Dynamique d’un système électrique : condensateur et circuit RC

Calcule (questions indépendantes). Convertis d’abord en unités SI : 1 µF = 10⁻⁶ F, 1 nF = 10⁻⁹ F, 1 pF = 10⁻¹² F.

1. C = 47 µF sous u = 12 V : q ≈ × 10⁻⁴ C
   $q=Cu=47\times {10}^{-6}\times 12\approx$ 5,6 × 10⁻⁴ C.
2. C = 680 pF sous 6,5 V : q ≈ nC
   $q=680\times {10}^{-12}\times 6,5\approx 4,4\times {10}^{-9}$ C, soit 4,4 nC.
3. Supercondensateur de 1,2 F sous 2,7 V : q ≈ C
   $q=1,2\times 2,7\approx$ 3,2 C : une charge énorme, due à la capacité.
4. q = 36 µC sous 8,0 V : C = µF
   $C={\displaystyle \frac{q}{u}}={\displaystyle \frac{36\times {10}^{-6}}{8,0}}=4,5\times {10}^{-6}$ F, soit 4,5 µF.
5. q = 1,1 nC et C = 220 pF : u = V
   $u={\displaystyle \frac{q}{C}}={\displaystyle \frac{1,1\times {10}^{-9}}{220\times {10}^{-12}}}=$ 5,0 V.
6. C = 15 nF sous 0,40 kV : q = µC
   $q=15\times {10}^{-9}\times 400=6,0\times {10}^{-6}$ C, soit 6,0 µC (0,40 kV = 400 V).
7. C = 3,3 mF porte q = 9,9 mC : u = V
   $u={\displaystyle \frac{9,9\times {10}^{-3}}{3,3\times {10}^{-3}}}=$ 3,0 V.
8. Un condensateur porte 30 µC sous 7,5 V ; sous 15 V, il porte µC
   $C={\displaystyle \frac{30}{7,5}}=4,0$ µF ne dépend pas de la tension : $q=4,0\times 15=$ 60 µC (tension doublée, charge doublée).
9. L’armature A porte 2,4 µC ; l’armature B porte µC
   Les deux armatures portent des charges opposées : −2,4 µC.
10. Somme des charges des deux armatures de ce condensateur : C
    $q+(-q)=$ 0 : le condensateur, dans son ensemble, reste neutre.

Questions indépendantes ; i est orientée vers l’armature A et q est la charge de A. Les condensateurs chargés « à courant constant » sont initialement déchargés.

1. À courant constant I = 25 µA pendant 40 s : q = mC
   $q=It=25\times {10}^{-6}\times 40=1,0\times {10}^{-3}$ C, soit 1,0 mC.
2. Un condensateur de 470 µF reçoit 25 µA constants pendant 40 s : sa tension vaut alors ≈ V
   $u={\displaystyle \frac{q}{C}}={\displaystyle \frac{1,0\times {10}^{-3}}{470\times {10}^{-6}}}\approx$ 2,1 V.
3. À courant constant I = 0,10 mA, u augmente de 1,5 V en 12 s : C = µF
   $C={\displaystyle \frac{I\Delta t}{\Delta u}}={\displaystyle \frac{0,10\times {10}^{-3}\times 12}{1,5}}=8,0\times {10}^{-4}$ F, soit 800 µF.
4. u croît de 0,25 V par seconde pour C = 220 µF : I = µA
   $i=C{\displaystyle \frac{du}{dt}}=220\times {10}^{-6}\times 0,25=5,5\times {10}^{-5}$ A, soit 55 µA.
5. C = 1,5 mF, courant constant de 2,0 mA : durée pour atteindre 4,0 V = s
   $q=Cu=1,5\times {10}^{-3}\times 4,0=6,0\times {10}^{-3}$ C, atteinte en $t={\displaystyle \frac{q}{I}}={\displaystyle \frac{6,0\times {10}^{-3}}{2,0\times {10}^{-3}}}=$ 3,0 s.
6. Même condensateur, courant constant de 5,0 mA : durée pour atteindre 4,0 V = s
   La charge à fournir est la même, le débit 2,5 fois plus grand : $t={\displaystyle \frac{6,0\times {10}^{-3}}{5,0\times {10}^{-3}}}=$ 1,2 s.
7. La charge suit q(t) = 2,5 × 10⁻⁶ × t (q en C, t en s) : i = µA
   $i={\displaystyle \frac{dq}{dt}}=2,5\times {10}^{-6}$ A, soit 2,5 µA : la charge croît linéairement, l’intensité est constante.
8. q passe de 14 µC à 5,0 µC en 1,5 ms : intensité moyenne = mA
   $i={\displaystyle \frac{\Delta q}{\Delta t}}={\displaystyle \frac{(5,0-14)\times {10}^{-6}}{1,5\times {10}^{-3}}}=$ −6,0 mA : négative, l’armature A perd des charges (décharge).

