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Fonctions sinus et cosinus

Parité et périodicité, dérivées, variations et courbes de sinus et cosinus, équations cos x = a et sin x = a, étude d’une fonction trigonométrique ; les formules d’addition en simple rappel.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de Terminale sur les fonctions sinus et cosinus suit cinq parties : parité et périodicité (avec les valeurs remarquables et les angles associés), dérivées de sin, cos, sin(u) et cos(u), variations et courbes, équations cos x = a et sin x = a avec l’inéquation cos x ≤ a, puis l’étude complète d’une fonction trigonométrique jusqu’à un optimum géométrique. Les formules d’addition y figurent en simple rappel.

Parité et périodicité

Ce qu’il faut savoir

Rappels de 1^re. À tout réel $x$ , l’enroulement de la droite numérique associe un point $M$ du cercle trigonométrique, de coordonnées $(\cos x; \sin x)$ ( $x$ est une mesure en radians). Pour tout réel $x$ : $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ , $- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ et $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ . Au bac, on lit souvent $\cos (x)$ et $\sin (x)$ : c’est la même chose que $\cos x$ et $\sin x$ .

Valeurs remarquables.

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$

Angles associés (symétries du cercle) : $\cos (π - x) = - \cos x$ , $\sin (π - x) = \sin x$ , $\cos (π + x) = - \cos x$ , $\sin (π + x) = - \sin x$ , $\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ , $\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ .

Parité. Pour tout réel $x$ , $\cos (- x) = \cos x$ : la fonction cosinus est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. $\sin (- x) = - \sin x$ : la fonction sinus est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Périodicité. Une fonction $f$ définie sur $ℝ$ est périodique de période $T > 0$ si $f (x + T) = f (x)$ pour tout réel $x$ . Les réels $x$ et $x + 2 π$ repèrent le même point du cercle, donc $\cos (x + 2 π) = \cos x$ et $\sin (x + 2 π) = \sin x$ : sinus et cosinus sont $2 π$ -périodiques. Plus généralement, pour $ω > 0$ , les fonctions $x \mapsto \cos (ω x + φ)$ et $x \mapsto \sin (ω x + φ)$ ont pour période $T = \frac{2 π}{ω}$ .

Conséquence. Une fonction $T$ -périodique s’étudie sur un intervalle de longueur $T$ ; si elle est de plus paire ou impaire, sur la moitié de cet intervalle, par exemple $[0; \frac{T}{2}]$ . On complète ensuite la courbe par symétrie, puis par translations.

Exemples

Valeurs exactes par les angles associés. $\sin \frac{7 π}{6}$ $= \sin (π + \frac{π}{6})$ $= - \sin \frac{π}{6}$ $= - \frac{1}{2}$ ; $\cos \frac{2 π}{3}$ $= \cos (π - \frac{π}{3})$ $= - \cos \frac{π}{3}$ $= - \frac{1}{2}$ ; $\cos (- \frac{9 π}{4})$ $= \cos \frac{9 π}{4}$ $= \cos (\frac{π}{4} + 2 π)$ $= \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Cosinus connaissant le sinus. Si $\sin a = \frac{1}{4}$ et $a \in [0; \frac{π}{2}]$ , alors $\cos^{2} a = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ . Comme $\cos a ⩾ 0$ sur cet intervalle, $\cos a = \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Démontrer une parité. $f (x) = x^{2} \cos x$ est définie sur $ℝ$ , symétrique par rapport à $0$ , et pour tout réel $x$ : $f (- x)$ $= (- x)^{2} \cos (- x)$ $= x^{2} \cos x$ $= f (x)$ . Donc $f$ est paire. De même, $g (x) = x + \sin (3 x)$ vérifie $g (- x)$ $= - x + \sin (- 3 x)$ $= - x - \sin (3 x)$ $= - g (x)$ : $g$ est impaire.

