Dynamique d’un système électrique : condensateur et circuit RC

Rappel de première. En régime continu, l’intensité est un débit de charges constant : $I={\displaystyle \frac{Q}{\Delta t}}$, avec $Q$ en coulombs (C), $\Delta t$ en secondes et $I$ en ampères (Circuits électriques : charges, puissance et énergie).

Intensité en régime variable. Quand le débit de charges change au cours du temps, l’intensité est le débit instantané : si la charge $q$ qui s’est accumulée passe de $q$ à $q+dq$ pendant $dt$,

$i(t)={\displaystyle \frac{dq}{dt}}$

C’est la dérivée de $q(t)$ : sur la courbe de $q$ en fonction de $t$, l’intensité à une date est le coefficient directeur de la tangente. Un débit constant redonne $q=It$.

Comportement capacitif. Un dipôle a un comportement capacitif quand des charges de signes opposés s’accumulent sur deux surfaces conductrices en regard, séparées par un isolant. On le rencontre dans des situations variées : le nuage d’orage et le sol, la membrane d’une cellule (charges opposées de part et d’autre, environ 1 µF par cm² de membrane), le doigt posé sur un écran tactile et l’électrode placée sous le verre, deux pistes voisines d’un circuit imprimé.

Modèle du condensateur. Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Quand on le charge, l’armature A porte la charge $q_A=q$ et l’armature B la charge $q_B=-q$ : le condensateur, dans son ensemble, reste neutre. La charge $q$ est proportionnelle à la tension $u_C=u_{AB}$ :

$q=C{u}_{C}q\text{ en C},C\text{ en farads (F)},u_C\text{ en V}$

La capacité $C$, positive, ne dépend que du condensateur (géométrie, isolant), pas de la tension appliquée. Ordres de grandeur : quelques picofarads (1 pF $={10}^{-12}$ F) pour un capteur ou deux pistes voisines ; du nanofarad (1 nF $={10}^{-9}$ F) au microfarad (1 µF $={10}^{-6}$ F) pour les composants usuels ; quelques millifarads pour le filtrage d’une alimentation ; jusqu’à des milliers de farads pour les supercondensateurs.

Convention récepteur. On oriente $i$ vers l’armature A et l’on flèche $u_C$ vers A. Les charges qui arrivent sur A par le fil font varier $q$ : $i={\displaystyle \frac{dq}{dt}}$, donc, $C$ étant constante,

$i=C{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}$

Tester le comportement capacitif. On alimente le dipôle, initialement déchargé, par un générateur de courant d’intensité constante $I$ et l’on enregistre la tension (carte d’acquisition, microcontrôleur). Pour un condensateur, $q=It$ donc $u_C={\displaystyle \frac{I}{C}}t$ : la tension est proportionnelle au temps, alors qu’elle serait constante ($u=RI$) pour un conducteur ohmique. Le coefficient directeur donne la capacité : $C={\displaystyle \frac{I\Delta t}{\Delta u_C}}$.

Le condensateur plan. Deux armatures planes et parallèles, de surface en regard $S$, distantes de $d$ et séparées par un isolant, forment un condensateur plan. Sa capacité (expression donnée dans les sujets) vaut :

$C={\displaystyle \frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}}$

${\epsilon }_0=8,85\times {10}^{-12}$ F·m⁻¹ est la permittivité du vide ; ${\epsilon }_r$, sans unité, est la permittivité relative de l’isolant (${\epsilon }_r\approx 1,0$ pour l’air, de 2 à 10 environ pour les plastiques et le verre, plus de 1 000 pour certaines céramiques à base de titanate de baryum) ; $S$ en m², $d$ en m.

Effet de la géométrie. La capacité augmente quand la surface en regard augmente, quand l’écart diminue, et quand on remplace l’air par un isolant de plus grande permittivité relative. C’est ce qu’on illustre avec un microcontrôleur ou un multimètre capacimètre : en rapprochant deux plaques, ou en glissant une feuille de plastique entre elles, la capacité affichée augmente.

Raisonner par proportionnalité. $C$ est proportionnelle à $S$ et à ${\epsilon }_r$, inversement proportionnelle à $d$ : diviser $d$ par 3 multiplie $C$ par 3 ; doubler $S$ et $d$ ensemble ne change rien.

Pourquoi les grandes capacités sont difficiles à obtenir. Avec de l’air et $d=1,0$ mm, une capacité de 1,0 F demanderait $S={\displaystyle \frac{Cd}{{\epsilon }_0}}\approx 1,1\times {10}^8$ m², plus de cent kilomètres carrés. Les supercondensateurs y parviennent dans un petit volume grâce à des électrodes de carbone très poreuses (plusieurs milliers de m² par gramme) et à une séparation de l’ordre du nanomètre.

