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Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Trigonométrie — formules d'addition et fonctions

Formules d'addition, fonctions cosinus, sinus, tangente et leurs propriétés (programme de Terminale Spécialité Mathématiques)

À propos de cette page
Ce QCM sur « Trigonométrie — formules d'addition et fonctions » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : Rappels : cercle trigonométrique et valeurs remarquables, Formules d'addition pour cosinus et sinus, Formules de duplication, Fonctions cosinus et sinus : parité, périodicité, variations. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

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Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. Quelle est la valeur de $\sin\frac{\pi}{6}$ ?

    • A. $\frac{1}{2}$
    • B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
    • C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
    • D. $1$
    Réponse

    A. $\frac{1}{2}$ — $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$, valeur de base du tableau.

  2. La fonction sinus est :

    • A. paire
    • B. impaire
    • C. ni paire ni impaire
    • D. périodique de période $\pi$
    Réponse

    B. impaire — $\sin(-x)=-\sin(x)$ pour tout $x$ : sinus est impaire.

  3. Quelle est la période de la fonction cosinus ?

    • A. $\pi$
    • B. $2\pi$
    • C. $\frac{\pi}{2}$
    • D. $4\pi$
    Réponse

    B. $2\pi$ — $\cos$ est $2\pi$-périodique.

  4. On a $\cos^2 x + \sin^2 x = $ ?

    • A. $0$
    • B. $\cos(2x)$
    • C. $1$
    • D. $2$
    Réponse

    C. $1$ — C'est l'identité trigonométrique fondamentale.

  5. $\tan\frac{\pi}{4}$ est égal à :

    • A. $0$
    • B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
    • C. $\sqrt{3}$
    • D. $1$
    Réponse

    D. $1$ — $\tan\frac{\pi}{4}=\frac{\sin\pi/4}{\cos\pi/4}=1$.

  6. Quelle est la dérivée de $\sin x$ ?

    • A. $-\cos x$
    • B. $\cos x$
    • C. $\sin x$
    • D. $-\sin x$
    Réponse

    B. $\cos x$ — $\sin'(x)=\cos(x)$.

  7. $\cos(0)$ vaut :

    • A. $-1$
    • B. $0$
    • C. $1$
    • D. $\frac{1}{2}$
    Réponse

    C. $1$ — $\cos(0)=1$ (point $(1,0)$ sur le cercle).

  8. Quelle est la période de $\tan x$ ?

    • A. $\frac{\pi}{2}$
    • B. $\pi$
    • C. $2\pi$
    • D. $4\pi$
    Réponse

    B. $\pi$ — $\tan$ est $\pi$-périodique.

  9. $\sin\frac{\pi}{2}$ vaut :

    • A. $0$
    • B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
    • C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
    • D. $1$
    Réponse

    D. $1$ — $\sin\frac{\pi}{2}=1$ (point $(0,1)$ sur le cercle).

  10. La dérivée de $\cos x$ est :

    • A. $\sin x$
    • B. $-\cos x$
    • C. $-\sin x$
    • D. $\cos x$
    Réponse

    C. $-\sin x$ — $\cos'(x)=-\sin(x)$.

  11. $\cos(-x)$ est égal à :

    • A. $-\cos x$
    • B. $\cos x$
    • C. $\sin x$
    • D. $-\sin x$
    Réponse

    B. $\cos x$ — cos est paire : $\cos(-x)=\cos x$.

  12. Le domaine de définition de $\tan x$ exclut :

    • A. les multiples de $\pi$
    • B. $0$
    • C. $\frac{\pi}{2}+k\pi$ pour $k\in\mathbb{Z}$
    • D. les entiers
    Réponse

    C. $\frac{\pi}{2}+k\pi$ pour $k\in\mathbb{Z}$ — $\cos x=0$ interdit : $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.

Niveau moyen — 12 questions

  1. $\cos(a+b)$ est égal à :

    • A. $\cos a\cos b+\sin a\sin b$
    • B. $\cos a\cos b-\sin a\sin b$
    • C. $\sin a\cos b+\cos a\sin b$
    • D. $\cos a+\cos b$
    Réponse

    B. $\cos a\cos b-\sin a\sin b$ — Formule d'addition : $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.

  2. $\sin(2a)$ est égal à :

    • A. $2\cos^2 a-1$
    • B. $\sin^2 a-\cos^2 a$
    • C. $2\sin a\cos a$
    • D. $\cos^2 a-\sin^2 a$
    Réponse

    C. $2\sin a\cos a$ — Duplication : $\sin(2a)=2\sin a\cos a$.

  3. La valeur de $\cos\frac{\pi}{12}$ en sachant que $\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$ est :

    • A. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
    • B. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
    • C. $\frac{\sqrt{3}+1}{4}$
    • D. $\frac{\sqrt{3}-1}{4}$
    Réponse