Démontrer une période. $h (x) = \cos (5 x)$ : pour tout réel $x$ , $h (x + \frac{2 π}{5})$ $= \cos (5 x + 2 π)$ $= \cos (5 x)$ $= h (x)$ , donc $h$ est périodique de période $\frac{2 π}{5}$ . Elle est aussi paire, car $h (- x)$ $= \cos (- 5 x)$ $= \cos (5 x)$ $= h (x)$ . On l’étudie donc sur $[0; \frac{π}{5}]$ seulement.

Réflexe — Pour la parité, je vérifie que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$ , puis je calcule $f (- x)$ et je le compare à $f (x)$ et à $- f (x)$ . Pour une période $T$ , je calcule $f (x + T)$ et je fais apparaître « $+ 2 π$ » à l’intérieur du sinus ou du cosinus.

Attention — Une fonction peut n’être ni paire ni impaire : $x \mapsto \sin x + 1$ vaut $2$ en $\frac{π}{2}$ et $0$ en $- \frac{π}{2}$ . Un contre-exemple chiffré suffit pour le prouver. Et $π$ n’est pas une période du sinus : $\sin (x + π) = - \sin x$ .

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Dériver sin et cos

Ce qu’il faut savoir

Dérivées (admis). Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $ℝ$ et, pour tout réel $x$ : $\sin' (x) = \cos x$ et $\cos' (x) = - \sin x$ .

Limite à connaître (conséquence du cours, non exigible comme telle). Le nombre dérivé du sinus en $0$ vaut $\cos 0 = 1$ . C’est la limite du taux d’accroissement $\frac{\sin x - \sin 0}{x - 0}$ , d’où $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . De même, $lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}$ $= \cos' (0)$ $= - \sin 0$ $= 0$ .

Composée, avec la formule $(v \circ u)^{'} = (v' \circ u) \times u'$ . Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ : $(\sin u)^{'} = u' \cos u$ et $(\cos u)^{'} = - u' \sin u$ . En particulier, pour des réels $a$ et $b$ : $(\sin (a x + b))^{'} = a \cos (a x + b)$ et $(\cos (a x + b))^{'}$ $= - a \sin (a x + b)$ .

Tangente. Au point d’abscisse $a$ , la tangente à la courbe de $f$ a pour équation $y = f' (a) (x - a) + f (a)$ .

Exemples

Démonstration : la dérivée du cosinus à partir de celle du sinus. Pour tout réel $x$ , $\cos x = \sin (\frac{π}{2} - x)$ (angles associés). On pose $u (x) = \frac{π}{2} - x$ , donc $u' (x) = - 1$ . Par la dérivée d’une composée : $\cos' (x)$ $= u' (x) \cos (u (x))$ $= - \cos (\frac{π}{2} - x)$ $= - \sin x$ .

Somme et produit. $f (x) = 3 \sin x - 2 \cos x$ : $f' (x) = 3 \cos x + 2 \sin x$ . $g (x) = x^{2} \sin x$ : par la dérivée d’un produit, $g' (x) = 2 x \sin x + x^{2} \cos x$ .

Composées. $h (x) = \cos (3 x)$ : $h' (x) = - 3 \sin (3 x)$ . $k (x) = \sin^{2} x = (\sin x)^{2}$ : avec $(u^{2})^{'} = 2 u' u$ , $k' (x) = 2 \cos x \sin x$ . $m (x) = e^{\cos x}$ : avec $(e^{u})^{'} = u' e^{u}$ , $m' (x) = - \sin x e^{\cos x}$ .

Tangente. À la courbe du cosinus au point d’abscisse $\frac{π}{2}$ : $\cos \frac{π}{2} = 0$ et $\cos' (\frac{π}{2}) = - \sin \frac{π}{2} = - 1$ , d’où $y = - 1 \times (x - \frac{π}{2}) + 0$ , soit $y = - x + \frac{π}{2}$ .

Réflexe — Pour une composée, je repère la fonction « intérieure » $u$ , je calcule $u'$ , puis j’applique $(\sin u)^{'} = u' \cos u$ ou $(\cos u)^{'} = - u' \sin u$ . J’écris la formule avant de remplacer.

