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Trigonométrie — formules d'addition et fonctions
Formules d'addition, fonctions cosinus, sinus, tangente et leurs propriétés (programme de Terminale Spécialité Mathématiques)
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Trigonométrie — formules d'addition et fonctions » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : cercle trigonométrique et valeurs remarquables, Formules d'addition pour cosinus et sinus, Formules de duplication, Fonctions cosinus et sinus : parité, périodicité, variations. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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Rappels : cercle trigonométrique et valeurs remarquables
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. Pour tout réel $x$, le point $M$ associé à $x$ sur le cercle a pour coordonnées $(\ cos x,\ \sin x)$. On a donc toujours :
Identité fondamentale. Pour tout réel $x$ :
$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$
$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$
Les valeurs remarquables à connaître parfaitement :
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
Astuce mémo. Pour retrouver les valeurs : écris $\sqrt{0}/2,\ \sqrt{1}/2,\ \sqrt{2}/2,\ \sqrt{3}/2,\ \sqrt{4}/2$ pour $\sin 0, \sin\frac{\pi}{6}, \sin\frac{\pi}{4}, \sin\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{2}$.
Le cercle trigonométrique d'équation $x^2+y^2=1$, représentation de $\cos$ et $\sin$.
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Formules d'addition pour cosinus et sinus
Les formules d'addition permettent d'exprimer $\cos(a+b)$, $\sin(a+b)$, etc. à partir de $\cos a$, $\sin a$, $\cos b$, $\sin b$.
Formules d'addition. Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$$
$$\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$$
$$\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$$
$$\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$$
$$\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$$
$$\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$$
$$\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$$
$$\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$$
Attention ! $\cos(a+b) \neq \cos a + \cos b$ et $\sin(a+b) \neq \sin a + \sin b$. Ne jamais « distribuer » cosinus ou sinus sur une somme.
Exemple. Calculer $\cos\frac{7\pi}{12}$ exactement.
On écrit $\frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi}{12}+\frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}$.
$$\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$
On écrit $\frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi}{12}+\frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}$.
$$\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$
On en déduit également des formules pour $\cos$ et $\sin$ en $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $2\pi$ :
| Formule | Résultat |
|---|---|
| $\cos(\pi - x)$ | $-\cos x$ |
| $\cos(\pi + x)$ | $-\cos x$ |
| $\sin(\pi - x)$ | $\sin x$ |
| $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ | $\sin x$ |
| $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ | $\cos x$ |
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Formules de duplication
En posant $a = b$ dans les formules d'addition, on obtient les formules de duplication.
Formules de duplication. Pour tout réel $a$ :
$$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$$
$$\sin(2a) = 2\sin a\cos a$$
$$\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1-\tan^2 a} \quad (a \neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2})$$
$$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$$
$$\sin(2a) = 2\sin a\cos a$$
$$\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1-\tan^2 a} \quad (a \neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2})$$
Astuce. Les trois formes de $\cos(2a)$ sont toutes utiles :
- $2\cos^2 a - 1$ pour exprimer $\cos^2 a = \frac{1+\cos(2a)}{2}$ (linéarisation).
- $1 - 2\sin^2 a$ pour exprimer $\sin^2 a = \frac{1-\cos(2a)}{2}$ (linéarisation).
Exemple. Calculer $\sin\frac{\pi}{8}$ exactement.
On sait que $\frac{\pi}{8}$ est un angle du deuxième octant donc $\sin\frac{\pi}{8} \gt 0$. On utilise :
$$\cos\frac{\pi}{4} = 1 - 2\sin^2\frac{\pi}{8} \implies \sin^2\frac{\pi}{8}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$$
$$\sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$
On sait que $\frac{\pi}{8}$ est un angle du deuxième octant donc $\sin\frac{\pi}{8} \gt 0$. On utilise :
$$\cos\frac{\pi}{4} = 1 - 2\sin^2\frac{\pi}{8} \implies \sin^2\frac{\pi}{8}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$$
$$\sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$
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Fonctions cosinus et sinus : parité, périodicité, variations
Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont définies sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[-1, 1]$.
Parité.
• $\cos$ est paire : $\forall x \in \mathbb{R},\ \cos(-x) = \cos(x)$.
