Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Trigonométrie — formules d'addition et fonctions
Formules d'addition, fonctions cosinus, sinus, tangente et leurs propriétés (programme de Terminale Spécialité Mathématiques)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Valeurs exactes et formules d'addition
/ 5 pts- Rappelle les formules d'addition pour $\cos(a+b)$ et $\sin(a+b)$. (1 pt)
- En utilisant la décomposition $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$, calcule la valeur exacte de $\cos\frac{\pi}{12}$. Détaille le calcul. (2 pts)
- Sachant que $\sin a = \frac{5}{13}$ et $a \in \left[0;\ \frac{\pi}{2}\right]$, calcule $\cos a$, puis $\sin(2a)$ et $\cos(2a)$. (2 pts)
Exercice 2 — Dérivation de fonctions trigonométriques
/ 4 pts- Calcule la dérivée de $f(x) = \sin(x^2 + 3)$. (1 pt)
- Calcule la dérivée de $g(x) = \cos^2(3x)$. On pourra écrire $g(x) = [\cos(3x)]^2$. (1,5 pts)
- Calcule la dérivée de $h(x) = x\cos x - \sin x$. (1,5 pts)
Exercice 3 — Résolution d'équations trigonométriques
/ 5 pts- Résous $\cos x = -\frac{1}{2}$ sur $\mathbb{R}$, puis donne les solutions dans $[0;\ 2\pi]$. (2 pts)
- Résous $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ sur $[0;\ 2\pi]$. (Indication : factoriser comme un trinôme en $u=\sin x$.) (3 pts)
Exercice 4 — Linéarisation et intégration
/ 3 pts- Linéarise $\cos^2 x$ (exprime comme combinaison de fonctions en $\cos(2x)$). (1 pt)
- En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x$. (2 pts)
Exercice 5 — Problème de synthèse
/ 3 ptsOn pose $f(x) = \sqrt{3}\cos x + \sin x$.
- Montrer que $f(x) = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$. (1,5 pts)
- En déduire le maximum et le minimum de $f$ sur $[0;\ 2\pi]$, et les valeurs de $x$ où ils sont atteints. (1,5 pts)
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Valeurs exactes et formules d'addition
Corrigé :
1. $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ ; $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.
2. $\cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$
$=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.
3. $\cos a=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$.
$\sin(2a)=2\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{12}{13}=\frac{120}{169}$.
$\cos(2a)=1-2\sin^2 a=1-\frac{50}{169}=\frac{119}{169}$.
Exercice 2 — Dérivation de fonctions trigonométriques
Corrigé :
1. $f'(x)=2x\cos(x^2+3)$. (Règle de la chaîne : dérivée de l'intérieur $\times$ cosinus.)
2. $g(x)=[\cos(3x)]^2$ ; dérivée : $g'(x)=2\cos(3x)\times(-3\sin(3x))=-6\cos(3x)\sin(3x)=-3\sin(6x)$.
3. $h(x)=x\cos x-\sin x$. Produit pour $x\cos x$ : $(x\cos x)'=\cos x - x\sin x$. Donc $h'(x)=(\cos x-x\sin x)-\cos x=-x\sin x$.
Exercice 3 — Résolution d'équations trigonométriques
Corrigé :
1. $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos\frac{2\pi}{3}$, donc $x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Sur $[0;2\pi]$ : $x=\frac{2\pi}{3}$ et $x=2\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$.
2. $2u^2-u-1=0$ avec $u=\sin x$ : discriminant $\Delta=1+8=9$, $u=\frac{1\pm 3}{4}$, donc $u=1$ ou $u=-\frac{1}{2}$.
• $\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}$.
• $\sin x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$ ou $x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$.
Solutions sur $[0;2\pi]$ : $x\in\left\{\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}$.
Exercice 4 — Linéarisation et intégration
Corrigé :
1. $\cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}$ (formule de linéarisation issue de $\cos(2x)=2\cos^2 x-1$).
2. $\int_0^{\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\pi}\frac{1+\cos(2x)}{2}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi}$
$=\frac{\pi}{2}+\frac{\sin(2\pi)}{4}-\left(0+\frac{\sin 0}{4}\right)=\frac{\pi}{2}+0-0=\dfrac{\pi}{2}$.
Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
a) $2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\cos x\cos\frac{\pi}{6}+\sin x\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\right)=\sqrt{3}\cos x+\sin x=f(x)$. ✓
b) Maximum de $f$ : $f_\max=2$ atteint quand $\cos(x-\frac{\pi}{6})=1$, i.e. $x=\frac{\pi}{6}$.
Minimum de $f$ : $f_\min=-2$ atteint quand $\cos(x-\frac{\pi}{6})=-1$, i.e. $x-\frac{\pi}{6}=\pi$, soit $x=\frac{7\pi}{6}$.
Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Trigonométrie — formules d'addition et fonctions » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Valeurs exactes et formules d'addition/ 5 pts
- Exercice 2 — Dérivation de fonctions trigonométriques/ 4 pts
- Exercice 3 — Résolution d'équations trigonométriques/ 5 pts
- Exercice 4 — Linéarisation et intégration/ 3 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse/ 3 pts
Notions évaluées
Rappels : cercle trigonométrique et valeurs remarquables, Formules d'addition pour cosinus et sinus, Formules de duplication, Fonctions cosinus et sinus : parité, périodicité, variations, Fonction tangente : définition et propriétés, Dérivées des fonctions trigonométriques.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Trigonométrie — formules d'addition et fonctions » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Trigonométrie — formules d'addition et fonctions » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit Rappels : cercle trigonométrique et valeurs remarquables, Formules d'addition pour cosinus et sinus, Formules de duplication, Fonctions cosinus et sinus : parité, périodicité, variations.
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