Ressources · Terminale · Spécialité Physique-Chimie

Dynamique d’un système électrique : condensateur et circuit RC

Modèle du condensateur, q = C u, et condensateur plan ; charge et décharge d’un circuit RC ; constante de temps τ = RC, sa mesure et ses incertitudes ; capteurs capacitifs.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : la lampe de chevet tactile, le flash d’un appareil photographique, le capteur de niveau d’une cuve d’huile, une décharge enregistrée et exploitée par le logarithme et un défibrillateur de démonstration.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais le schéma du circuit pour chaque phase (charge, décharge) et je note les orientations de i et des tensions.
Je convertis toutes les données en unités SI : capacités en farads, résistances en ohms, durées en secondes, surfaces en m².
J’écris la loi des mailles, puis la solution adaptée à la condition initiale (continuité de u_C) ; je calcule τ = RC.
Je chaîne les calculs sans arrondir les valeurs intermédiaires : grandeur → C → τ → tension, date ou énergie (½ C u², donnée).
Je contrôle : u_C entre 0 et E, 63 % à τ, ordre de grandeur des durées, et z ≤ 2 ou non pour conclure sur une mesure.

Problème 1 · La lampe de chevet tactile★★★Facile

Le pied métallique d’une lampe forme avec son environnement un condensateur de capacité

C_{0} = 30

pF. Un microcontrôleur le charge sous

E = 5, 0

V à travers

R = 2, 2

MΩ et chronomètre la durée

t_{s}

nécessaire pour atteindre

\frac{E}{2}

t_{s} = R C \ln 2

. Un doigt posé sur le pied ajoute une capacité de 20 pF ; on admet que les deux capacités s’ajoutent.

1. Constante de temps sans le doigt : τ = µs
$τ = 2, 2 \times 10^{6} \times 30 \times 10^{- 12} = 6, 6 \times 10^{- 5}$ s, soit 66 µs.
2. Durée t_s sans le doigt ≈ µs (au dixième)
$t_{s} = 66 \times \ln 2 \approx$ 45,7 µs.
3. Durée t_s avec le doigt ≈ µs (au dixième)
$C = 50$ pF, $τ = 110$ µs et $t_{s} = 110 \times \ln 2 \approx$ 76,2 µs.
4. Avec le doigt, tension atteinte à la date où, sans doigt, le seuil était atteint ≈ V (au dixième)
$u = 5, 0 \times (1 - e^{- 45, 7 / 110}) \approx$ 1,7 V : le seuil de 2,5 V n’est pas encore atteint, le microcontrôleur détecte le doigt.
5. Le programme allume la lampe si t_s dépasse 60 µs : plus petite capacité ajoutée qui l’allume ≈ pF (au dixième)
$C_{min} = \frac{60 \times 10^{- 6}}{2, 2 \times 10^{6} \times \ln 2} \approx 39, 3$ pF, soit 9,3 pF de plus que $C_{0}$ .
6. Avec R = 4,7 MΩ, écart entre les durées t_s avec et sans le doigt ≈ µs (à l’unité)
$Δ t_{s} = R Δ C \ln 2 = 4, 7 \times 10^{6} \times 20 \times 10^{- 12} \times \ln 2 \approx$ 65 µs (contre 30,5 µs) : une grande résistance rend la détection plus sûre.

Problème 2 · Le flash d’un appareil photographique★★★Moyen

Le flash d’un appareil photographique utilise un condensateur de capacité

C = 150

µF, initialement déchargé, chargé par une source de tension

E = 300

V à travers

R = 10

kΩ. Il est ensuite déchargé dans le tube du flash, de résistance

r = 2, 0

Ω. Énergie stockée :

\frac{1}{2} C u^{2}

1. Constante de temps de la charge : τ = s
$τ = R C = 10 \times 10^{3} \times 150 \times 10^{- 6} =$ 1,5 s.
2. Intensité à la fermeture du circuit de charge : mA
$u_{C} (0) = 0$ : $i (0) = \frac{E}{R} = \frac{300}{10 \times 10^{3}} = 3, 0 \times 10^{- 2}$ A, soit 30 mA.
3. Date à laquelle u_C atteint 95 % de E ≈ s (au dixième)
$e^{- t / τ} = 0, 05$ , $t = τ \ln 20 \approx$ 4,5 s : c’est l’attente entre deux photos au flash, environ $3 τ$ .
4. Énergie stockée en fin de charge = J
$ℰ = \frac{1}{2} \times 150 \times 10^{- 6} \times 300^{2} =$ 6,75 J.
5. Constante de temps de la décharge dans le tube : τ′ = ms
$τ' = r C = 2, 0 \times 150 \times 10^{- 6} = 3, 0 \times 10^{- 4}$ s, soit 0,30 ms.
6. Tension 0,50 ms après le début de la décharge ≈ V (à l’unité)
$u_{C} = 300 e^{- 0, 50 / 0, 30} \approx$ 57 V : en une demi-milliseconde, la tension a perdu plus de 80 % de sa valeur.
7. Puissance moyenne reçue par le tube si l’énergie est restituée en 5τ′ = W
$P = \frac{6, 75}{1, 5 \times 10^{- 3}} =$ 4 500 W, quand la charge, sous 30 mA au plus, demande quelques secondes : le condensateur est un réservoir d’énergie.