Un condensateur de 47 µF, déchargé, reçoit 30 µA pendant 4,0 s, puis 10 µA pendant 6,0 s, puis −20 µA pendant 2,0 s (i orientée vers l’armature A).

1. Coefficient directeur de u(t) pendant la première phase ≈ V·s⁻¹ (au millième)
   ${\displaystyle \frac{du}{dt}}={\displaystyle \frac{i}{C}}={\displaystyle \frac{30\times {10}^{-6}}{47\times {10}^{-6}}}\approx$ 0,638 V·s⁻¹.
2. Tension à t = 4,0 s ≈ V (au centième)
   $q_1=30\times {10}^{-6}\times 4,0=120$ µC, donc $u_1={\displaystyle \frac{120\times {10}^{-6}}{47\times {10}^{-6}}}\approx$ 2,55 V.
3. Tension à t = 10,0 s ≈ V (au centième)
   $q_2=120+10\times 6,0=180$ µC, $u_2={\displaystyle \frac{180}{47}}\approx$ 3,83 V.
4. Tension à t = 12,0 s ≈ V (au centième)
   $q_3=180-20\times 2,0=140$ µC : $u_3={\displaystyle \frac{140}{47}}\approx$ 2,98 V ; le condensateur s’est en partie déchargé.
5. Date à laquelle u atteint 3,0 V pour la première fois ≈ s (au dixième)
   Il faut $q=47\times 3,0=141$ µC, atteinte pendant la deuxième phase : $t=4,0+{\displaystyle \frac{141-120}{10}}=$ 6,1 s.
6. Intensité constante qui donnerait la même charge finale en 12,0 s ≈ µA (au dixième)
   $I={\displaystyle \frac{140\times {10}^{-6}}{12,0}}\approx$ 11,7 µA : c’est l’intensité moyenne sur les douze secondes.

Calcule la grandeur demandée ; ε₀ = 8,85 × 10⁻¹² F·m⁻¹ ; air : εᵣ = 1,0. Questions indépendantes.

1. S = 0,50 m², d = 2,0 mm, air : C ≈ nF (au centième)
   $C={\displaystyle \frac{8,85\times {10}^{-12}\times 0,50}{2,0\times {10}^{-3}}}\approx 2,21\times {10}^{-9}$ F, soit 2,21 nF.
2. S = 25 cm², d = 0,20 mm, air : C ≈ pF (trois chiffres significatifs)
   $C={\displaystyle \frac{8,85\times {10}^{-12}\times 25\times {10}^{-4}}{2,0\times {10}^{-4}}}\approx$ 111 pF.
3. Mêmes armatures, film de permittivité relative 3,0 entre elles : C ≈ pF
   $C$ est multipliée par ${\epsilon }_r=3,0$ : 332 pF.
4. S = 6,0 mm², d = 2,0 µm, εᵣ = 4,0 : C ≈ pF
   $C={\displaystyle \frac{8,85\times {10}^{-12}\times 4,0\times 6,0\times {10}^{-6}}{2,0\times {10}^{-6}}}\approx$ 106 pF.
5. Écart pour obtenir 50 pF avec S = 10 cm², air : d ≈ mm
   $d={\displaystyle \frac{{\epsilon }_{0}S}{C}}={\displaystyle \frac{8,85\times {10}^{-12}\times 1,0\times {10}^{-3}}{50\times {10}^{-12}}}\approx$ 0,177 mm.
6. Surface pour 1,0 nF avec d = 0,10 mm et εᵣ = 2,2 : S ≈ cm² (à l’unité)
   $S={\displaystyle \frac{Cd}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}}={\displaystyle \frac{1,0\times {10}^{-9}\times 1,0\times {10}^{-4}}{8,85\times {10}^{-12}\times 2,2}}\approx 5,14\times {10}^{-3}$ m², soit 51 cm².
7. S = 20 cm², d = 0,50 mm, capacité mesurée 64 pF : εᵣ ≈ (au dixième)
   Dans l’air, $C=35,4$ pF ; ${\epsilon }_r={\displaystyle \frac{64}{35,4}}\approx$ 1,8.
8. On divise d par 4 : C est multipliée par
   $C$ varie comme ${\displaystyle \frac{1}{d}}$ : multipliée par 4.
9. On triple S et on double d : C est multipliée par
   ${\displaystyle \frac{3}{2}}=$ 1,5.
10. On remplace l’air par une huile d’εᵣ = 2,4 et on divise S par 2 : C est multipliée par
    ${\displaystyle \frac{2,4}{2}}=$ 1,2.

