Fonctions sinus et cosinus

C. paire et de période 2π — cos(−x) = cos x pour tout réel x : la fonction est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Et cos(x + 2π) = cos x : la période est 2π, et non π, puisque cos(x + π) = −cos x.

D. la fonction cosinus — sin′ = cos, sans signe moins ; c’est la dérivée du cosinus qui vaut −sin. Graphiquement, le sinus croît là où le cosinus est positif.

B. sin x — Ajouter 2π revient à faire un tour complet du cercle trigonométrique : on retombe sur le même point, donc sur le même sinus. C’est la périodicité de période 2π.

A. aucune solution — Pour tout réel x, −1 ≤ cos x ≤ 1, et 1,4 > 1. L’ensemble des solutions est vide : c’est la première chose à vérifier.

D. décroissante de 1 à −1 — Sa dérivée vaut −sin x, négative sur [0 ; π] car le sinus y est positif. La fonction décroît donc, de cos 0 = 1 à cos π = −1, sans changer de sens.

B. −sin x — Le sinus est impair : les points d’angles x et −x sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses, ils ont des ordonnées opposées.

A. 1/2 — Tableau des valeurs remarquables : cos(π/3) = 1/2, tandis que sin(π/3) = √3/2.

C. x ↦ −sin x — cos′ = −sin : le cosinus décroît sur [0 ; π], là où −sin x ≤ 0.

B. deux — sin x = 0 équivaut à x = kπ. Dans [0 ; 2π[ : 0 et π ; la valeur 2π est exclue, l’intervalle étant ouvert à droite.

A. à l’origine du repère — La fonction sinus est impaire (sin(−x) = −sin x) : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. C’est le cosinus, pair, dont la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

D. π — Pour cos(ωx), T = 2π/ω ; ici ω = 2, donc T = π. Vérification : cos(2(x + π)) = cos(2x + 2π) = cos(2x).

C. 1 — C’est la limite du taux d’accroissement du sinus en 0 : elle vaut sin′(0) = cos 0 = 1.

C. −2π/3 et 2π/3 — cos x = −1/2 = cos(2π/3) : x = 2π/3 + 2kπ ou x = −2π/3 + 2kπ (deux familles opposées). Dans ]−π ; π], seul k = 0 convient ; 4π/3 est hors de l’intervalle (c’est −2π/3 + 2π).

C. −4 sin(4x + 1) — (cos(ax + b))′ = −a sin(ax + b) : le signe moins vient de la dérivée du cosinus, le facteur 4 de la dérivée de 4x + 1.

D. 2 — T = 2π/ω avec ω = π : T = 2. Vérification : sin(π(x + 2)) = sin(πx + 2π) = sin(πx).

B. π/5 + 2kπ et 4π/5 + 2kπ — Pour le sinus, la seconde famille est π − α : π − π/5 = 4π/5. Le « −α » sert pour le cosinus, et la période à ajouter est 2kπ, pas kπ.

B. 0,8 — cos² a = 1 − 0,36 = 0,64, et cos a ≥ 0 sur [0 ; π/2] : cos a = 0,8. Le piège 0,4 = 1 − 0,6 oublie les carrés.

D. 3 cos x sin² x — f = u³ avec u = sin : f′ = 3u′u² = 3 cos x sin² x. Il ne faut oublier ni le facteur u′, ni le carré de u.

A. 3π/2 — Le coefficient −3 est négatif : l’expression est maximale quand sin x est minimal, c’est-à-dire sin x = −1, en 3π/2. Le maximum vaut 1 + 3 = 4.

C. 7π/6 et 11π/6 — sin x = sin(−π/6) : x = −π/6 + 2kπ ou x = π + π/6 + 2kπ = 7π/6 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[ : −π/6 + 2π = 11π/6 et 7π/6 ; −π/6 est négatif.

D. x ∈ [−π ; −π/2] ∪ [π/2 ; π] — Le cosinus est l’abscisse du point du cercle : il est négatif ou nul sur la moitié gauche, entre les angles π/2 et π et entre −π et −π/2.

A. impaire — f(−x) = (−x) cos(−x) = −x cos x = −f(x) : produit d’une fonction impaire et d’une fonction paire, f est impaire. Elle n’est pas périodique : f(2π) = 2π alors que f(0) = 0.

B. −2 — La dérivée est x ↦ −2 sin(2x) ; en π/4 : −2 sin(π/2) = −2.

A. ]0 ; π/4[ — Sur ]0 ; π[, sin x > 0 : le signe est celui de √2 cos x − 1, strictement positif quand cos x > √2/2 = cos(π/4), soit x < π/4 car le cosinus décroît sur [0 ; π]. En 0 et en π, sin x = 0 : l’expression est nulle.

D. π — sin(x + π) = −sin x, donc sin²(x + π) = sin² x : π est une période. Aucune période plus petite : sin² ne s’annule qu’aux multiples de π, et une période doit envoyer le zéro 0 sur un autre zéro.

B. 1 — Posons h(x) = cos x − x : h′(x) = −sin x − 1 ≤ 0, nulle seulement en des points isolés, donc h est strictement décroissante sur ℝ. Comme h(0) = 1 > 0 et h(π/2) = −π/2 < 0, il y a exactement une solution.

A. y = x — y = sin′(0)(x − 0) + sin 0, avec sin′(0) = cos 0 = 1 et sin 0 = 0 : y = x. C’est la lecture graphique de la limite de sin(x)/x en 0, égale à 1.

C. 4 — 2x = π/6 + 2kπ ou 2x = 5π/6 + 2kπ, soit x = π/12 + kπ ou x = 5π/12 + kπ. Dans [0 ; 2π[, k = 0 et k = 1 conviennent dans chaque famille : π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12.

C. 5 — Pour x proche de 0, x ≠ 0 : sin(5x)/sin(x) = 5 × [sin(5x)/(5x)] × [x/sin(x)]. Les deux crochets tendent vers 1 : la limite vaut 5.

A. −sin x — x + π/2 = π/2 − (−x), donc cos(x + π/2) = sin(−x) = −sin x. Contrôle en x = π/2 : cos π = −1 = −sin(π/2).

D. croissante sur ℝ — f′(x) = 1 + cos x ≥ 0, nulle seulement en des points isolés (x = π + 2kπ) : f est strictement croissante. Elle n’est ni périodique ni bornée, puisque f(x) ≥ x − 1.

B. [π/6 ; 5π/6] — Le sinus est l’ordonnée : il dépasse 1/2 sur l’arc du haut compris entre les angles π/6 et π − π/6 = 5π/6.

B. 2π — 2π est une période des deux termes. Si T est une période, alors f(T) = f(0) = 0 et f′(T) = f′(0) = 3, soit cos T + 2 cos(2T) = 3 : il faut cos T = 1, donc T multiple de 2π. En particulier π ne convient pas : f(π/2) = 1 mais f(3π/2) = −1.

D. −1/4 — Avec X = cos x ∈ [−1 ; 1], on étudie X² − X, minimal en X = 1/2 (sommet de la parabole) : 1/4 − 1/2 = −1/4. Cette valeur est atteinte pour x = π/3.

A. 4 — Il y en a deux sur [0 ; 2π], une par intervalle de stricte monotonie du cosinus (théorème des valeurs intermédiaires), et, la fonction étant paire, leurs opposées sur [−2π ; 0] : 4 en tout.

C. −2x sin(x²) — (cos u)′ = −u′ sin u avec u(x) = x² et u′(x) = 2x : f′(x) = −2x sin(x²).