Attention — La dérivée de $x \mapsto \cos (3 x)$ est $x \mapsto - 3 \sin (3 x)$ : ni le signe moins ni le facteur $3$ ne s’oublient. Et ces formules supposent l’angle en radians : la calculatrice doit être réglée en radians.

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Variations et courbes de sin et cos

Ce qu’il faut savoir

Variations sur $[- π; π]$ . $\cos' = - \sin$ est positive sur $[- π; 0]$ et négative sur $[0; π]$ ; $\sin' = \cos$ est positive sur $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ et négative sur le reste de $[- π; π]$ .

$x$	$- π$		$0$		$π$
$- \sin x$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
$\cos x$	$- 1$	↗	$1$	↘	$- 1$

$x$	$- π$		$- \frac{π}{2}$		$\frac{π}{2}$		$π$
$\cos x$	$- 1$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$- 1$
$\sin x$	$0$	↘	$- 1$	↗	$1$	↘	$0$

Signes. Sur $[- π; π]$ : $\sin x ⩾ 0 ⟺ x \in [0; π]$ (moitié haute du cercle) et $\cos x ⩾ 0 ⟺ x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ (moitié droite).

Courbes. Ce sont des sinusoïdes : elles oscillent entre $- 1$ et $1$ et se répètent tous les $2 π$ . Pour tout réel $x$ , $\sin x = \cos (x - \frac{π}{2})$ : la courbe du sinus est l’image de celle du cosinus par la translation de $\frac{π}{2}$ vers la droite.

Exemples

Fonction $a + b \cos x$ . $f (x) = 3 - 2 \cos x$ sur $[0; 2 π]$ : $f' (x) = 2 \sin x$ , positive sur $[0; π]$ et négative sur $[π; 2 π]$ . Donc $f$ croît de $f (0) = 1$ à $f (π) = 5$ , puis décroît jusqu’à $f (2 π) = 1$ : son maximum est $5$ , atteint en $π$ , son minimum est $1$ .

Démontrer une inégalité : $\sin x ⩽ x$ pour tout $x ⩾ 0$ . On pose $d (x) = x - \sin x$ sur $[0; + \infty [$ . Alors $d' (x) = 1 - \cos x ⩾ 0$ , car $\cos x ⩽ 1$ : $d$ est croissante. Pour tout $x ⩾ 0$ , $d (x) ⩾ d (0) = 0$ , c’est-à-dire $\sin x ⩽ x$ . Graphiquement, sur $[0; + \infty [$ , la courbe du sinus reste sous la droite d’équation $y = x$ .

Compter des solutions. Sur $[0; 2 π]$ , l’équation $\cos x = 0, 3$ a exactement deux solutions. Le cosinus est continu et strictement décroissant de $1$ à $- 1$ sur $[0; π]$ , puis strictement croissant de $- 1$ à $1$ sur $[π; 2 π]$ ; comme $0, 3$ est compris entre $- 1$ et $1$ , le théorème des valeurs intermédiaires donne une solution unique sur chacun de ces intervalles.

Réflexe — Pour le signe de $\sin x$ ou de $\cos x$ , je lis le cercle : le sinus est l’ordonnée (positif sur la moitié haute), le cosinus l’abscisse (positif sur la moitié droite). Je dresse ensuite le tableau avec les valeurs exactes aux bornes.

Attention — Ni le sinus ni le cosinus n’est monotone sur $ℝ$ : un sens de variation se donne toujours sur un intervalle précis. Et pour $a + b \cos x$ avec $b < 0$ , le maximum est atteint là où $\cos x = - 1$ .

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Équations cos x = a et sin x = a

Ce qu’il faut savoir

Existence. Si $a < - 1$ ou $a > 1$ , les équations $\cos x = a$ et $\sin x = a$ n’ont aucune solution. Si $- 1 ⩽ a ⩽ 1$ , on cherche un réel $α$ tel que $\cos α = a$ (ou $\sin α = a$ ), en général dans le tableau des valeurs remarquables.