    B. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ — $\cos(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

  4. $\cos^2 x$ peut se linéariser en :

    • A. $\frac{1+\sin(2x)}{2}$
    • B. $\frac{1-\cos(2x)}{2}$
    • C. $\frac{1+\cos(2x)}{2}$
    • D. $\cos(2x)$
    Réponse

    C. $\frac{1+\cos(2x)}{2}$ — $\cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}$.

  5. La dérivée de $f(x)=\cos(3x)$ est :

    • A. $-\sin(3x)$
    • B. $3\cos(3x)$
    • C. $-3\sin(3x)$
    • D. $3\sin(3x)$
    Réponse

    C. $-3\sin(3x)$ — Règle de la chaîne : $f'(x)=-3\sin(3x)$.

  6. Les solutions de $\cos x=\cos\alpha$ sur $\mathbb{R}$ sont :

    • A. $x=\alpha+k\pi$
    • B. $x=\alpha+2k\pi$ uniquement
    • C. $x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$
    • D. $x=\pi-\alpha+2k\pi$
    Réponse

    C. $x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$ — cos $x=\cos\alpha \Leftrightarrow x=\pm\alpha+2k\pi$.

  7. $\sin^2 x$ se linéarise en :

    • A. $\frac{1+\cos(2x)}{2}$
    • B. $\frac{1-\cos(2x)}{2}$
    • C. $\frac{\cos(2x)}{2}$
    • D. $1-\cos^2 x$
    Réponse

    B. $\frac{1-\cos(2x)}{2}$ — $\sin^2 x=\frac{1-\cos(2x)}{2}$.

  8. La fonction $f(x)=\sin(2x)$ a pour période :

    • A. $2\pi$
    • B. $\pi$
    • C. $\frac{\pi}{2}$
    • D. $4\pi$
    Réponse

    B. $\pi$ — $\sin(2x)$ est $\pi$-périodique car $2(x+\pi)=2x+2\pi$.

  9. $\sin(\pi - x)$ vaut :

    • A. $-\sin x$
    • B. $\cos x$
    • C. $\sin x$
    • D. $-\cos x$
    Réponse

    C. $\sin x$ — Formule : $\sin(\pi-x)=\sin x$.

  10. La dérivée de $\tan x$ vaut :

    • A. $1-\tan^2 x$
    • B. $\frac{1}{\sin^2 x}$
    • C. $\frac{1}{\cos^2 x}$
    • D. $\sin^2 x$
    Réponse

    C. $\frac{1}{\cos^2 x}$ — $\tan'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$.

  11. $\sin(a+b)$ est égal à :

    • A. $\sin a\cos b-\cos a\sin b$
    • B. $\cos a\cos b-\sin a\sin b$
    • C. $\sin a\cos b+\cos a\sin b$
    • D. $\sin a+\sin b$
    Réponse

    C. $\sin a\cos b+\cos a\sin b$ — Formule d'addition : $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.

  12. Résoudre $\sin x=\frac{1}{2}$ sur $[0;2\pi]$ donne :

    • A. $x=\frac{\pi}{6}$ ou $x=\frac{5\pi}{6}$
    • B. $x=\frac{\pi}{3}$ ou $x=\frac{2\pi}{3}$
    • C. $x=\frac{\pi}{6}$ ou $x=\frac{7\pi}{6}$
    • D. $x=\frac{\pi}{3}$ seulement
    Réponse

    A. $x=\frac{\pi}{6}$ ou $x=\frac{5\pi}{6}$ — $\sin x=\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}$, solutions : $\frac{\pi}{6}$ et $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$.

Niveau difficile — 12 questions

  1. L'expression $4\sin^3 x - 3\sin x$ est égale à :

    • A. $\sin(2x)$
    • B. $-\sin(3x)$
    • C. $\cos(3x)$
    • D. $\sin(3x)$
    Réponse

    B. $-\sin(3x)$ — On montre que $\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3 x$, donc $4\sin^3 x-3\sin x=-\sin(3x)$.

  2. La résolution de $\cos(2x)=\cos x$ sur $[0;2\pi]$ donne :

    • A. $x=0$ et $x=\frac{2\pi}{3}$ et $x=\frac{4\pi}{3}$
    • B. $x=0$ et $x=\pi$
    • C. $x=\frac{\pi}{3}$ et $x=\pi$
    • D. $x=0$ et $x=\frac{\pi}{3}$
    Réponse

    A. $x=0$ et $x=\frac{2\pi}{3}$ et $x=\frac{4\pi}{3}$ — $\cos(2x)=\cos x \Rightarrow 2x=\pm x+2k\pi$. Cas 1 : $x=2k\pi$ → $0$. Cas 2 : $3x=2k\pi$ → $\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$.