Problème 3 · Le capteur de niveau d’une cuve d’huile★★★Moyen

Deux plaques verticales de largeur

ℓ = 6, 0

cm et de hauteur

H = 40, 0

cm, distantes de

d = 4, 0

mm, plongent dans une cuve d’huile de permittivité relative

ε_{r} = 2, 4

(air : 1,0). La hauteur d’huile entre les plaques est

h

. On admet que la partie immergée et la partie émergée sont deux condensateurs plans dont les capacités s’ajoutent, ce qui donne

C (h) = C_{0} (1 + (ε_{r} - 1) \frac{h}{H})

C_{0}

étant la capacité de la cuve vide.

ε_{0} = 8, 85 \times 10^{- 12}

F·m⁻¹.

1. Capacité de la cuve vide : C₀ = pF (au dixième)
$C_{0} = \frac{ε_{0} ℓ H}{d} = \frac{8, 85 \times 10^{- 12} \times 0, 060 \times 0, 400}{4, 0 \times 10^{- 3}} = 5, 31 \times 10^{- 11}$ F, soit 53,1 pF.
2. Sensibilité du capteur ≈ pF·cm⁻¹ (au centième)
$C$ est affine en $h$ , de coefficient $\frac{C_{0} (ε_{r} - 1)}{H} = \frac{53, 1 \times 1, 4}{40, 0} \approx$ 1,86 pF·cm⁻¹.
3. Capacité de la cuve pleine ≈ pF (à l’unité)
$h = H$ : $C = ε_{r} C_{0} = 2, 4 \times 53, 1 \approx$ 127 pF.
4. On mesure τ = 98,6 µs à travers R = 1,00 MΩ : h ≈ cm (au dixième)
$C = \frac{98, 6 \times 10^{- 6}}{1, 00 \times 10^{6}} = 98, 6$ pF ; $h = \frac{98, 6 - 53, 1}{1, 8585} \approx$ 24,5 cm.
5. Chronomètre au 0,2 µs : résolution en hauteur ≈ cm (au centième)
$Δ τ = 0, 2$ µs ↔ $Δ C = 0, 2$ pF, soit $Δ h = \frac{0, 2}{1, 8585} \approx$ 0,11 cm, environ 1 mm.
6. Un autre liquide (εᵣ = 3,1) remplit la cuve sur 16 cm ; le programme n’a pas changé : hauteur affichée = cm
Le programme calcule $h_{aff} = \frac{C - C_{0}}{C_{0}} \times \frac{H}{1, 4}$ alors que $\frac{C - C_{0}}{C_{0}} = 2, 1 \frac{h}{H}$ : $h_{aff} = \frac{2, 1}{1, 4} h = 1, 5 \times 16 =$ 24 cm. Il faut réétalonner pour chaque liquide.

Problème 4 · Une décharge enregistrée★★★Difficile

Un condensateur de capacité

C = 1, 5

µF, chargé sous

U_{0} = 8, 0

V, se décharge à

t = 0

dans un conducteur ohmique de résistance

R

inconnue. Relevés, dans l’ordre des dates :