Solutions dans $ℝ$ ( $k$ décrit $ℤ$ ) :
$\cos x = \cos α ⟺ x = α + 2 k π$ ou $x = - α + 2 k π$ (une droite verticale coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses) ;
$\sin x = \sin α ⟺ x = α + 2 k π$ ou $x = π - α + 2 k π$ (une droite horizontale coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l’axe des ordonnées).

Cas particuliers. $\cos x = 1 ⟺ x = 2 k π$ ; $\cos x = - 1 ⟺ x = π + 2 k π$ ; $\cos x = 0 ⟺ x = \frac{π}{2} + k π$ ; $\sin x = 0 ⟺ x = k π$ ; $\sin x = 1 ⟺ x = \frac{π}{2} + 2 k π$ ; $\sin x = - 1 ⟺ x = - \frac{π}{2} + 2 k π$ .

Inéquation sur $[- π; π]$ . Si $\cos α = a$ avec $α \in [0; π]$ : $\cos x ⩾ a ⟺ x \in [- α; α]$ (partie droite du cercle) et $\cos x ⩽ a ⟺ x \in [- π; - α] \cup [α; π]$ (partie gauche).

Exemples

Sur un intervalle. Résolvons $2 \cos x + \sqrt{2} = 0$ dans $] - π; π]$ . L’équation équivaut à $\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{3 π}{4}$ , donc $x = \frac{3 π}{4} + 2 k π$ ou $x = - \frac{3 π}{4} + 2 k π$ . Dans $] - π; π]$ , seul $k = 0$ convient dans chaque famille : $S = {- \frac{3 π}{4}; \frac{3 π}{4}}$ .

Avec $\sin (a x + b)$ . Résolvons $\sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[0; π]$ . Comme $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{π}{3}$ : $2 x = \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $2 x = π - \frac{π}{3} + 2 k π = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ , soit $x = \frac{π}{6} + k π$ ou $x = \frac{π}{3} + k π$ . Pour $k = 0$ : $\frac{π}{6}$ et $\frac{π}{3}$ , dans $[0; π]$ ; pour $k = 1$ : $\frac{7 π}{6}$ et $\frac{4 π}{3}$ , trop grands ; pour $k = - 1$ , les valeurs sont négatives. $S = {\frac{π}{6}; \frac{π}{3}}$ .

Second degré en $\cos x$ . Résolvons $2 \cos^{2} x - 3 \cos x + 1 = 0$ sur $[0; 2 π [$ . On pose $X = \cos x$ : $2 X^{2} - 3 X + 1 = 0$ , $Δ = 9 - 8 = 1$ , d’où $X = 1$ ou $X = \frac{1}{2}$ . Puis $\cos x = 1$ donne $x = 0$ , et $\cos x = \frac{1}{2}$ donne $x = \frac{π}{3}$ ou $x = \frac{5 π}{3}$ . $S = {0; \frac{π}{3}; \frac{5 π}{3}}$ .

Inéquation. Sur $[- π; π]$ , $\cos x ⩾ - \frac{1}{2}$ $⟺ x \in [- \frac{2 π}{3}; \frac{2 π}{3}]$ , car $\cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ avec $\frac{2 π}{3} \in [0; π]$ .

Réflexe — Je vérifie $- 1 ⩽ a ⩽ 1$ , je trouve $α$ , j’écris les deux familles avec $+ 2 k π$ , je reviens à $x$ (en divisant aussi $2 k π$ ), puis je teste $k = - 1$ , $0$ , $1$ … et je ne garde que les solutions de l’intervalle demandé. Un dessin du cercle contrôle le résultat.

Attention — « $\cos x = \cos α$ donc $x = α$ » oublie la solution $- α$ et la périodicité. Pour le sinus, la seconde famille est $π - α$ , pas $- α$ . Et pour une équation en $\sin (3 x)$ , diviser par $3$ transforme $2 k π$ en $\frac{2 k π}{3}$ : il y a alors davantage de solutions sur $[0; 2 π [$ .

