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Formulaire : fonctions sinus et cosinus

Parité et périodicité, dérivées, variations et courbes de sinus et cosinus, équations cos x = a et sin x = a, étude d’une fonction trigonométrique ; les formules d’addition en simple rappel.

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Fonctions sinus et cosinus

Fiche tableaux : valeurs, dérivées et équations à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- 1$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

Toujours : $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ , $- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ , $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ .

Angles associés

angle	$- x$	$π - x$	$π + x$	$\frac{π}{2} - x$	$x + 2 π$
$\cos$	$\cos x$	$- \cos x$	$- \cos x$	$\sin x$	$\cos x$
$\sin$	$- \sin x$	$\sin x$	$- \sin x$	$\cos x$	$\sin x$

Exemple : $\cos \frac{4 π}{3} = \cos (π + \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}$ .

Parité et période

Fonction	Parité	Période	Courbe
$\cos$	paire : $\cos (- x) = \cos x$	$2 π$	symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
$\sin$	impaire : $\sin (- x) = - \sin x$	$2 π$	symétrique par rapport à l’origine
$\cos (ω x + φ)$ , $\sin (ω x + φ)$ , $ω > 0$	à étudier	$\frac{2 π}{ω}$	sinusoïde

Exemple : $x \mapsto \sin (\frac{x}{2})$ a pour période $\frac{2 π}{1 / 2} = 4 π$ .

Dérivées et limite

$f (x)$	$f' (x)$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$- \sin x$
$\sin (a x + b)$	$a \cos (a x + b)$
$\cos (a x + b)$	$- a \sin (a x + b)$
$\sin (u (x))$	$u' (x) \cos (u (x))$
$\cos (u (x))$	$- u' (x) \sin (u (x))$

Limite : $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (nombre dérivé de $\sin$ en $0$ ). Exemple : $(\sin (5 x - 2))^{'} = 5 \cos (5 x - 2)$ .

Variations sur [−π ; π]

$x$	$- π$		$0$		$π$
$- \sin x$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
$\cos x$	$- 1$	↗	$1$	↘	$- 1$

$x$	$- π$		$- \frac{π}{2}$		$\frac{π}{2}$		$π$
$\cos x$	$- 1$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$- 1$
$\sin x$	$0$	↘	$- 1$	↗	$1$	↘	$0$

Signes : $\sin x ⩾ 0$ sur $[0; π]$ ; $\cos x ⩾ 0$ sur $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

Résoudre cos x = a et sin x = a

Équation	Solutions dans $ℝ$ ( $k \in ℤ$ )
$\cos x = a$ , $a < - 1$ ou $a > 1$	aucune
$\cos x = \cos α$	$x = α + 2 k π$ ou $x = - α + 2 k π$
$\sin x = \sin α$	$x = α + 2 k π$ ou $x = π - α + 2 k π$
$\cos x = 1$ ; $\cos x = - 1$	$x = 2 k π$ ; $x = π + 2 k π$
$\cos x = 0$	$x = \frac{π}{2} + k π$
$\sin x = 1$ ; $\sin x = - 1$	$x = \frac{π}{2} + 2 k π$ ; $x = - \frac{π}{2} + 2 k π$
$\sin x = 0$	$x = k π$
$\cos x ⩾ \cos α$ sur $[- π; π]$ , $α \in [0; π]$	$x \in [- α; α]$
$\cos x ⩽ \cos α$ sur $[- π; π]$ , $α \in [0; π]$	$x \in [- π; - α] \cup [α; π]$

Exemple : sur $[0; 2 π [$ , $\cos x = 0$ a pour solutions $\frac{π}{2}$ et $\frac{3 π}{2}$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision des fonctions sinus et cosinus en tableaux : valeurs remarquables de 0 à π, angles associés, parité et période, dérivées de sin(ax + b) et cos(u), variations sur [−π ; π] et solutions des équations cos x = a et sin x = a. Elle se télécharge en PDF pour réviser avant un devoir surveillé.

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