Ressources · Terminale · Spécialité Physique-Chimie

Fiche de révision : Capteurs et chaînes de mesure

Modèle du condensateur, q = C u, et condensateur plan ; charge et décharge d’un circuit RC ; constante de temps τ = RC, sa mesure et ses incertitudes ; capteurs capacitifs.

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Dynamique d’un système électrique : condensateur et circuit RC

Fiche méthode

(Physique-chimie Tle spécialité · Ondes et signaux · Étudier la dynamique d’un système électrique)

La démarche pour un exercice de condensateur ou de circuit RC

1. Je convertis en unités SI : pF, nF, µF en F ; kΩ, MΩ en Ω ; ms, µs en s ; cm², mm² en m².

2. J’identifie la phase : charge (source présente, valeur finale $E$ ) ou décharge (pas de source, valeur initiale $U_{0}$ ), et la condition initiale.

3. J’écris la loi des mailles avec $u_{R} = R i$ et $i = C \frac{d u_{C}}{d t}$ , puis la solution qui respecte la continuité de $u_{C}$ .

4. Je calcule $τ = R C$ , puis une tension ( $e^{- t / τ}$ ) ou une date (logarithme), en gardant les valeurs non arrondies.

5. Je contrôle : $u_{C}$ entre 0 et $E$ , 63 % à $τ$ , ordre de grandeur de $C$ vraisemblable, incertitude et $z$ pour conclure.

Le réflexe — la tension aux bornes du condensateur est continue : elle fixe la condition initiale, alors que l’intensité, elle, peut sauter à la fermeture.

Cas 1 · Charge, tension et intensité

Réflexe — $q = C u_{C}$ ; $i = \frac{d q}{d t}$ ; courant constant : $C = \frac{I Δ t}{Δ u_{C}}$ .

Exemple. Sous 2,5 mA constants, la tension monte de 4,0 V en 16 s.

$C = \frac{2, 5 \times 10^{- 3} \times 16}{4, 0} =$ 1,0 × 10⁻² F, soit 10 mF.

Attention — q est la charge d’une armature ; la charge totale est nulle.

Cas 2 · Capacité d’un condensateur plan

Réflexe — $C = \frac{ε_{0} ε_{r} S}{d}$ , tout en SI.

Exemple. $S = 50$ cm², $d = 0, 10$ mm, $ε_{r} = 2, 0$ .

$C = \frac{8, 85 \times 10^{- 12} \times 2, 0 \times 5, 0 \times 10^{- 3}}{1, 0 \times 10^{- 4}} \approx$ 8,85 × 10⁻¹⁰ F.

Attention — 1 cm² = 10⁻⁴ m² ; C diminue quand d augmente.

Cas 3 · Charge d’un circuit RC

Réflexe — $u_{C} = E (1 - e^{- t / τ})$ ; $t = τ \ln (\frac{E}{E - u})$ .

Exemple. $E = 10$ V, $τ = 2, 0$ ms : date où $u_{C} = 8, 0$ V ?

$t = 2, 0 \times \ln (\frac{10}{2, 0}) \approx$ 3,2 ms.

Attention — i(0) = E/R est maximale ; u_C(0) = 0.

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Cas 4 · Décharge et énergie

Réflexe — $u_{C} = U_{0} e^{- t / τ}$ ; $ℰ = \frac{1}{2} C u^{2}$ .

Exemple. $U_{0} = 9, 0$ V, $τ = 0, 50$ s : tension à 1,0 s ?

$u_{C} = 9, 0 \times e^{- 2} \approx$ 1,2 V ; l’énergie restante n’est plus que $e^{- 4} \approx 1, 8$ %.

Attention — tension divisée par 2 → énergie divisée par 4.

Cas 5 · Mesurer τ et conclure

Réflexe — $τ$ à 63 % (charge) ou 37 % (décharge) ; $C = \frac{τ}{R}$ ; $z = \frac{| C - C_{réf} |}{u (C)}$ .

Exemple. Décharge sous 6,0 V : $u_{C} = 2, 22$ V à 3,3 ms, $R = 1, 5$ kΩ.

$0, 37 \times 6, 0 = 2, 22$ V donc $τ = 3, 3$ ms et $C = \frac{3, 3 \times 10^{- 3}}{1 500} =$ 2,2 × 10⁻⁶ F.

Attention — type A : diviser par √n, pas par n.

Cas 6 · Capteur capacitif

Réflexe — grandeur → $S$ , $d$ ou $ε_{r}$ → $C$ → durée ; $t_{s} = R C \ln (\frac{E}{E - U_{s}})$ .

Exemple. Étalonnage $C = 30 + 2, 5 x$ (pF, $x$ en mm) ; on mesure 47,5 pF.

$x = \frac{47, 5 - 30}{2, 5} =$ 7,0 mm.

Attention — l’étalonnage dépend du milieu entre les armatures.

Les pièges

Oublier une conversion (pF, µF, cm², mm) : $C$ ou $τ$ faux d’un facteur 1 000 ou 100.
Croire que l’intensité est nulle à la fermeture : c’est $u_{C}$ qui est nulle, $i (0) = \frac{E}{R}$ .
Confondre $E (1 - e^{- t / τ})$ (charge) et $U_{0} e^{- t / τ}$ (décharge).
Lire $τ$ à 50 %, ou à 63 % d’une charge pas terminée, au lieu de 63 % de la valeur finale.
Oublier le carré de $u$ dans $\frac{1}{2} C u^{2}$ , ou le signe de $i$ pendant la décharge.
Diviser $s_{n - 1}$ par $n$ , ou additionner les incertitudes relatives au lieu de la somme quadratique.

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À propos de cette page

La fiche méthode tient en deux pages : la démarche en cinq étapes, des conversions au contrôle du résultat, puis un exemple corrigé par cas — un condensateur chargé à courant constant, un condensateur plan à film plastique, une date de charge, une tension de décharge et l’énergie restante, une constante de temps lue sur une décharge, un capteur de position étalonné — et six pièges sur les unités, l’intensité initiale, les exponentielles et les incertitudes.

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