Capteur de pression : armatures de surface en regard S = 2,8 cm², air (εᵣ = 1,0), écart au repos d₁ = 0,12 mm ; ε₀ = 8,85 × 10⁻¹² F·m⁻¹.

1. Capacité au repos : C₁ = pF
   $C_1={\displaystyle \frac{8,85\times {10}^{-12}\times 2,8\times {10}^{-4}}{1,2\times {10}^{-4}}}=2,065\times {10}^{-11}$ F, soit 20,65 pF (environ 20,7 pF).
2. Une surpression ramène l’écart à 0,08 mm : C₂ ≈ pF (trois chiffres significatifs)
   $C_2={\displaystyle \frac{8,85\times {10}^{-12}\times 2,8\times {10}^{-4}}{0,8\times {10}^{-4}}}\approx$ 31,0 pF.
3. Variation relative de la capacité entre le repos et cette surpression : %
   ${\displaystyle \frac{C_2-C_1}{C_1}}={\displaystyle \frac{d_1}{d_2}}-1={\displaystyle \frac{0,12}{0,08}}-1=$ +50 %.
4. Écart pour lequel C = 41,3 pF : d = mm
   $Cd={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S$ reste constant : $d={\displaystyle \frac{20,65\times 0,12}{41,3}}=$ 0,06 mm. La capacité double quand l’écart est divisé par 2.
5. Écart pour lequel C = 25,0 pF : d ≈ mm (trois chiffres significatifs)
   $d={\displaystyle \frac{20,65\times 0,12}{25,0}}\approx$ 0,0991 mm.
6. Capacité quand l’écart a diminué de 0,02 mm depuis le repos : C ≈ pF (au dixième)
   $d=0,10$ mm : $C\approx$ 24,8 pF. Une baisse de 0,02 mm ajoute 4,1 pF, une baisse double (0,04 mm) en ajoutait plus du double : le capteur n’est pas linéaire.

Microphone électrostatique : membrane circulaire de diamètre 12 mm, à d₀ = 25 µm d’une armature fixe (air), sous une tension constante U = 48 V ; ε₀ = 8,85 × 10⁻¹² F·m⁻¹.

1. Surface en regard : S ≈ × 10⁻⁴ m²
   Rayon 6,0 mm : $S=\pi r^2=\pi \times (6,0\times {10}^{-3}{)}^2\approx$ 1,13 × 10⁻⁴ m².
2. Capacité au repos : C₀ ≈ pF (trois chiffres significatifs)
   $C_0={\displaystyle \frac{8,85\times {10}^{-12}\times 1,13\times {10}^{-4}}{25\times {10}^{-6}}}\approx$ 40,0 pF.
3. Charge de l’armature au repos : q₀ ≈ nC
   $q_0=C_{0}U\approx 4,00\times {10}^{-11}\times 48\approx$ 1,92 nC.
4. Une surpression rapproche la membrane à 24 µm : C ≈ pF (au dixième)
   $C=C_0\times {\displaystyle \frac{25}{24}}\approx$ 41,7 pF.
5. À tension constante, la charge augmente alors de ≈ pC (à l’unité)
   $\Delta q=U\Delta C=48\times (C-C_0)\approx$ 80 pC (on garde les valeurs non arrondies).
6. Si ce rapprochement dure 0,25 ms, intensité moyenne dans le circuit ≈ µA (au centième)
   $i={\displaystyle \frac{\Delta q}{\Delta t}}\approx {\displaystyle \frac{8,0\times {10}^{-11}}{2,5\times {10}^{-4}}}\approx$ 0,32 µA : c’est ce courant, qui suit les vibrations de la membrane, qui constitue le signal.

Condensateur initialement déchargé, chargé sous E à travers R (questions indépendantes).