  3. La dérivée de $f(x)=x^2\cos x$ vaut :

    • A. $2x\cos x + x^2\sin x$
    • B. $2x\cos x - x^2\sin x$
    • C. $2x\sin x - x^2\cos x$
    • D. $-x^2\sin x$
    Réponse

    B. $2x\cos x - x^2\sin x$ — Règle du produit : $f'(x)=2x\cos x+x^2\cdot(-\sin x)=2x\cos x-x^2\sin x$.

  4. $\sin(x+\frac{\pi}{2})$ est égal à :

    • A. $-\sin x$
    • B. $-\cos x$
    • C. $\cos x$
    • D. $\sin x$
    Réponse

    C. $\cos x$ — $\sin(x+\frac{\pi}{2})=\sin x\cos\frac{\pi}{2}+\cos x\sin\frac{\pi}{2}=\cos x$.

  5. La transformation $a\cos x + b\sin x = R\cos(x-\varphi)$ donne $R = $ ?

    • A. $a+b$
    • B. $\sqrt{a^2+b^2}$
    • C. $a^2+b^2$
    • D. $\sqrt{a^2-b^2}$
    Réponse

    B. $\sqrt{a^2+b^2}$ — $R=\sqrt{a^2+b^2}$ par identification (amplitude de la sinusoïde).

  6. L'intégrale $\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,\mathrm{d}x$ vaut :

    • A. $\frac{\pi}{4}$
    • B. $\frac{\pi}{2}$
    • C. $1$
    • D. $\frac{1}{2}$
    Réponse

    A. $\frac{\pi}{4}$ — $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ → $\int_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{4}$.

  7. L'équation $\tan(2x)=\tan(x)$ sur $[0;\pi[$ a pour solutions :

    • A. $x=0$ et $x=\frac{\pi}{3}$
    • B. $x=0$ et $x=\frac{2\pi}{3}$
    • C. $x=0$ seulement
    • D. $x=\frac{\pi}{4}$ et $x=\frac{3\pi}{4}$
    Réponse

    A. $x=0$ et $x=\frac{\pi}{3}$ — $\tan(2x)=\tan x \Rightarrow 2x=x+k\pi \Rightarrow x=k\pi$ (donc 0) ou $\tan(2x)-\tan x=0$ avec la formule d'addition. Solution : $x=0$ et $x=\frac{\pi}{3}$ sur $[0;\pi[$.

  8. $\cos(a-b)+\cos(a+b)$ est égal à :

    • A. $2\cos a\cos b$
    • B. $2\sin a\sin b$
    • C. $2\cos a\sin b$
    • D. $\cos(2a)+\cos(2b)$
    Réponse

    A. $2\cos a\cos b$ — Développement : $\cos(a-b)+\cos(a+b)=(\cos a\cos b+\sin a\sin b)+(\cos a\cos b-\sin a\sin b)=2\cos a\cos b$.

  9. La période minimale de $f(x)=\cos(3x)+\sin(3x)$ est :

    • A. $6\pi$
    • B. $\pi$
    • C. $\frac{2\pi}{3}$
    • D. $2\pi$
    Réponse

    C. $\frac{2\pi}{3}$ — $f(x)=\sqrt{2}\cos(3x-\frac{\pi}{4})$ a pour période $\frac{2\pi}{3}$.

  10. Si $\cos\theta=\frac{2}{3}$ et $\theta\in[0;\pi]$, alors $\sin(2\theta)$ vaut :

    • A. $\frac{4\sqrt{5}}{9}$
    • B. $-\frac{4\sqrt{5}}{9}$
    • C. $\frac{4}{9}$
    • D. $\frac{2\sqrt{5}}{9}$
    Réponse

    A. $\frac{4\sqrt{5}}{9}$ — $\sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\sin(2\theta)=2\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$.

  11. $\cos(a+b)\cdot\cos(a-b)$ simplifié donne :

    • A. $\cos^2 a-\sin^2 b$
    • B. $\cos^2 a\cos^2 b$
    • C. $\cos^2 a+\sin^2 b$
    • D. $\cos(2a)\cos(2b)$
    Réponse

    A. $\cos^2 a-\sin^2 b$ — $(\cos a\cos b-\sin a\sin b)(\cos a\cos b+\sin a\sin b)=\cos^2 a\cos^2 b-\sin^2 a\sin^2 b=\cos^2 a(1-\sin^2 b)-\sin^2 b(1-\cos^2 a)=\cos^2 a-\sin^2 b$.

  12. Le signe de $\cos(\frac{5\pi}{6})$ est :

    • A. positif
    • B. négatif
    • C. nul
    • D. indéterminé
    Réponse

    B. négatif — $\frac{5\pi}{6}\in(\frac{\pi}{2};\pi)$ donc cosinus est négatif dans ce quadrant. En effet $\cos(\frac{5\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

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