} = 2 π \sqrt{m / k}

pour le système masse-ressort (la masse compte),

T_{0} = 2 π \sqrt{ℓ / g}

pour le pendule simple (la masse ne compte pas). Vérifiez toujours l'homogénéité :

\sqrt{kg / ({N·m}^{- 1})}

comme

\sqrt{m / ({m·s}^{- 2})}

donnent bien des secondes.

Écrire $\frac{1}{2} m v^{2} = m g h$ en présence de frottements. Cette égalité traduit la conservation de

E_{m}

: elle est fausse dès qu'une force de frottement travaille. Il faut alors écrire

Δ E_{m} = W (\vec{f})

, avec

W (\vec{f}) < 0

Compter deux fois le travail du poids. Si l'énergie potentielle de pesanteur figure dans

E_{m}

, le travail du poids ne doit plus apparaître dans le second membre du théorème de l'énergie mécanique : seules les forces non conservatives y figurent.

Croire que l'énergie « disparaît ». L'énergie mécanique dissipée est transférée en énergie interne, puis évacuée par transfert thermique : l'énergie totale, elle, est conservée.

Utiliser $T_{0} = 2 π \sqrt{ℓ / g}$ pour une grande amplitude. L'isochronisme n'est valable qu'aux petites oscillations ; à 60°, la période réelle est nettement plus grande que la valeur calculée.

Oublier de préciser les origines.

E_{p p}

E_{p e}

dépendent des origines choisies (altitude de référence, longueur à vide du ressort) ; seules les variations d'énergie ont un sens physique absolu.

Mélanger pulsation, fréquence et période.

ω_{0}

est en rad·s⁻¹,

f_{0}

en Hz,

T_{0}

en s, avec

ω_{0} = 2 π f_{0} = \frac{2 π}{T_{0}}

En bref

$E_{m} = E_{c} + E_{p}$ ; théorème de l'énergie mécanique : $Δ E_{m} = \sum W ({\vec{F}}_{non conservatives})$ .
Sans frottement, $E_{m}$ est constante ; avec frottement, $Δ E_{m} = W (\vec{f}) < 0$ : l'énergie est dissipée sous forme d'énergie interne.
Masse-ressort : $\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0$ , $x (t) = X_{m} \cos (\frac{2 π}{T_{0}} t + φ)$ , $T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$ , $E_{m} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2} = \frac{1}{2} m v_{m a x}^{2}$ et $v_{m a x} = ω_{0} X_{m}$ .
Pendule simple, petites oscillations : $T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{ℓ}{g}}$ , indépendante de la masse et de l'amplitude ; $E_{m} = m g ℓ (1 - \cos θ_{m})$ .
Amortissement : amplitude décroissante, pseudo-période $T$ un peu supérieure à $T_{0}$ ; amortissement fort : régime apériodique.
Portrait de phase $v (x)$ : courbe fermée = conservation, spirale vers l'origine = dissipation ; $ω_{0} = v_{m a x} / X_{m}$ , parcours horaire.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de physique-chimie à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs