Fonctions sinus et cosinus

1. a)${\displaystyle \frac{11\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\pi$ : les deux réels repèrent le même point du cercle. Donc $\cos {\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$ $=\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$ $=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, car le cosinus est pair. (1)
2. b)Le sinus est impair : $\sin (-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})=-\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. Avec $\sin (\pi -x)=\sin x$ : $\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ $=\sin (\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$ $=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. Donc $\sin (-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. (1)
3. c)${\sin }^{2}a=1-{\cos }^{2}a=1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$, donc $\sin a={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$ ou $\sin a=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$ (car $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$). Comme $a\in [-\pi ;0]$, le point associé est sur la moitié basse du cercle, où le sinus est négatif ou nul. Donc $\sin a=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$. (1)
4. d)$ℝ$ est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout réel $x$, comme le sinus est impair : $g(-x)$ $=\sin (-3x)-3\sin (-x)$ $=-\sin (3x)+3\sin x$ $=-g(x)$. Donc $g$ est impaire. Pour tout réel $x$ : $g(x+2\pi )$ $=\sin (3x+6\pi )-3\sin (x+2\pi )$ $=\sin (3x)-3\sin x$ $=g(x)$, car $6\pi =3\times 2\pi$ et le sinus est $2\pi$-périodique. Donc $g$ est $2\pi$-périodique. On l’étudie sur un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[-\pi ;\pi ]$ ; comme elle est impaire, l’étude sur $[0;\pi ]$ suffit : on complète par symétrie par rapport à l’origine, puis par translations de $2\pi$. (1)

Repère — Périodicité pour se ramener à $[-\pi ;\pi ]$, parité pour changer de signe, ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ et l’intervalle pour choisir le signe.

1. a)L’équation équivaut à $\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$. Donc $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2k\pi$ ou $x$ $=\pi -(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+2k\pi$ $={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Dans $[0;2\pi [$ : $k=1$ dans la première famille donne ${\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$ ; $k=0$ dans la seconde donne ${\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$. $S=\left\{{\displaystyle \frac{4\pi }{3}};{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}\right\}$. (1)
2. b)${\displaystyle \frac{1}{2}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, donc $3x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi$ ou $3x=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi ={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2k\pi$, soit $x={\displaystyle \frac{\pi }{18}}+{\displaystyle \frac{2k\pi }{3}}$ ou $x={\displaystyle \frac{5\pi }{18}}+{\displaystyle \frac{2k\pi }{3}}$, $k\in \mathbb{Z}$. Comme ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}={\displaystyle \frac{12\pi }{18}}$, les valeurs $k=0$, $1$, $2$ conviennent dans chaque famille ($k=3$ dépasse $2\pi$) : $S$ $=\left\{{\displaystyle \frac{\pi }{18}};{\displaystyle \frac{5\pi }{18}};{\displaystyle \frac{13\pi }{18}};{\displaystyle \frac{17\pi }{18}};{\displaystyle \frac{25\pi }{18}};{\displaystyle \frac{29\pi }{18}}\right\}$ : six solutions. (1)
3. c)On pose $s=\sin x$ : $2s^2-5s+2=0$, $\Delta =25-16=9$, d’où $s={\displaystyle \frac{5+3}{4}}=2$ ou $s={\displaystyle \frac{5-3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. La valeur $2$ est rejetée car $\sin x⩽1$. Il reste $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ : $S$ $=\{{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi ;{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. (1)
4. d)L’inéquation équivaut à $\cos x<{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, avec ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\in [0;\pi ]$. Sur $[0;\pi ]$, le cosinus est strictement décroissant, donc $\cos x<\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}⟺x>{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ ; par parité, sur $[-\pi ;0]$, cela équivaut à $x<-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. $S$ $=[-\pi ;-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}[\cup \left]{\displaystyle \frac{\pi }{4}};\pi \right]$ (partie gauche du cercle, bornes exclues). (1)

Repère — Deux familles en $+2k\pi$, division de $2k\pi$ par le coefficient de $x$, puis tri des $k$ : c’est là que se perdent les points.

