Dynamique d’un système électrique : condensateur et circuit RC

Un capteur capacitif est modélisé par un condensateur plan : $S=9,0$ cm², $d=0,30$ mm, isolant de permittivité relative ${\epsilon }_r=3,8$ ; ${\epsilon }_0=8,85\times {10}^{-12}$ F·m⁻¹ et $C={\displaystyle \frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}}$. Initialement déchargé, il est chargé à $t=0$ sous $E=15$ V à travers $R=560$ kΩ.

1. a)Calculer la capacité $C$ du capteur.
2. b)Établir l’équation différentielle de la charge et vérifier que $u_C=E(1-e^{-t/\tau })$, $\tau =RC$, en est solution.
3. c)Calculer $\tau$, puis la tension $u_C$ à la date $t=100$ µs.
4. d)Calculer la durée au bout de laquelle $u_C$ atteint 99 % de $E$.

Un condensateur de 680 µF, chargé sous $U_0=12$ V, est relié à $t=0$ à un conducteur ohmique $R=1,5$ kΩ ; $i$ est orientée vers l’armature A, comme pendant la charge ; énergie stockée : $\frac{1}{2}C{u}^2$.

1. a)Établir l’équation différentielle de la décharge ; en déduire $u_C(t)$.
2. b)Calculer $\tau$ et la tension à la date $t=2,0$ s.
3. c)Exprimer $i(t)$, calculer $i(0)$ et interpréter son signe.
4. d)Calculer l’énergie dissipée dans $R$ jusqu’à ce que $u_C=3,0$ V, puis la date correspondante.

Un dipôle D, initialement déchargé, est alimenté à $t=0$ par un générateur de courant d’intensité constante $I=0,20$ mA. Relevés :

1. a)Montrer que le dipôle D a un comportement capacitif et non celui d’un conducteur ohmique.
2. b)Calculer la charge $q$ de l’armature A à $t=20,0$ s, puis la capacité $C$.
3. c)Retrouver $C$ à partir de la relation entre $i$ et $u$ en convention récepteur.
4. d)Le condensateur, chargé sous 4,4 V, est ensuite déchargé dans $R=2,2$ kΩ. Calculer $\tau$ et la date à laquelle sa tension vaut 1,1 V.

Une carte d’acquisition enregistre la charge d’un condensateur de capacité $C$ inconnue à travers $R=10,0$ kΩ, avec $u(R)=0,1$ kΩ ; le condensateur est initialement déchargé.

1. a)Relever la tension finale $E$, puis calculer la tension à laquelle on lit la constante de temps $\tau$.
2. b)Lire $\tau$ sur l’enregistrement et en déduire $C$.
3. c)La lecture se fait à une graduation près, $g=1$ ms. Évaluer $u(\tau )$ (type B, $u={\displaystyle \frac{g}{\sqrt{12}}}$), puis $u(C)$ avec ${\displaystyle \frac{u(C)}{C}}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{u(\tau )}{\tau }}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{u(R)}{R}}\right)}^2}$.
4. d)La valeur nominale du condensateur est 0,25 µF. Conclure à l’aide de l’écart normalisé.

Dans un accéléromètre, une masse mobile porte une armature placée à $d_0=2,0$ µm d’une armature fixe ; $S=0,50$ mm², air ; ${\epsilon }_0=8,85\times {10}^{-12}$ F·m⁻¹. Sous une accélération $a$, l’écart devient $d=d_0-ka$, avec $k=2,0\times {10}^{-9}$ m par m·s⁻². La capacité est mesurée par la durée $t_s=RC\ln 2$ d’une charge à travers $R=10$ MΩ.

1. a)Calculer la capacité au repos $C_0$ et la durée $t_s$ correspondante.
2. b)Calculer la capacité pour $a=50$ m·s⁻².
3. c)Le microcontrôleur distingue des durées de 0,05 µs. Calculer la plus petite variation de capacité détectable, puis la plus petite accélération détectable près du repos, en admettant $C\approx C_0(1+{\displaystyle \frac{ka}{d_0}})$ pour une petite accélération.
4. d)Expliquer pourquoi ce capteur n’est pas linéaire et proposer deux moyens de le rendre plus sensible.