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Étudier une fonction trigonométrique

Ce qu’il faut savoir

Le programme demande d’étudier une fonction simple construite avec sinus et cosinus pour en trouver les variations ou un optimum, notamment dans un problème de géométrie. La démarche :

1. Réduire l’intervalle d’étude : période, puis parité.
2. Dériver avec les formules du cours, puis factoriser $f' (x)$ .
3. Étudier le signe de chaque facteur : on résout l’équation $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur l’intervalle, puis on lit l’inéquation sur le cercle.
4. Dresser le tableau de variations avec les valeurs exactes et conclure : extremum, optimum, nombre de solutions d’une équation.
5. Compléter la courbe : symétrie (parité), puis translations (période).

Exemples

Une fonction impaire. $f (x) = x - 2 \sin x$ sur $[- π; π]$ . Pour tout $x$ de cet intervalle, $f (- x)$ $= - x - 2 \sin (- x)$ $= - x + 2 \sin x$ $= - f (x)$ : $f$ est impaire, on l’étudie sur $[0; π]$ . $f' (x) = 1 - 2 \cos x$ , et $f' (x) ⩾ 0 ⟺ \cos x ⩽ \frac{1}{2}$ . Sur $[0; π]$ , comme $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ et que le cosinus y décroît, cela équivaut à $x \in [\frac{π}{3}; π]$ . Donc $f$ décroît sur $[0; \frac{π}{3}]$ , de $0$ à $f (\frac{π}{3})$ $= \frac{π}{3} - \sqrt{3} \approx - 0, 685$ , puis croît jusqu’à $f (π) = π$ . Par symétrie par rapport à l’origine : $f$ croît sur $[- π; - \frac{π}{3}]$ , de $- π$ à $\sqrt{3} - \frac{π}{3}$ , puis décroît jusqu’à $f (0) = 0$ .

Un optimum géométrique. Un rectangle est inscrit dans un demi-disque de rayon $1$ : deux sommets sur le diamètre, deux sur le demi-cercle. On note $θ \in [0; \frac{π}{2}]$ l’angle entre le diamètre et le rayon qui joint le centre à un sommet du demi-cercle. Les côtés mesurent $2 \cos θ$ et $\sin θ$ , donc l’aire vaut $A (θ) = 2 \sin θ \cos θ$ . Par la dérivée d’un produit : $A' (θ)$ $= 2 \cos θ \times \cos θ + 2 \sin θ \times (- \sin θ)$ $= 2 (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ)$ . Avec $\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$ : $A' (θ) = 2 (2 \cos^{2} θ - 1)$ . Sur $[0; \frac{π}{2}]$ , $\cos θ ⩾ 0$ , donc $A' (θ) ⩾ 0$ $⟺ \cos^{2} θ ⩾ \frac{1}{2}$ $⟺ \cos θ ⩾ \frac{\sqrt{2}}{2}$ $⟺ θ \in [0; \frac{π}{4}]$ . $A$ croît puis décroît : l’aire est maximale pour $θ = \frac{π}{4}$ et vaut $A (\frac{π}{4})$ $= 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$ $= 1$ .

Réflexe — Je factorise $f' (x)$ avant d’étudier son signe. Pour un facteur comme $1 - 2 \cos x$ , je résous d’abord $\cos x = \frac{1}{2}$ sur l’intervalle, puis je lis l’inéquation sur le cercle. Je donne les extremums en valeur exacte, puis une valeur approchée.

Attention — Un facteur de signe constant peut s’annuler : $1 + \cos x ⩾ 0$ , mais $1 + \cos π = 0$ . Et un optimum se cherche aussi aux bornes de l’intervalle d’étude.