Le circuit RC série. Une source idéale de tension $E$, un conducteur ohmique de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ sont en série. Interrupteur en position 1, la source charge le condensateur ; en position 2, la source est mise hors circuit et le condensateur se décharge dans $R$ (partie suivante).

Établir l’équation différentielle (démonstration exigible). Le condensateur est déchargé ; on bascule en position 1 à $t=0$. Loi des mailles : $E=u_R+u_C$. Loi d’Ohm, $u_R=Ri$ ; condensateur en convention récepteur, $i=C{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}$. D’où

$RC{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}+u_C=E$

La résoudre. On pose $\tau =RC$ ; l’équation s’écrit ${\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}=-{\displaystyle \frac{1}{\tau }}{u}_C+{\displaystyle \frac{E}{\tau }}$, de la forme $y\prime =ay+b$ avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{\tau }}$ et $b={\displaystyle \frac{E}{\tau }}$. Ses solutions sont $u_C(t)=A{e}^{-t/\tau }+E$, où $E=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ est la solution constante et $A$ une constante (Équations différentielles, en mathématiques). La tension aux bornes d’un condensateur est continue (elle ne peut pas sauter, sinon $i$ serait infinie) : $u_C(0)=0$, donc $A+E=0$, $A=-E$ et

$u_C(t)=E(1-e^{-t/\tau })\tau =RC$

L’intensité. $i=C{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}={\displaystyle \frac{E}{R}}{e}^{-t/\tau }$ : elle vaut ${\displaystyle \frac{E}{R}}$ à la fermeture (toute la tension est alors aux bornes de $R$), puis décroît vers 0.

Deux régimes. Pendant le régime transitoire, $u_C$ et $i$ évoluent. Au régime stationnaire (permanent), $u_C=E$ et $i=0$ : le condensateur chargé se comporte comme un interrupteur ouvert. Valeurs repères : $u_C$ atteint 63 % de $E$ à $t=\tau$, 95 % à $3\tau$, plus de 99 % à $5\tau$ ; on considère la charge terminée au bout de $5\tau$.

Date à laquelle $u_C$ atteint une valeur $u$. De $e^{-t/\tau }=1-{\displaystyle \frac{u}{E}}={\displaystyle \frac{E-u}{E}}$, on tire $t=\tau \ln \left({\displaystyle \frac{E}{E-u}}\right)$.

Équation de la décharge. Le condensateur, chargé sous $U_0$, est relié à $t=0$ au seul conducteur ohmique (position 2). Loi des mailles sans générateur : $u_R+u_C=0$, avec $u_R=Ri$ et $i=C{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}$ (mêmes orientations qu’à la charge) :

$RC{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}+u_C=0$

Solution. Ici $b=0$ : $u_C(t)=A{e}^{-t/\tau }$, et la continuité impose $u_C(0)=U_0$, donc

$u_C(t)=U_0{e}^{-t/\tau }\tau =RC$

L’intensité est négative. $i=C{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}=-{\displaystyle \frac{U_0}{R}}{e}^{-t/\tau }$ : le courant circule dans le sens opposé à celui de la charge, l’armature A perd ses charges. Sa valeur absolue est maximale, ${\displaystyle \frac{U_0}{R}}$, au début de la décharge.

Repères. $u_C$ ne vaut plus que 37 % de $U_0$ à $t=\tau$ ($e^{-1}\approx 0,37$), 5 % à $3\tau$, moins de 1 % à $5\tau$. La tension atteint la valeur $u$ à la date $t=\tau \ln \left({\displaystyle \frac{U_0}{u}}\right)$.

Énergie stockée. Un condensateur chargé sous la tension $u$ stocke l’énergie $ℰ={\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}^2$ (expression donnée dans les sujets ; $ℰ$ en J). Pendant la décharge, cette énergie est dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique. Comme elle varie comme $u^2$, il n’en reste que $e^{-2}\approx 14$ % à $t=\tau$. Un condensateur sert ainsi de réservoir : chargé lentement à travers une grande résistance, il restitue son énergie en un temps très court dans une petite résistance (flash, défibrillateur).

τ est une durée. $R={\displaystyle \frac{u}{i}}$ s’exprime en V·A⁻¹ et $C={\displaystyle \frac{q}{u}}={\displaystyle \frac{it}{u}}$ en A·s·V⁻¹ : le produit $RC$ s’exprime en secondes (1 Ω × 1 F = 1 s). Doubler $R$ ou $C$ double $\tau$.

Lire τ sur un enregistrement. Charge : $\tau$ est la date où $u_C=0,63E$, avec $E$ la valeur finale ; décharge : la date où $u_C=0,37U_0$. Autre méthode : la tangente à l’origine coupe l’asymptote ($u=E$ pour la charge, l’axe des temps pour la décharge) à la date $\tau$ ; son coefficient directeur vaut ${\displaystyle \frac{E}{\tau }}$ pour la charge, $-{\displaystyle \frac{U_0}{\tau }}$ pour la décharge.