1. R = 10 kΩ, C = 22 µF : τ = s
   $\tau =10\times {10}^3\times 22\times {10}^{-6}=$ 0,22 s.
2. R = 2,2 MΩ, C = 4,7 nF : τ ≈ ms (au dixième)
   $\tau =2,2\times {10}^6\times 4,7\times {10}^{-9}\approx 1,03\times {10}^{-2}$ s, soit 10,3 ms.
3. R = 680 Ω, C = 1,0 mF : τ = s
   $\tau =680\times 1,0\times {10}^{-3}=$ 0,68 s.
4. E = 9,0 V : u_C à t = τ/2 ≈ V (au dixième)
   $u_C=9,0\times (1-e^{-0,5})\approx$ 3,5 V, bien plus que la moitié de 63 % de $E$.
5. E = 9,0 V : u_C à t = 1,5τ ≈ V (au dixième)
   $u_C=9,0\times (1-e^{-1,5})\approx$ 7,0 V.
6. E = 9,0 V : u_C à t = 5τ ≈ V (au centième)
   $u_C=9,0\times (1-e^{-5})\approx$ 8,94 V, plus de 99 % de $E$.
7. E = 6,0 V, τ = 40 ms : u_C à t = 10 ms ≈ V (au centième)
   $u_C=6,0\times (1-e^{-10/40})\approx$ 1,33 V.
8. τ = 40 ms : date où u_C = E/2 ≈ ms (au dixième)
   $t=\tau \ln \left({\displaystyle \frac{E}{E-E/2}}\right)=40\ln 2\approx$ 27,7 ms, et non ${\displaystyle \frac{\tau }{2}}$.
9. E = 6,0 V, R = 1,2 kΩ : intensité à la fermeture i(0) = mA
   $u_C(0)=0$, toute la tension est aux bornes de $R$ : $i(0)={\displaystyle \frac{6,0}{1200}}=$ 5,0 mA.
10. Même circuit : i à t = τ ≈ mA (au centième)
    $i={\displaystyle \frac{E}{R}}{e}^{-1}\approx$ 1,84 mA.
11. Au régime stationnaire, l’intensité vaut A
    $u_C=E$ est constante : $i=C{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}=$ 0.

Un condensateur de 3,9 µF, déchargé, est chargé à t = 0 sous E = 12 V à travers R = 15 kΩ.

1. Constante de temps : τ = ms
   $\tau =15\times {10}^3\times 3,9\times {10}^{-6}=5,85\times {10}^{-2}$ s, soit 58,5 ms.
2. Tension à t = τ ≈ V (au dixième)
   $u_C(\tau )=12\times (1-e^{-1})\approx$ 7,6 V.
3. Date à laquelle u_C atteint 11,4 V ≈ ms (à l’unité)
   $e^{-t/\tau }=1-{\displaystyle \frac{11,4}{12}}=0,05$, donc $t=\tau \ln 20\approx$ 175 ms (95 % de $E$ est atteint vers $3\tau$).
4. Charge de l’armature A en fin de charge ≈ µC (au dixième)
   $q=CE=3,9\times {10}^{-6}\times 12=4,68\times {10}^{-5}$ C, soit 46,8 µC.
5. Intensité à la fermeture : i(0) = mA
   $i(0)={\displaystyle \frac{E}{R}}={\displaystyle \frac{12}{15\times {10}^3}}=$ 0,80 mA.
6. Intensité à l’instant où u_C = 9,0 V : i = mA
   Loi des mailles : $u_R=E-u_C=3,0$ V, donc $i={\displaystyle \frac{3,0}{15\times {10}^3}}=$ 0,20 mA.

Un condensateur de 220 µF porte déjà U₁ = 2,0 V ; à t = 0, on le charge sous E = 10 V à travers R = 3,3 kΩ. Solution : u_C(t) = A e^(−t/τ) + E.

1. Constante de temps : τ = s (au millième)
   $\tau =3,3\times {10}^3\times 220\times {10}^{-6}=$ 0,726 s.
2. Constante A = V
   Continuité : $u_C(0)=A+E=U_1$, donc $A=U_1-E=2,0-10=$ −8,0 V.
3. Tension à t = 0,50 s ≈ V (au centième)
   $u_C=10-8,0e^{-0,50/0,726}\approx$ 5,98 V.
4. Date à laquelle u_C = 9,0 V ≈ s (au centième)
   $8,0e^{-t/\tau }=10-9,0=1,0$, donc $t=\tau \ln 8\approx$ 1,51 s.
5. Intensité à t = 0 : i(0) ≈ mA (au centième)
   $u_R(0)=E-U_1=8,0$ V, donc $i(0)={\displaystyle \frac{8,0}{3300}}\approx$ 2,42 mA, et non ${\displaystyle \frac{E}{R}}$.
6. Date à laquelle u_C = 9,0 V si le condensateur était initialement déchargé ≈ s (au centième)
   $t=\tau \ln \left({\displaystyle \frac{10}{1,0}}\right)\approx$ 1,67 s : la charge préalable fait gagner $\tau \ln \left({\displaystyle \frac{10}{8,0}}\right)$.

