Comment calculer une primitive en terminale ?

On décompose la fonction en somme de termes, puis on reconnaît pour chacun une fonction usuelle (xⁿ, 1/x, eˣ, cos, sin…) ou une forme composée (u'uⁿ, u'/u, u'eᵘ, u'/√u) en ajustant la constante multiplicative. On vérifie toujours le résultat en le dérivant : on doit retrouver la fonction de départ.

Quelle est la différence entre une primitive et une dérivée ?

Dériver F donne F' ; chercher une primitive de f, c'est faire le chemin inverse : trouver F telle que F' = f. Une fonction dérivable a une seule dérivée, mais une fonction continue sur un intervalle a une infinité de primitives.

Pourquoi ajoute-t-on une constante à une primitive ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle : si F est une primitive de f sur un intervalle, F + k en est une aussi pour tout réel k, et ce sont les seules. Une condition du type F(x₀) = y₀ fixe la constante et donne une primitive unique.

Quel est le lien entre primitives et équations différentielles ?

Résoudre l'équation différentielle y' = f sur un intervalle, c'est exactement trouver toutes les primitives de f. Avec une condition initiale y(x₀) = y₀, l'équation admet une unique solution.

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Primitives

Notion de primitive, primitives des fonctions usuelles, primitives de u'uⁿ, u'/u, u'e^u, u'/√u, primitive vérifiant une condition initiale, lien avec les équations différentielles y' = f

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Primitives » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel : qu'est-ce qu'une primitive ?, Primitives des fonctions usuelles, Primitives des formes composées, Condition initiale et équation différentielle y' = f. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel : qu'est-ce qu'une primitive ?

Définition. Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

. On appelle primitive de

f

sur

I

toute fonction

F

dérivable sur

I

telle que, pour tout

x \in I

F^{'} (x) = f (x)

Exemple.

F (x) = x^{3} + 5 x

est une primitive de

f (x) = 3 x^{2} + 5

sur

ℝ

, car

F

est dérivable sur

ℝ

F^{'} (x) = 3 x^{2} + 5

Existence (admise). Toute fonction continue sur un intervalle

I

admet des primitives sur

I

Propriété. Si

F

est une primitive de

f

sur

I

, alors les primitives de

f

sur

I

sont exactement les fonctions

x \mapsto F (x) + k

, où

k

décrit

ℝ

. Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent donc d'une constante.

Démonstration exigible. Pour tout réel $k$ , $(F + k)^{'} = F^{'} = f$ : $F + k$ est une primitive de $f$ sur $I$ . Réciproquement, soit $G$ une primitive de $f$ sur $I$ . La fonction $G - F$ est dérivable sur $I$ et $(G - F)^{'} = G^{'} - F^{'} = f - f = 0$ . Or une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante : il existe un réel $k$ tel que, pour tout $x \in I$ , $G (x) - F (x) = k$ , c'est-à-dire $G (x) = F (x) + k$ .

Lecture graphique. Les courbes des primitives d'une même fonction se déduisent les unes des autres par translation verticale : en une même abscisse, elles ont toutes la même pente

f (x)

Primitives des fonctions usuelles

Chaque ligne se lit dans le tableau des dérivées « à l'envers ». La constante $k$ est sous-entendue.

Fonction $f$	Une primitive $F$	Intervalle
$a$ (constante)	$a x$	$ℝ$
$x^{n}$ , $n \in ℕ$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x^{n}}$ , $n \geq 2$	$- \frac{1}{(n - 1) x^{n - 1}}$	$] - \infty; 0 [$ ou $] 0; + \infty [$
$\frac{1}{x}$	$\ln x$	$] 0; + \infty [$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2 \sqrt{x}$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$ℝ$
$\cos x$	$\sin x$	$ℝ$
$\sin x$	$- \cos x$	$ℝ$

Linéarité. Si

F

G

sont des primitives de

f

g

sur

I

, et

λ

un réel, alors

F + G

est une primitive de

f + g

λ F

une primitive de

λ f

sur

I

Exemple. Sur

] 0; + \infty [

f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 7 - \frac{3}{x^{2}}

a pour primitive

F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 7 x + \frac{3}{x}

. Contrôle :

{(\frac{3}{x})}^{'} = - \frac{3}{x^{2}}

Réflexe. La formule

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

vaut pour tout entier relatif

n \neq - 1

; le cas

n = - 1

, c'est-à-dire

\frac{1}{x}

, donne le logarithme.