• $\sin$ est impaire : $\forall x \in \mathbb{R},\ \sin(-x) = -\sin(x)$.
• $\cos$ est paire : $\forall x \in \mathbb{R},\ \cos(-x) = \cos(x)$.
• $\sin$ est impaire : $\forall x \in \mathbb{R},\ \sin(-x) = -\sin(x)$.
Périodicité. $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques : $\forall x,\ \cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$.
Variations sur $[0 ; 2\pi]$ :
| Intervalle | $\cos$ | $\sin$ |
|---|---|---|
| $[0;\ \pi]$ | décroissante de $1$ à $-1$ | croissante de $0$ à $1$ puis décroissante jusqu'à $0$ |
| $[\pi;\ 2\pi]$ | croissante de $-1$ à $1$ | décroissante de $0$ à $-1$ puis croissante jusqu'à $0$ |
Représentations graphiques de $\cos$ (bleu) et $\sin$ (orange) : on observe la parité/imparité et la période $2\pi$.
Astuce. On peut toujours se ramener à $[0;\ 2\pi]$ grâce à la $2\pi$-périodicité, puis utiliser les symétries de parité pour $[-\pi;\ 0]$.
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Fonction tangente : définition et propriétés
La fonction tangente est définie par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ pour tout $x \notin \left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}$.
Propriétés de tan.
• Domaine : $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$.
• Impaire : $\tan(-x) = -\tan(x)$.
• $\pi$-périodique : $\tan(x+\pi) = \tan(x)$.
• Strictement croissante sur chaque intervalle $\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi;\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right[$.
• $\tan x \to +\infty$ quand $x \to \frac{\pi}{2}^-$ et $\tan x \to -\infty$ quand $x \to -\frac{\pi}{2}^+$ (asymptotes verticales).
• Domaine : $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$.
• Impaire : $\tan(-x) = -\tan(x)$.
• $\pi$-périodique : $\tan(x+\pi) = \tan(x)$.
• Strictement croissante sur chaque intervalle $\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi;\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right[$.
• $\tan x \to +\infty$ quand $x \to \frac{\pi}{2}^-$ et $\tan x \to -\infty$ quand $x \to -\frac{\pi}{2}^+$ (asymptotes verticales).
Formule d'addition pour tan. Pour $a, b$ où les expressions sont définies :
$$\tan(a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a\tan b}$$
$$\tan(a-b)=\frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a\tan b}$$
$$\tan(a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a\tan b}$$
$$\tan(a-b)=\frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a\tan b}$$
Exemple. $\tan\frac{7\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \dfrac{(1+\sqrt{3})^2}{(1-3)} = -(2+\sqrt{3})$.
Attention ! La fonction $\tan$ n'est pas définie en $\frac{\pi}{2} + k\pi$ : il faut toujours vérifier que l'angle appartient au domaine de définition.
La tangente est croissante et non bornée sur $\left]-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right[$, avec asymptotes verticales aux bords.
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Dérivées des fonctions trigonométriques
La dérivation des fonctions trigonométriques est fondamentale pour l'étude de fonctions en Terminale.
Dérivées usuelles.
$$\cos'(x) = -\sin(x)$$
$$\sin'(x) = \cos(x)$$
$$\tan'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
$$\cos'(x) = -\sin(x)$$
$$\sin'(x) = \cos(x)$$
$$\tan'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
Règle de la chaîne. Pour $f(x) = \cos(u(x))$ :
$$f'(x) = -u'(x)\sin(u(x))$$
De même pour $\sin(u(x))$ : $f'(x) = u'(x)\cos(u(x))$.
$$f'(x) = -u'(x)\sin(u(x))$$
De même pour $\sin(u(x))$ : $f'(x) = u'(x)\cos(u(x))$.
Exemples.
• $f(x) = \sin(3x+1) \implies f'(x)=3\cos(3x+1)$.
• $g(x)=\cos(x^2) \implies g'(x)=-2x\sin(x^2)$.
• $h(x)=\tan(2x) \implies h'(x)=\dfrac{2}{\cos^2(2x)}$.
• $f(x) = \sin(3x+1) \implies f'(x)=3\cos(3x+1)$.
• $g(x)=\cos(x^2) \implies g'(x)=-2x\sin(x^2)$.