Décharge d’un condensateur chargé sous U₀ dans un conducteur ohmique R ; i est orientée vers l’armature A, comme pendant la charge. Énergie stockée : ½ C u².

1. U₀ = 10 V : u_C à t = τ ≈ V (au dixième)
   $u_C=10e^{-1}\approx$ 3,7 V, soit 37 % de $U_0$.
2. U₀ = 10 V : u_C à t = 3τ ≈ V (au centième)
   $u_C=10e^{-3}\approx$ 0,50 V.
3. U₀ = 5,0 V, τ = 2,0 s : u_C à t = 1,0 s ≈ V (au centième)
   $u_C=5,0e^{-0,5}\approx$ 3,03 V.
4. U₀ = 12 V, τ = 0,40 s : date où u_C = 1,0 V ≈ s (au centième)
   $t=\tau \ln \left({\displaystyle \frac{U_0}{u}}\right)=0,40\ln 12\approx$ 0,99 s.
5. U₀ = 6,0 V, R = 3,0 kΩ : intensité au début de la décharge = mA
   $i(0)=-{\displaystyle \frac{U_0}{R}}=-{\displaystyle \frac{6,0}{3,0\times {10}^3}}=$ −2,0 mA : négative, le courant circule en sens inverse de la charge.
6. C = 4 700 µF sous 16 V : énergie ≈ J (au centième)
   $ℰ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 4,7\times {10}^{-3}\times {16}^2\approx$ 0,60 J.
7. C = 0,22 F sous 5,0 V : énergie = J
   $ℰ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 0,22\times 5,0^2=$ 2,75 J.
8. Capacité qui stocke 1,0 J sous 5,0 V : C = mF
   $C={\displaystyle \frac{2ℰ}{u^2}}={\displaystyle \frac{2,0}{25}}=0,080$ F, soit 80 mF.
9. Après une décharge partielle, la tension a été divisée par 2 : énergie restante = % de l’énergie initiale
   $ℰ$ varie comme $u^2$ : ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=$ 25 %, pas 50 %.
10. Part de l’énergie initiale qui reste à t = τ ≈ % (au dixième)
    ${\displaystyle \frac{u^2}{U_0^2}}=e^{-2}\approx$ 13,5 %.

Un condensateur de capacité 2,2 µF, chargé sous 9,0 V, est déchargé dans un conducteur ohmique de 15 kΩ. Énergie stockée : ½ C u².

1. Charge de l’armature A avant la décharge ≈ µC (à l’unité)
   $q=Cu=2,2\times {10}^{-6}\times 9,0\approx 2,0\times {10}^{-5}$ C, soit 20 µC.
2. Énergie stockée ≈ × 10⁻⁵ J
   $ℰ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2,2\times {10}^{-6}\times 9,0^2\approx$ 8,9 × 10⁻⁵ J.
3. Constante de temps : τ = ms
   $\tau =15\times {10}^3\times 2,2\times {10}^{-6}=3,3\times {10}^{-2}$ s, soit 33 ms.
4. Durée au bout de laquelle on le considère déchargé (5τ) = ms
   $5\tau =5\times 33=$ 165 ms : il reste alors moins de 1 % de la tension initiale.
5. Tension à t = 50 ms ≈ V (au centième)
   $u_C=9,0e^{-50/33}\approx$ 1,98 V.
6. Date à laquelle la tension tombe à 0,50 V ≈ ms (à l’unité)
   $t=33\ln \left({\displaystyle \frac{9,0}{0,50}}\right)=33\ln 18\approx$ 95 ms.
7. Énergie qui reste alors ≈ × 10⁻⁷ J
   $ℰ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2,2\times {10}^{-6}\times 0,{50}^2=$ 2,75 × 10⁻⁷ J, moins de 0,4 % de l’énergie initiale.

Un supercondensateur de 0,50 F, chargé sous 5,0 V, alimente une horloge modélisée par un conducteur ohmique de 220 kΩ ; elle fonctionne tant que u ≥ 2,0 V. Énergie : ½ C u².

