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Fiche de révision : fonctions sinus et cosinus

Parité et périodicité, dérivées, variations et courbes de sinus et cosinus, équations cos x = a et sin x = a, étude d’une fonction trigonométrique ; les formules d’addition en simple rappel.

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Fonctions sinus et cosinus

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Analyse · Fonctions sinus et cosinus)

La démarche face à une question de trigonométrie

1. Je place les angles sur le cercle : valeurs remarquables, angles associés, signe du sinus (ordonnée) et du cosinus (abscisse).

2. Je réduis le travail : période ( $f (x + T)$ ), puis parité ( $f (- x)$ ).

3. Je dérive avec $(\sin u)^{'} = u' \cos u$ et $(\cos u)^{'} = - u' \sin u$ , puis je factorise.

4. Je résous les équations et inéquations par le cercle : deux familles en $+ 2 k π$ , puis tri des valeurs de $k$ selon l’intervalle.

5. Je conclus en valeur exacte : tableau de variations, extremum, ensemble des solutions.

Le réflexe — une réponse se donne en valeur exacte (

\frac{π}{3}

\frac{\sqrt{3}}{2}

…) et une famille de solutions s’écrit avec «

k \in ℤ

» : écrire seulement «

x = \frac{π}{3}

» quand on résout dans

ℝ

ne rapporte pas tous les points.

Cas 1 · Parité et période

Réflexe — je calcule f(−x) pour la parité, f(x + T) pour la période, avec T = 2π/ω pour cos(ωx + φ) ou sin(ωx + φ).

Exemple. Questions types : « Montrer que $f$ est impaire », « Montrer que $f$ est périodique de période $T$ », « Sur quel intervalle suffit-il d’étudier $f$ ? ». Exemple : $f (x) = 3 \sin (4 x)$ .

Pour tout réel $x$ : $f (- x)$ $= 3 \sin (- 4 x)$ $= - 3 \sin (4 x)$ $= - f (x)$ , donc $f$ est impaire.

$f (x + \frac{π}{2})$ $= 3 \sin (4 x + 2 π)$ $= 3 \sin (4 x)$ $= f (x)$ : $f$ est périodique de période $\frac{π}{2}$ .

On l’étudie sur $[0; \frac{π}{4}]$ , la moitié d’une période, puis on complète par symétrie par rapport à l’origine et par translations.

Attention — un seul contre-exemple suffit pour prouver qu’une fonction n’est pas paire ; π n’est pas une période de sin.

Cas 2 · Dériver

Réflexe — je repère u, je calcule u′, puis (sin u)′ = u′ cos u et (cos u)′ = −u′ sin u ; pour un produit, (uv)′ = u′v + uv′.

Exemple. Questions types : « Calculer $f' (x)$ », « Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse $a$ ». Exemple : $f (x) = \sin (2 x) \cos x$ , tangente en $0$ .

Produit de $u (x) = \sin (2 x)$ , $u' (x) = 2 \cos (2 x)$ , et de $v (x) = \cos x$ , $v' (x) = - \sin x$ .

$f' (x) = 2 \cos (2 x) \cos x - \sin (2 x) \sin x$ .

$f (0) = 0$ et $f' (0) = 2 \times 1 \times 1 - 0 = 2$ : la tangente a pour équation $y = 2 x$ .

Attention — (cos(ax + b))′ = −a sin(ax + b) : le signe moins et le facteur a.

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Cas 3 · Variations de a + b sin x

Réflexe — je dérive, je lis le signe de sin x ou cos x sur le cercle, je place les valeurs exactes aux bornes.

Exemple. Questions types : « Dresser le tableau de variations de $f$ sur … », « Déterminer le maximum de $f$ ». Exemple : $f (x) = 1 + 2 \sin x$ sur $[- π; π]$ .

$f' (x) = 2 \cos x$ , du signe de $\cos x$ : négative sur $[- π; - \frac{π}{2}]$ , positive sur $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ , négative sur $[\frac{π}{2}; π]$ .

$f$ décroît de $f (- π) = 1$ à $f (- \frac{π}{2}) = - 1$ , croît jusqu’à $f (\frac{π}{2}) = 3$ , puis décroît jusqu’à $f (π) = 1$ .

Maximum $3$ en $\frac{π}{2}$ , minimum $- 1$ en $- \frac{π}{2}$ .

Attention — un sens de variation se donne sur un intervalle, jamais « sur ℝ » pour sin ou cos.

Cas 4 · Résoudre cos x = a ou sin x = a

Réflexe — |a| ≤ 1 ? angle α du tableau ; deux familles avec + 2kπ ; je teste k = −1, 0, 1… pour l’intervalle.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans $ℝ$ », « Résoudre dans $[0; 2 π [$ ». Exemple : $\sqrt{2} \sin x + 1 = 0$ dans $[0; 2 π [$ .

$\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin (- \frac{π}{4})$ .

$x = - \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $x = π + \frac{π}{4} + 2 k π = \frac{5 π}{4} + 2 k π$ .

Dans $[0; 2 π [$ : $k = 1$ dans la première famille donne $\frac{7 π}{4}$ , $k = 0$ dans la seconde donne $\frac{5 π}{4}$ . $S = {\frac{5 π}{4}; \frac{7 π}{4}}$ .

Attention — seconde famille : −α pour le cosinus, π − α pour le sinus.

Cas 5 · Étudier une fonction, trouver un optimum

Réflexe — dériver, factoriser, résoudre l’équation f′(x) = 0 sur l’intervalle, lire le signe sur le cercle, tableau, extremums aux points critiques et aux bornes.

Exemple. Questions types : « Étudier les variations de $g$ », « En déduire la valeur maximale ». Exemple : $g (x) = 2 \cos x + x$ sur $[0; 2 π]$ .

$g' (x) = 1 - 2 \sin x$ , et $g' (x) ⩾ 0 ⟺ \sin x ⩽ \frac{1}{2}$ .

Sur $[0; 2 π]$ , $\sin x = \frac{1}{2}$ pour $x = \frac{π}{6}$ et $x = \frac{5 π}{6}$ ; le sinus dépasse $\frac{1}{2}$ entre les deux. Donc $g$ croît sur $[0; \frac{π}{6}]$ , décroît sur $[\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6}]$ , croît sur $[\frac{5 π}{6}; 2 π]$ .

Maximum local $g (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{π}{6} \approx 2, 256$ ; mais $g (2 π) = 2 + 2 π \approx 8, 283$ est plus grand : le maximum sur $[0; 2 π]$ vaut $2 + 2 π$ , atteint à la borne.

Attention — comparer le maximum local avec les valeurs aux bornes.

Les pièges

La trigonométrie n’est pas linéaire : sin(a + b) ≠ sin a + sin b et cos(2x) ≠ 2 cos x.
cos x = cos α ne donne pas seulement x = α : il y a aussi −α et les + 2kπ.
Pour cos(ax + b) = …, on divise aussi 2kπ par a : les solutions sont plus nombreuses sur un intervalle donné.
cos a = ±√(1 − sin² a) : c’est l’intervalle où se trouve a qui fixe le signe.
Un facteur comme 1 + cos x est positif mais s’annule en π : signe large, pas strict.
Les formules de dérivation supposent des radians : calculatrice en mode radian.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une question de trigonométrie, puis, pour chacun des cinq cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : parité et période de 3 sin(4x), dérivée et tangente, variations de 1 + 2 sin x, équation √2 sin x + 1 = 0 sur [0 ; 2π[, étude de 2 cos x + x. Les valeurs et formules à savoir par cœur sont dans la fiche tableaux.

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