• $h(x)=\tan(2x) \implies h'(x)=\dfrac{2}{\cos^2(2x)}$.
Attention ! La dérivée de $\cos$ introduit un signe $-$, celle de $\sin$ garde le même sens. Ne pas confondre les deux.
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Résolution d'équations trigonométriques
Résoudre $\cos x = k$ ou $\sin x = k$ sur $\mathbb{R}$ revient à trouver tous les angles du cercle trigonométrique ayant la valeur $k$ donnée.
Solutions générales.
- $\cos x = \cos \alpha \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
- $\sin x = \sin \alpha \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
- $\tan x = \tan \alpha \iff x = \alpha + k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Exemple 1. Résoudre $\cos x = \frac{1}{2}$.
On sait que $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$, donc :
$$x = \frac{\pi}{3}+2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3}+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.$$
On sait que $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$, donc :
$$x = \frac{\pi}{3}+2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3}+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.$$
Exemple 2. Résoudre $2\sin x - \sqrt{3} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
On sait que $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc :
$$x = \frac{\pi}{3}+2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi = \frac{2\pi}{3}+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.$$
On sait que $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc :
$$x = \frac{\pi}{3}+2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi = \frac{2\pi}{3}+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.$$
Méthode générale.
- Isoler $\cos x$, $\sin x$ ou $\tan x$ (valeur entre $-1$ et $1$ pour cos/sin).
- Identifier l'angle de référence $\alpha$ dans $[0;\ \pi]$ pour cos, dans $[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}]$ pour sin.
- Écrire les deux familles de solutions (ou une seule pour tan).
- Si demandé, sélectionner les solutions sur un intervalle donné.
8
Linéarisation et transformations en somme/produit
La linéarisation consiste à remplacer $\cos^2 x$, $\sin^2 x$ ou leurs produits par des expressions ne contenant que des cosinus et sinus de multiples de $x$ (utile pour le calcul d'intégrales).
Formules de linéarisation.
$$\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} \qquad \sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$$
$$\cos x\sin x = \frac{\sin(2x)}{2}$$
$$\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$$
$$\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} \qquad \sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$$
$$\cos x\sin x = \frac{\sin(2x)}{2}$$
$$\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$$
Formules somme-produit.
$$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$$
$$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$$
$$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$$
$$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$$
$$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$$
$$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$$
Exemple. Linéariser $\sin^2 x\cos x$.
On utilise $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ :
$$\sin^2 x\cos x = \frac{1-\cos(2x)}{2}\cos x = \frac{\cos x}{2} - \frac{\cos(2x)\cos x}{2}$$
Puis $\cos(2x)\cos x = \frac{\cos(3x)+\cos(x)}{2}$ :
$$= \frac{\cos x}{2} - \frac{\cos(3x)+\cos(x)}{4} = \frac{\cos x}{4} - \frac{\cos(3x)}{4}$$
On utilise $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ :
$$\sin^2 x\cos x = \frac{1-\cos(2x)}{2}\cos x = \frac{\cos x}{2} - \frac{\cos(2x)\cos x}{2}$$
Puis $\cos(2x)\cos x = \frac{\cos(3x)+\cos(x)}{2}$ :
$$= \frac{\cos x}{2} - \frac{\cos(3x)+\cos(x)}{4} = \frac{\cos x}{4} - \frac{\cos(3x)}{4}$$
Attention ! Les formules somme-produit s'appliquent quand on veut factoriser une somme. Les formules produit-somme s'appliquent quand on veut développer un produit.
À retenir
- Identité fondamentale : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
- cos(a+b) = $\cos a\cos b - \sin a\sin b$ ; sin(a+b) = $\sin a\cos b + \cos a\sin b$.
- Duplication : $\cos(2a)=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$ ; $\sin(2a)=2\sin a\cos a$.
- Parité : cos est paire, sin et tan sont impaires.
- Périodes : cos et sin sont $2\pi$-périodiques ; tan est $\pi$-périodique.
- Dérivées : $\sin'=\cos$, $\cos'=-\sin$, $\tan'=\frac{1}{\cos^2}$.
- Solutions de cos x = cos α : $x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$.
- Solutions de sin x = sin α : $x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$.
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