1. Constante de temps : τ = × 10⁵ s
   $\tau =220\times {10}^3\times 0,50=$ 1,1 × 10⁵ s.
2. τ en heures ≈ h (au dixième)
   ${\displaystyle \frac{1,1\times {10}^5}{3600}}\approx$ 30,6 h.
3. Durée de fonctionnement de l’horloge ≈ h (au dixième)
   $t=\tau \ln \left({\displaystyle \frac{5,0}{2,0}}\right)\approx 1,1\times {10}^5\times 0,9163\approx 1,01\times {10}^5$ s, soit 28,0 h.
4. Intensité au début ≈ µA (au dixième)
   $|i(0)|={\displaystyle \frac{5,0}{220\times {10}^3}}\approx$ 22,7 µA.
5. Énergie stockée au départ = J
   ${ℰ}_0={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 0,50\times 5,0^2=$ 6,25 J.
6. Énergie reçue par l’horloge pendant son fonctionnement = J
   À 2,0 V, il reste ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 0,50\times 2,0^2=1,0$ J : l’horloge a reçu $6,25-1,0=$ 5,25 J.
7. Pourcentage de l’énergie initiale utilisé par l’horloge = %
   ${\displaystyle \frac{5,25}{6,25}}=$ 84 %, alors que la tension n’a perdu que 60 %.

Questions indépendantes.

1. Charge sous E = 8,0 V : on lit τ quand u_C = V (au centième)
   $0,63\times 8,0=$ 5,04 V.
2. Décharge depuis U₀ = 12,0 V : on lit τ quand u_C = V (au centième)
   $0,37\times 12,0=$ 4,44 V.
3. τ = 4,7 ms et R = 10 kΩ : C = nF
   $C={\displaystyle \frac{\tau }{R}}={\displaystyle \frac{4,7\times {10}^{-3}}{10\times {10}^3}}=4,7\times {10}^{-7}$ F, soit 470 nF.
4. τ = 0,33 s et C = 150 µF : R = kΩ
   $R={\displaystyle \frac{\tau }{C}}={\displaystyle \frac{0,33}{150\times {10}^{-6}}}=2,2\times {10}^3$ Ω, soit 2,2 kΩ.
5. Charge sous 4,5 V ; tangente à l’origine de coefficient directeur 1 500 V·s⁻¹ : τ = ms
   La tangente atteint $E$ à la date $\tau$ : $\tau ={\displaystyle \frac{E}{1500}}={\displaystyle \frac{4,5}{1500}}=3,0\times {10}^{-3}$ s, soit 3,0 ms.
6. Signal créneau, τ = 1,2 ms : demi-période minimale pour une charge complète = ms
   Il faut au moins $5\tau =$ 6,0 ms.
7. Fréquence maximale de ce créneau ≈ Hz (à l’unité)
   Période minimale $2\times 6,0=12$ ms : $f={\displaystyle \frac{1}{12\times {10}^{-3}}}\approx$ 83 Hz.
8. Décharge : ln(u_C/U₀) en fonction de t est une droite de coefficient directeur −25 s⁻¹ : τ = ms
   Le coefficient directeur vaut $-{\displaystyle \frac{1}{\tau }}$ : $\tau ={\displaystyle \frac{1}{25}}=0,040$ s, soit 40 ms.
9. On double R et on divise C par 4 : τ est multiplié par
   ${\displaystyle \frac{2}{4}}=$ 0,5.
10. Lecture de τ sur un axe gradué tous les 0,2 ms : incertitude-type de type B ≈ ms (au centième)
    $u={\displaystyle \frac{g}{\sqrt{12}}}={\displaystyle \frac{0,2}{\sqrt{12}}}\approx$ 0,06 ms.
11. Résistance marquée « 10 kΩ ± 5 % » : u(R) ≈ Ω (à l’unité)
    $\Delta =5\%\times 10000=500$ Ω, $u={\displaystyle \frac{\Delta }{\sqrt{3}}}\approx$ 289 Ω.

Huit mesures de la constante de temps d’un même circuit (en ms) : 4,2 ; 4,6 ; 4,4 ; 4,1 ; 4,5 ; 4,3 ; 4,7 ; 4,4. La valeur attendue RC vaut 4,6 ms.