Mesurer τ. On enregistre $u_C(t)$ avec une carte d’acquisition, un microcontrôleur ou un oscilloscope. Avec un générateur de signaux créneaux (alternativement $E$ et 0), chaque demi-période doit durer au moins $5\tau$ pour voir la charge et la décharge complètes. Pour une décharge, $\ln \left({\displaystyle \frac{u_C}{U_0}}\right)=-{\displaystyle \frac{t}{\tau }}$ : les points $\left(t;\ln \left({\displaystyle \frac{u_C}{U_0}}\right)\right)$ sont alignés sur une droite passant par l’origine de coefficient directeur $-{\displaystyle \frac{1}{\tau }}$. On en déduit $C={\displaystyle \frac{\tau }{R}}$ (ou $R$).

Incertitude de type A. Pour $n$ mesures indépendantes de $\tau$, de moyenne ${\tau }_{\text{moy}}$ et d’écart-type expérimental $s_{n-1}$ : $u({\tau }_{\text{moy}})={\displaystyle \frac{s_{n-1}}{\sqrt{n}}}$.

Incertitude de type B. Pour une mesure unique : lecture sur une graduation de pas $g$, $u={\displaystyle \frac{g}{\sqrt{12}}}$ ; tolérance du constructeur $\pm \Delta$, $u={\displaystyle \frac{\Delta }{\sqrt{3}}}$.

Incertitude-type composée (formule fournie). Pour un quotient comme $C={\displaystyle \frac{\tau }{R}}$ : ${\displaystyle \frac{u(C)}{C}}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{u(\tau )}{\tau }}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{u(R)}{R}}\right)}^2}$. On arrondit $u$ par excès à un ou deux chiffres significatifs, puis la valeur à la même décimale.

Comparer à une référence. Écart normalisé $z={\displaystyle \frac{|C-C_{\text{réf}}|}{u(C)}}$ : la mesure est jugée compatible avec la référence si $z\le 2$.

Simuler les incertitudes composées (Python). Le programme tire au hasard, selon une loi normale, 100 000 couples de valeurs de $\tau$ et de $R$ compatibles avec leurs incertitudes-types, calcule chaque fois ${\displaystyle \frac{\tau }{R}}$ et affiche la moyenne et l’écart-type des valeurs obtenues : cet écart-type est une estimation de $u(C)$.

import random, statistics
tau, u_tau = 10.30e-3, 0.06e-3   # en s
R, u_R = 22.0e3, 0.2e3           # en ohms
C = []
for k in range(100000):
    t = random.gauss(tau, u_tau)
    r = random.gauss(R, u_R)
    C.append(t / r)
print(statistics.mean(C), statistics.stdev(C))

Principe. Un capteur capacitif est un condensateur dont la capacité $C={\displaystyle \frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}}$ varie avec la grandeur à mesurer, par l’un des trois paramètres :

• la surface en regard $S$ : capteur de position ou de déplacement, une armature glissant devant l’autre ;
• l’écart $d$ : capteur de pression ou de force (membrane qui se déforme), microphone électrostatique (membrane qui vibre devant une armature fixe), accéléromètre MEMS (une masse mobile munie de « doigts » qui se déplacent entre des doigts fixes) ;
• la permittivité relative ${\epsilon }_r$ : capteur d’humidité (un polymère absorbe la vapeur d’eau, dont la permittivité relative, voisine de 80, est bien plus grande que la sienne), capteur de niveau ou de remplissage d’une cuve (le liquide remplace l’air entre les armatures).

Sur un écran tactile, une grille d’électrodes transparentes forme de petits condensateurs ; le doigt, conducteur, modifie la capacité au point touché, et la mesure de toutes les capacités de la grille localise l’appui.

Mesurer C avec un microcontrôleur. Le microcontrôleur charge le capteur à travers une résistance $R$ connue sous $E$ et chronomètre la durée $t_s$ pour atteindre une tension seuil $U_s$ : $t_s=RC\ln \left({\displaystyle \frac{E}{E-U_s}}\right)$. Avec le seuil $U_s={\displaystyle \frac{E}{2}}$, $t_s=RC\ln 2$. La durée mesurée est proportionnelle à $C$.

Étalonnage, sensibilité, résolution. On relève $C$ pour des valeurs connues de la grandeur $x$ (courbe d’étalonnage, vue en seconde pour les capteurs résistifs) ; si elle est affine, $C=C_0+kx$, la sensibilité $k$ s’exprime par exemple en pF par cm. La plus petite variation de durée que distingue le chronomètre fixe la plus petite variation de capacité détectable, donc la résolution : $\Delta x_{min}={\displaystyle \frac{\Delta C_{min}}{k}}$. Augmenter $R$ allonge les durées et améliore la résolution.