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Pour aller plus loin

Rappel : les formules d’addition. Elles ne sont pas au programme de spécialité ; elles se démontrent en option maths expertes avec les nombres complexes (chapitre Forme trigonométrique et exponentielle). Pour tous réels $a$ et $b$ : $\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ , $\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ , $\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ , $\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ . Avec $b = a$ : $\sin (2 a) = 2 \sin a \cos a$ et $\cos (2 a)$ $= \cos^{2} a - \sin^{2} a$ $= 2 \cos^{2} a - 1$ $= 1 - 2 \sin^{2} a$ . Exemple : $\cos \frac{π}{12}$ $= \cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$ $= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ . En spécialité, un énoncé qui a besoin d’une de ces formules la rappelle.

Cercle trigonométrique, radian, valeurs remarquables : ils sont construits en première, au chapitre Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus.

Dérivée d’une composée : la formule $(v \circ u)^{'} = (v' \circ u) \times u'$ est au chapitre Compléments sur la dérivation : fonctions composées.

Primitives : une primitive de $\cos$ est $\sin$ et une primitive de $\sin$ est $- \cos$ ; leur usage pour les intégrales est traité aux chapitres Primitives et Calcul intégral.

À retenir

$\cos$ est paire, $\sin$ est impaire ; les deux sont $2 π$ -périodiques, et $x \mapsto \cos (ω x + φ)$ a pour période $\frac{2 π}{ω}$ ( $ω > 0$ ).
$\sin' = \cos$ et $\cos' = - \sin$ ; $(\sin u)^{'} = u' \cos u$ et $(\cos u)^{'} = - u' \sin u$ ; $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .
Sur $[- π; π]$ : $\cos$ croît sur $[- π; 0]$ puis décroît sur $[0; π]$ ; $\sin$ croît sur $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ et décroît de part et d’autre.
$\cos x = \cos α ⟺ x = \pm α + 2 k π$ ; $\sin x = \sin α ⟺ x = α + 2 k π$ ou $x = π - α + 2 k π$ ; aucune solution si $a < - 1$ ou $a > 1$ .
Étudier une fonction trigonométrique : réduire l’intervalle, dériver, factoriser, lire le signe sur le cercle, tableau de variations, optimum.

Questions fréquentes

Comment montrer qu’une fonction trigonométrique est paire, impaire ou périodique ?

On vérifie que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, puis on calcule f(−x) avec cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x : si on retrouve f(x), elle est paire ; si on trouve −f(x), elle est impaire. Pour la période, on calcule f(x + T) et on fait apparaître + 2π dans le sinus ou le cosinus ; cos(ωx + φ) et sin(ωx + φ) ont pour période 2π/ω.

Quelle est la dérivée de sin(ax + b) et de cos(ax + b) ?

sin′ = cos et cos′ = −sin. Pour une composée : (sin(ax + b))′ = a cos(ax + b) et (cos(ax + b))′ = −a sin(ax + b) ; plus généralement (sin u)′ = u′ cos u et (cos u)′ = −u′ sin u. Les angles doivent être en radians.

Quelles sont les variations des fonctions sinus et cosinus ?

Sur [−π ; π], le cosinus croît de −1 à 1 sur [−π ; 0], puis décroît de 1 à −1 sur [0 ; π]. Le sinus décroît de 0 à −1 sur [−π ; −π/2], croît de −1 à 1 sur [−π/2 ; π/2], puis décroît de 1 à 0 sur [π/2 ; π]. Les deux courbes sont des sinusoïdes de période 2π.

Comment résoudre cos x = a ou sin x = a ?

Si a < −1 ou a > 1, il n’y a pas de solution. Sinon, on trouve un angle α tel que cos α = a (ou sin α = a). Alors cos x = cos α donne x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ, et sin x = sin α donne x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ, avec k entier. Sur un intervalle, on teste les valeurs de k une à une.

Comment étudier une fonction construite avec sinus et cosinus ?

On réduit l’intervalle d’étude (période, puis parité), on dérive et on factorise f′(x), on étudie le signe de chaque facteur en résolvant une équation cos x = a ou sin x = a puis en lisant le cercle, et on dresse le tableau de variations avec les valeurs exactes. Le maximum ou le minimum se compare aussi aux valeurs aux bornes.

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