Primitives des formes composées

Propriété. Si

u

est dérivable sur

I

et si

v

est dérivable sur un intervalle contenant

u (I)

, alors

v \circ u

est une primitive de

u^{'} \times (v^{'} \circ u)

sur

I

. C'est la dérivée d'une composée lue à l'envers.

Forme de $f$	Une primitive	Condition
$u^{'} u^{n}$ , $n \in ℤ$ , $n \neq - 1$	$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$	$u \neq 0$ si $n < 0$
$\frac{u^{'}}{u^{2}}$	$- \frac{1}{u}$	$u \neq 0$
$\frac{u^{'}}{\sqrt{u}}$	$2 \sqrt{u}$	$u > 0$
$\frac{u^{'}}{u}$	$\ln u$	$u > 0$
$u^{'} e^{u}$	$e^{u}$	aucune
$u^{'} \cos u$ ; $u^{'} \sin u$	$\sin u$ ; $- \cos u$	aucune

Cas affine. Si

F

est une primitive de

f

a \neq 0

, une primitive de

x \mapsto f (a x + b)

est

x \mapsto \frac{1}{a} F (a x + b)

. Par exemple,

\cos (3 x)

a pour primitive

\frac{1}{3} \sin (3 x)

Exemples.
•

f (x) = x (x^{2} + 3)^{4} = \frac{1}{2} \times 2 x (x^{2} + 3)^{4}

: avec

u = x^{2} + 3

F (x) = \frac{1}{2} \times \frac{(x^{2} + 3)^{5}}{5} = \frac{(x^{2} + 3)^{5}}{10}

.
•

g (x) = x e^{x^{2}} = \frac{1}{2} \times 2 x e^{x^{2}}

G (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}}

.
•

h (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1} = 2 \times \frac{2 x}{x^{2} + 1}

avec

x^{2} + 1 > 0

H (x) = 2 \ln (x^{2} + 1)

Condition initiale et équation différentielle y' = f

Propriété (primitive unique). Soit

f

continue sur un intervalle

I

x_{0} \in I

y_{0} \in ℝ

. Il existe une unique primitive

F

f

sur

I

telle que

F (x_{0}) = y_{0}

En effet, les primitives sont les $F + k$ et la condition $F (x_{0}) + k = y_{0}$ impose une seule valeur : $k = y_{0} - F (x_{0})$ .

Équation différentielle $y^{'} = f$ . Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue

y

et ses dérivées. Une solution de

y^{'} = f

sur

I

est une fonction dérivable

y

telle que

y^{'} (x) = f (x)

pour tout

x \in I

: les solutions sont donc exactement les primitives de $f$ . Avec une condition initiale

y (x_{0}) = y_{0}

, la solution est unique.

Exemple. Résolvons

y^{'} = e^{x} + 2 x

sur

ℝ

avec

y (0) = 5

. Les solutions sont

y (x) = e^{x} + x^{2} + k

. Or

y (0) = 1 + k = 5

, donc

k = 4

: la solution est

y (x) = e^{x} + x^{2} + 4

En physique. La vitesse est une primitive de l'accélération, la position une primitive de la vitesse ; les conditions initiales (vitesse et position à

t = 0

) fixent les constantes.

Méthodes

Méthode 1 — Calculer une primitive d'une forme composée

Repérer la fonction « intérieure » $u$ et calculer $u^{'}$ .
Écrire $f$ sous la forme $λ \times$ (forme du tableau), en ajustant la constante $λ$ .
Appliquer la formule et vérifier la condition ( $u > 0$ , $u \neq 0$ …) sur l'intervalle.
Contrôler en dérivant.