1. a)$ℝ$ est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout réel $x$ : $f(-x)$ $=\sin (-2x)-2\sin (-x)$ $=-\sin (2x)+2\sin x$ $=-f(x)$, car le sinus est impair. Donc $f$ est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. (1)
2. b)$f$ est dérivable sur $ℝ$ et, avec $(\sin (2x){)}^{\prime }=2\cos (2x)$ : $f\prime (x)=2\cos (2x)-2\cos x$. Avec l’égalité admise : $f\prime (x)$ $=2(2{\cos }^{2}x-1)-2\cos x$ $=2(2{\cos }^{2}x-\cos x-1)$. Le trinôme $2X^2-X-1$ a pour racines $X=1$ et $X=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $2X^2-X-1$ $=2(X-1)(X+{\displaystyle \frac{1}{2}})$ $=(2X+1)(X-1)$. Ainsi $f\prime (x)=2(2\cos x+1)(\cos x-1)$. (1)
3. c)Pour tout $x$, $\cos x-1⩽0$, nul seulement en $0$ et $2\pi$ sur $[0;2\pi ]$. Donc $f\prime (x)$ est du signe contraire de $2\cos x+1$. Or $2\cos x+1=0⟺\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, soit $x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ ou $x={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$ sur $[0;2\pi ]$, et $\cos x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ sur $\left[0;{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right[\cup \left]{\displaystyle \frac{4\pi }{3}};2\pi \right]$. Donc $f\prime ⩽0$ sur $\left[0;{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right]$, $f\prime ⩾0$ sur $\left[{\displaystyle \frac{2\pi }{3}};{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right]$, $f\prime ⩽0$ sur $\left[{\displaystyle \frac{4\pi }{3}};2\pi \right]$. Valeurs : $f(0)=0$ ; $f\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$ $=\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-2\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ $=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{3}$ $=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ ; $f\left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right)$ $=\sin {\displaystyle \frac{8\pi }{3}}-2\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{3}$ $={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ ; $f(2\pi )=0$. Tableau : $f$ décroît de $0$ à $-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ sur $\left[0;{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right]$, croît jusqu’à ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ sur $\left[{\displaystyle \frac{2\pi }{3}};{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right]$, puis décroît jusqu’à $0$ sur $\left[{\displaystyle \frac{4\pi }{3}};2\pi \right]$. (1)
4. d)Les candidats au maximum sont $f(0)=0$, $f\left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\approx 2,60$ et $f(2\pi )=0$. Le maximum de $f$ sur $[0;2\pi ]$ vaut donc ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$, atteint en $x={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$. (1)

Repère — Factoriser $f\prime (x)$ en polynôme de $\cos x$, repérer le facteur de signe constant, puis lire l’autre sur le cercle.

1. a)$T(0)=18+6\sin 0=18$ ; $T(6)=18+6\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=18+6=24$ ; $T(18)$ $=18+6\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ $=18-6$ $=12$ (en °C). (1)
2. b)Avec $(\sin (at){)}^{\prime }=a\cos (at)$ et $a={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ : $T\prime (t)$ $=6\times {\displaystyle \frac{\pi }{12}}\cos \left({\displaystyle \frac{\pi t}{12}}\right)$ $={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{\pi t}{12}}\right)$. Comme ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}>0$, $T\prime (t)$ a le signe de $\cos \theta$ avec $\theta ={\displaystyle \frac{\pi t}{12}}\in [0;2\pi ]$ : positif pour $\theta \in \left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]\cup \left[{\displaystyle \frac{3\pi }{2}};2\pi \right]$, soit $t\in [0;6]\cup [18;24]$, et négatif pour $t\in [6;18]$. (1)
3. c)$T$ croît de $18$ à $24$ sur $[0;6]$, décroît jusqu’à $12$ sur $[6;18]$, puis remonte à $T(24)=18+6\sin (2\pi )=18$ sur $[18;24]$. La température maximale est $24$ °C pour $t=6$, soit à 15 h ; la minimale est $12$ °C pour $t=18$, soit à 3 h du matin. (1)
4. d)$T(t)$ $=15$ $⟺6\sin \theta$ $=-3$ $⟺\sin \theta$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $=\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$, avec $\theta ={\displaystyle \frac{\pi t}{12}}\in [0;2\pi ]$. Donc $\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi$ ou $\theta =\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi ={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+2k\pi$. Dans $[0;2\pi ]$ : $\theta ={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$ et $\theta ={\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$. Avec $t={\displaystyle \frac{12\theta }{\pi }}$ : $t=14$ et $t=22$. La température vaut $15$ °C à 23 h ($9+14$) et à 7 h du matin ($9+22-24$). (1)

Repère — Dans un modèle, on pose $\theta =\omega t$, on résout en $\theta$ sur le bon intervalle, puis on revient au temps.

1. a)$k$ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et $k\prime (x)=-\sin x+{\displaystyle \frac{2x}{2}}=x-\sin x$. D’après le résultat admis, $\sin x⩽x$ pour $x⩾0$, donc $k\prime (x)=x-\sin x⩾0$. (1)
2. b)$k\prime ⩾0$ sur $[0;+\infty [$, donc $k$ est croissante sur cet intervalle. Pour tout $x⩾0$ : $k(x)⩾k(0)=\cos 0-1+0=0$. Ainsi $\cos x-1+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}⩾0$, c’est-à-dire $\cos x⩾1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$. (1)
3. c)Soit $x<0$. Alors $-x>0$ et, d’après la question précédente, $\cos (-x)⩾1-{\displaystyle \frac{(-x{)}^2}{2}}$. Or $\cos (-x)=\cos x$ (cosinus pair) et $(-x{)}^2=x^2$ : $\cos x⩾1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$. L’inégalité est donc vraie pour tout réel $x$. (1)
4. d)Avec $x=0,1$ : $1-{\displaystyle \frac{0,01}{2}}$ $=1-0,005$ $=0,995$, donc $\cos (0,1)⩾0,995$. Et $\cos (0,1)⩽1$. D’où $0,995⩽\cos (0,1)⩽1$, encadrement d’amplitude $0,005$ (pour information, $\cos (0,1)\approx 0,99500$). (1)

Repère — Même méthode qu’en exercice ($\cos x⩾1-x$), un cran plus loin. Pour démontrer $A(x)⩾B(x)$, on étudie la différence $A(x)-B(x)$ : signe de sa dérivée, puis valeur au point de départ.