1. Moyenne : ms
   ${\tau }_{\text{moy}}={\displaystyle \frac{35,2}{8}}=$ 4,40 ms.
2. Écart-type expérimental : s = ms
   Écarts à la moyenne : −0,2 ; 0,2 ; 0 ; −0,3 ; 0,1 ; −0,1 ; 0,3 ; 0 ; somme des carrés 0,28 ms². $s_{n-1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{0,28}{7}}}=\sqrt{0,04}=$ 0,20 ms.
3. Incertitude-type de la moyenne ≈ ms (deux chiffres significatifs)
   Type A : $u({\tau }_{\text{moy}})={\displaystyle \frac{0,20}{\sqrt{8}}}\approx$ 0,071 ms.
4. Écart normalisé avec la valeur attendue : z ≈ (au dixième)
   $z={\displaystyle \frac{|4,40-4,6|}{0,0707}}\approx$ 2,8 $>2$ : mesure non compatible avec RC ; il faut chercher une erreur systématique (valeurs de R ou de C mal connues).
5. Un élève divise s par n au lieu de √n : il trouve u = ms
   ${\displaystyle \frac{0,20}{8}}=$ 0,025 ms : valeur fausse, près de trois fois trop petite.
6. Avec cette valeur fausse, z =
   ${\displaystyle \frac{0,20}{0,025}}=$ 8,0 : l’erreur exagère l’incompatibilité.

Contrôle d’un condensateur de valeur nominale 4,3 µF : charge à travers R = 820 Ω, tolérance ± 14 Ω ; on mesure τ = 3,42 ms avec u(τ) = 0,05 ms.

1. Incertitude-type de type B sur R ≈ Ω (à l’unité)
   $u(R)={\displaystyle \frac{14}{\sqrt{3}}}\approx$ 8 Ω ; on garde 8 Ω.
2. Capacité : C ≈ µF (au centième)
   $C={\displaystyle \frac{\tau }{R}}={\displaystyle \frac{3,42\times {10}^{-3}}{820}}\approx 4,17\times {10}^{-6}$ F, soit 4,17 µF.
3. Incertitude relative sur τ ≈ % (au centième)
   ${\displaystyle \frac{0,05}{3,42}}\approx$ 1,46 % (et ${\displaystyle \frac{8}{820}}\approx 0,98$ % pour $R$).
4. Incertitude-type composée, arrondie par excès au millième : u(C) = µF
   ${\displaystyle \frac{u(C)}{C}}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{0,05}{3,42}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{8}{820}}\right)}^2}\approx 1,76\times {10}^{-2}$, donc $u(C)\approx 0,0733$ µF, arrondie par excès : 0,074 µF (et non 0,073).
5. Écart normalisé à la valeur nominale : z ≈ (au dixième)
   $z={\displaystyle \frac{|4,17-4,3|}{0,074}}\approx$ 1,8 $\le 2$ : la mesure est compatible avec la valeur nominale.
6. En additionnant les incertitudes relatives (méthode fausse) : u(C) ≈ µF (au centième)
   $1,46+0,98\approx 2,44$ %, $u\approx$ 0,10 µF : l’addition surestime l’incertitude, car les deux erreurs, indépendantes, ont peu de chances d’être maximales et de même sens ensemble.
7. Avec cette valeur fausse, z ≈ (au dixième)
   $z\approx$ 1,3 : la conclusion ne change pas ici, mais la méthode masquerait une incompatibilité dans d’autres cas.

Quel paramètre du condensateur varie avec la grandeur mesurée ? Réponds par S (surface en regard), d (écart) ou εᵣ (permittivité relative).

1. Microphone électrostatique : la membrane vibre devant l’armature fixe →
   La membrane s’approche et s’éloigne : c’est l’écart d qui varie.
2. Capteur d’humidité : un polymère absorbe plus ou moins de vapeur d’eau →
   L’eau absorbée change la permittivité relative du polymère : εᵣ.
3. Capteur de position : une armature glisse parallèlement à l’autre, à écart constant →
   L’écart ne change pas, la partie en regard change : S.
4. Capteur de pression : une membrane se bombe sous la pression →
   La membrane se rapproche de l’armature fixe : d.
5. Remplissage d’une cuve : de l’huile remplace l’air entre deux plaques fixes →
   Les plaques ne bougent pas ; l’isolant entre elles change : εᵣ.
6. Bouton rotatif : deux plaques en demi-disque tournent l’une devant l’autre, à écart constant →
   La rotation change la partie en regard : S.
7. Balance : le plateau, qui porte une armature, s’abaisse vers l’armature fixe sous la charge →
   d diminue quand la masse augmente.
8. Accéléromètre MEMS : les doigts de la masse mobile se rapprochent des doigts fixes →
   La masse se déplace sous l’effet de l’accélération : l’écart d varie.