Exemple rédigé. Primitive sur

ℝ

f (x) = \frac{5 x}{\sqrt{x^{2} + 7}}

. On pose

u (x) = x^{2} + 7

u^{'} (x) = 2 x

u (x) > 0

. Alors

f = \frac{5}{2} \times \frac{u^{'}}{\sqrt{u}}

, donc

F (x) = \frac{5}{2} \times 2 \sqrt{x^{2} + 7} = 5 \sqrt{x^{2} + 7}

. Contrôle :

F^{'} (x) = 5 \times \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 7}} = f (x)

Méthode 2 — Trouver la primitive vérifiant une condition

Écrire toutes les primitives : $F (x) + k$ .
Traduire la condition $F (x_{0}) + k = y_{0}$ .
Résoudre en $k$ et conclure par l'expression complète.

Exemple rédigé. Primitive

G

g (x) = \frac{1}{2 x - 1}

sur

] \frac{1}{2}; + \infty [

avec

G (1) = 3

. Sur cet intervalle

2 x - 1 > 0

g = \frac{1}{2} \times \frac{u^{'}}{u}

avec

u = 2 x - 1

G (x) = \frac{1}{2} \ln (2 x - 1) + k

. Or

G (1) = \frac{1}{2} \ln 1 + k = k

, donc

k = 3

G (x) = \frac{1}{2} \ln (2 x - 1) + 3

Méthode 3 — Montrer qu'une fonction donnée est une primitive

Justifier que $F$ est dérivable sur $I$ .
Calculer $F^{'} (x)$ (produit, quotient, composée).
Simplifier et conclure : « $F^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x \in I$ ».

Exemple rédigé.

F (x) = (x - 1) e^{x}

est dérivable sur

ℝ

F^{'} (x) = 1 \times e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}

. Donc

F

est une primitive de

x \mapsto x e^{x}

sur

ℝ

Pièges et erreurs classiques

Oublier la constante. « Une primitive » : on en donne une. « Les primitives » : on écrit

F (x) + k

k \in ℝ

Produit. La primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives :

\frac{x^{2}}{2} e^{x}

n'est pas une primitive de

x e^{x}

(sa dérivée vaut

(x + \frac{x^{2}}{2}) e^{x}

Quotient.

\ln (x^{2} + 1)

n'est pas une primitive de

\frac{1}{x^{2} + 1}

: la forme

\frac{u^{'}}{u}

exige que le numérateur soit

u^{'}

à une constante près, ici

2 x

Confusions de formes.

\frac{1}{x^{2}}

a pour primitive

- \frac{1}{x}

, pas

\ln (x^{2})

;

\sin

a pour primitive

- \cos

(attention au signe) ; la formule

\frac{u^{n + 1}}{n + 1}

est interdite pour

n = - 1

Intervalle. Sur

] - \infty; 0 [

\ln x

n'existe pas : une primitive de

\frac{1}{x}

y est

\ln (- x)

. Toujours préciser l'intervalle de travail.

En bref

$F$ primitive de $f$ sur $I$ ⇔ $F^{'} = f$ sur $I$ ; toute fonction continue sur un intervalle a des primitives.
Deux primitives diffèrent d'une constante : les primitives sont les $F + k$ (démonstration exigible).
Formes composées : $u^{'} u^{n} \to \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ , $\frac{u^{'}}{u} \to \ln u$ ( $u > 0$ ), $\frac{u^{'}}{\sqrt{u}} \to 2 \sqrt{u}$ , $u^{'} e^{u} \to e^{u}$ , $u^{'} \cos u \to \sin u$ .
Une condition $F (x_{0}) = y_{0}$ fixe la constante : la primitive est alors unique.
Résoudre $y^{'} = f$ , c'est chercher les primitives de $f$ .
Toujours vérifier en dérivant.

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