t

(ms) : 0 ; 5,0 ; 10,0 ; 15,0 ; 25,0 ; 40,0

u_{C}

(V) : 8,00 ; 5,27 ; 3,48 ; 2,29 ; 1,00 ; 0,29

1. Loi des mailles pendant la décharge, avec i = C du_C/dt : RC du_C/dt + u_C =
Sans générateur, $u_{R} + u_{C} = 0$ avec $u_{R} = R i = R C \frac{d u_{C}}{d t}$ : 0. Solution vérifiant $u_{C} (0) = U_{0}$ : $u_{C} = U_{0} e^{- t / τ}$ .
2. Tension attendue à t = τ ≈ V (au centième)
$u_{C} (τ) = U_{0} e^{- 1} \approx$ 2,94 V (2,96 V avec 0,37).
3. Par interpolation linéaire entre 10,0 et 15,0 ms : τ ≈ ms (à l’unité)
$τ \approx 10, 0 + 5, 0 \times \frac{3, 48 - 2, 94}{3, 48 - 2, 29} \approx 12, 3$ , soit 12 ms.
4. Résistance : R ≈ kΩ
$R = \frac{τ}{C} = \frac{12 \times 10^{- 3}}{1, 5 \times 10^{- 6}} = 8, 0 \times 10^{3}$ Ω, soit 8,0 kΩ (8,2 kΩ si l’on garde $τ \approx 12, 3$ ms).
5. Valeur de ln(u_C/U₀) à t = 25,0 ms ≈ (au centième)
$\ln (\frac{1, 00}{8, 00}) \approx$ −2,08.
6. Quotient ln(u_C/U₀) ÷ t à cette date ≈ ms⁻¹ (au millième)
$\frac{- 2, 08}{25, 0} \approx$ −0,083 ms⁻¹ ; à 5,0 ms, $\frac{\ln (5, 27 / 8, 00)}{5, 0} \approx - 0, 083$ ms⁻¹ : même valeur, la décroissance est bien exponentielle, de $τ = \frac{1}{0, 083} \approx 12$ ms.
7. Énergie stockée au départ = × 10⁻⁵ J
$ℰ = \frac{1}{2} \times 1, 5 \times 10^{- 6} \times 8, 0^{2} =$ 4,8 × 10⁻⁵ J, dissipée par effet Joule dans $R$ .
8. Date à partir de laquelle u_C < 0,10 V ≈ ms (à l’unité)
$t = τ \ln (\frac{8, 0}{0, 10}) = 12 \ln 80 \approx$ 53 ms, un peu plus de $4 τ$ .
9. Tension prévue par le modèle à t = 30 ms ≈ V (au centième)
$8, 00 e^{- 30 / 12} \approx$ 0,66 V, entre les relevés de 25,0 ms (1,00 V) et de 40,0 ms (0,29 V) : à $2, 5 τ$ , le condensateur n’est toujours pas déchargé.

Problème 5 · Un défibrillateur de démonstration★★★Difficile

Un défibrillateur de démonstration contient un condensateur de 200 µF. Une source de tension idéale de 2,0 kV le charge à travers

R_{c} = 20

kΩ. Pendant le choc, il se décharge dans le thorax du patient, modélisé par un conducteur ohmique de 50 Ω. Énergie stockée :

\frac{1}{2} C u^{2}

1. Constante de temps de la charge = s
$τ_{c} = 20 \times 10^{3} \times 200 \times 10^{- 6} =$ 4,0 s.
2. Durée pour atteindre 95 % de la tension finale ≈ s (à l’unité)
$t = τ_{c} \ln 20 \approx$ 12 s.
3. Charge de l’armature A en fin de charge = C
$q = C E = 200 \times 10^{- 6} \times 2, 0 \times 10^{3} =$ 0,40 C.
4. Énergie stockée en fin de charge = J
$ℰ_{0} = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{- 6} \times (2, 0 \times 10^{3})^{2} =$ 400 J.
5. Constante de temps de la décharge dans le thorax = ms
$τ_{d} = 50 \times 200 \times 10^{- 6} = 1, 0 \times 10^{- 2}$ s, soit 10 ms.
6. Valeur maximale de l’intensité pendant le choc = A
Au début du choc, $| i | = \frac{2, 0 \times 10^{3}}{50} =$ 40 A, quatre cents fois plus qu’au début de la charge ( $\frac{2, 0 \times 10^{3}}{20 \times 10^{3}} = 0, 10$ A).
7. Tension 5,0 ms après le début du choc ≈ V (à l’unité)
$u = 2 000 e^{- 0, 50} \approx$ 1 213 V.
8. Énergie reçue par le thorax pendant ces 5,0 ms ≈ J (à l’unité)
Il reste $\frac{1}{2} C u^{2} = 400 e^{- 1} \approx 147$ J : le thorax a reçu $400 (1 - e^{- 1}) \approx$ 253 J.
9. Durée au bout de laquelle le thorax a reçu 360 J ≈ ms (au dixième)
Il doit rester 40 J : $e^{- 2 t / τ_{d}} = 0, 10$ , donc $t = \frac{τ_{d}}{2} \ln 10 \approx$ 11,5 ms ; l’énergie décroît deux fois plus vite que la tension.

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