Questions indépendantes ; ε₀ = 8,85 × 10⁻¹² F·m⁻¹ ; seuil E/2 : t_s = RC ln 2.

1. Capteur de position d’étalonnage C = 12 + 0,90 x (C en pF, x en mm) : pour x = 15 mm, C = pF
   $C=12+0,90\times 15=$ 25,5 pF.
2. Même capteur, on mesure C = 30,0 pF : x = mm
   $x={\displaystyle \frac{30,0-12}{0,90}}=$ 20 mm.
3. Même capteur, plus petite variation de capacité détectable 0,045 pF : résolution = mm
   $\Delta x={\displaystyle \frac{0,045}{0,90}}=$ 0,05 mm.
4. τ = 2,4 µs mesurée à travers R = 100 kΩ : C = pF
   $C={\displaystyle \frac{2,4\times {10}^{-6}}{100\times {10}^3}}=2,4\times {10}^{-11}$ F, soit 24 pF.
5. R = 1,0 MΩ, C = 15 pF, seuil E/2 : t_s ≈ µs (au dixième)
   $\tau =15$ µs et $t_s=\tau \ln 2\approx$ 10,4 µs.
6. Seuil 2,0 V sous E = 3,3 V, τ = 10 µs : t_s ≈ µs (au dixième)
   $t_s=10\ln \left({\displaystyle \frac{3,3}{3,3-2,0}}\right)\approx$ 9,3 µs.
7. Un doigt ajoute 4,0 pF à une touche chargée à travers 1,0 MΩ (seuil E/2) : t_s augmente de ≈ µs (au dixième)
   $\Delta t_s=R\Delta C\ln 2=1,0\times {10}^6\times 4,0\times {10}^{-12}\times \ln 2\approx$ 2,8 µs, quelle que soit la capacité de la touche.
8. Chronomètre au 0,1 µs, R = 1,0 MΩ, seuil E/2 : plus petite variation de C détectable ≈ pF (au centième)
   $\Delta C={\displaystyle \frac{\Delta t}{R\ln 2}}={\displaystyle \frac{0,1\times {10}^{-6}}{1,0\times {10}^6\times \ln 2}}\approx$ 0,14 pF.
9. Capteur de pression : l’écart passe de 50 µm à 40 µm ; C est multipliée par
   ${\displaystyle \frac{50}{40}}=$ 1,25.
10. Capteur de remplissage : vide, C = 40 pF ; plein d’huile d’εᵣ = 2,2 : C = pF
    L’huile remplace l’air partout : $C=2,2\times 40=$ 88 pF.

Capteur d’humidité : C = 180 + 0,60 H (C en pF, H humidité relative en %), mesurée par la constante de temps de sa charge à travers R = 100 kΩ ; chronomètre au 0,1 µs.

1. On mesure τ = 21,6 µs : C = pF
   $C={\displaystyle \frac{\tau }{R}}={\displaystyle \frac{21,6\times {10}^{-6}}{1,00\times {10}^5}}=2,16\times {10}^{-10}$ F, soit 216 pF.
2. Humidité relative : H = %
   $H={\displaystyle \frac{216-180}{0,60}}=$ 60 %.
3. Par temps sec, H = 25 % : τ = µs
   $C=180+0,60\times 25=195$ pF, $\tau =100\times {10}^3\times 195\times {10}^{-12}=$ 19,5 µs.
4. Variation de τ pour 1 % d’humidité : µs
   $\Delta C=0,60$ pF donc $\Delta \tau =100\times {10}^3\times 0,60\times {10}^{-12}=6,0\times {10}^{-8}$ s, soit 0,060 µs.
5. Résolution de la chaîne en humidité ≈ % (au dixième)
   La plus petite durée distinguée, 0,1 µs, correspond à ${\displaystyle \frac{0,1}{0,060}}\approx$ 1,7 % d’humidité.
6. Avec R = 1,0 MΩ, résolution ≈ % (au centième)
   $\tau$ est dix fois plus grande pour une même capacité : ${\displaystyle \frac{0,1}{0,60}}\approx$ 0,17 %.
7. Avec R = 100 kΩ, durée pour atteindre le seuil E/2 à H = 60 % ≈ µs (au dixième)
   $t_s=\tau \ln 2=21,6\times \ln 2\approx$ 15,0 µs.