Fonctions sinus et cosinus

Valeurs exactes par les angles associés. Écris une fraction avec « / » (exemple : −3/4).

1. $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}=$
   ${\displaystyle \frac{5\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\pi$, donc $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$ $=\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$ $=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (périodicité, puis parité).
2. $\sin (-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}})=$
   Le sinus est impair : $\sin (-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}})$ $=-\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ $=-\sin (\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$ $=-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. $\cos (7\pi )=$
   $7\pi =\pi +3\times 2\pi$, donc $\cos (7\pi )=\cos \pi =-1$.
4. $\sin {\displaystyle \frac{13\pi }{2}}=$
   ${\displaystyle \frac{13\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+6\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+3\times 2\pi$, donc $\sin {\displaystyle \frac{13\pi }{2}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=1$.

Chaque fonction est définie sur ℝ, ou sur ℝ privé de 0 pour la dernière. Écris paire, impaire ou ni paire ni impaire.

1. $f(x)=x^3+\sin x$ est
   $f(-x)$ $=-x^3+\sin (-x)$ $=-x^3-\sin x$ $=-f(x)$ : $f$ est impaire.
2. $g(x)=\cos (2x)-3$ est
   $g(-x)$ $=\cos (-2x)-3$ $=\cos (2x)-3$ $=g(x)$, car le cosinus est pair : $g$ est paire.
3. $h(x)=\cos x+\sin x$ est
   Contre-exemple : $h\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$ et $h(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=0$. Comme $0\ne \sqrt{2}$ et $0\ne -\sqrt{2}$, $h$ n’est ni paire ni impaire.
4. $k(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$ est
   L’ensemble ${ℝ}^{*}$ est symétrique par rapport à $0$, et $k(-x)$ $={\displaystyle \frac{\sin (-x)}{-x}}$ $={\displaystyle \frac{-\sin x}{-x}}$ $=k(x)$ : $k$ est paire (quotient de deux fonctions impaires).

Donne la plus petite période strictement positive. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. $f(x)=\cos (3x)$ : $T=$
   Pour $\cos (\omega x)$ avec $\omega =3$ : $T={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. Vérification : $f(x+{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$ $=\cos (3x+2\pi )$ $=f(x)$.
2. $f(x)=\sin \left({\displaystyle \frac{x}{4}}\right)$ : $T=$
   $\omega ={\displaystyle \frac{1}{4}}$, donc $T={\displaystyle \frac{2\pi }{1/4}}=8\pi$.
3. $f(x)=5\cos ({\displaystyle \frac{\pi x}{3}}+1)$ : $T=$
   $\omega ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, donc $T=2\pi \times {\displaystyle \frac{3}{\pi }}=6$. La période n’est pas toujours un multiple de $\pi$.
4. Démontrer que $g(x)=2\sin (4x-1)$ est périodique de période ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Nombre de périodes complètes contenues dans $[0;2\pi ]$ :
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ : $g(x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ $=2\sin (4(x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})-1)$ $=2\sin (4x-1+2\pi )$ $=2\sin (4x-1)$ $=g(x)$, car le sinus est $2\pi$-périodique. Donc $g$ est périodique de période ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. L’intervalle $[0;2\pi ]$ a pour longueur $2\pi =4\times {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : il contient $4$ périodes complètes.

Utilise ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$ et l’intervalle pour choisir le signe. Écris une fraction avec « / ».

1. On sait que $\cos a=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ et $a\in [\pi ;2\pi ]$. Justifier le signe de $\sin a$, puis donner $\sin a=$
   Rédaction attendue. On a ${\sin }^{2}a$ $=1-{\cos }^{2}a$ $=1-{\displaystyle \frac{9}{25}}$ $={\displaystyle \frac{16}{25}}$, donc $\sin a={\displaystyle \frac{4}{5}}$ ou $\sin a=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$. Comme $a\in [\pi ;2\pi ]$, le point associé est sur la moitié basse du cercle, où le sinus est négatif ou nul. Donc $\sin a=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$.
2. Avec le même $a$ : $\cos (\pi -a)=$
   Angles associés : $\cos (\pi -a)$ $=-\cos a$ $=-(-{\displaystyle \frac{3}{5}})$ $={\displaystyle \frac{3}{5}}$.
3. Si $\sin b={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $b\in \left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$, alors $\cos b=-{\displaystyle \frac{\sqrt{c}}{3}}$, avec l’entier $c=$
   ${\cos }^{2}b=1-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$. Sur $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$, le cosinus est négatif ou nul : $\cos b=-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$.

Complète par le coefficient (un nombre). Écris une fraction avec « / ».

1. $f(x)=\cos (6x)$ : $f\prime (x)=$ $\sin (6x)$
   $(\cos (ax+b){)}^{\prime }$ $=-a\sin (ax+b)$ avec $a=6$ : $f\prime (x)=-6\sin (6x)$.
2. $f(x)=\sin (-2x+1)$ : $f\prime (x)=$ $\cos (-2x+1)$
   $(\sin (ax+b){)}^{\prime }=a\cos (ax+b)$ avec $a=-2$ : $f\prime (x)=-2\cos (-2x+1)$.
3. $f(x)=3\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$ : $f\prime (x)=$ $\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$
   $f\prime (x)$ $=3\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$ $=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$.
4. $f(x)=-5\sin (4x)$ : $f\prime (x)=$ $\cos (4x)$
   $f\prime (x)$ $=-5\times 4\cos (4x)$ $=-20\cos (4x)$.

Calcule le nombre dérivé (valeur exacte).

1. $f(x)=\sin x+\cos x$ : $f\prime (0)=$
   $f\prime (x)=\cos x-\sin x$, donc $f\prime (0)=1-0=1$.
2. $f(x)=x+\cos x$ : $f\prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=$
   $f\prime (x)=1-\sin x$, donc $f\prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1-1=0$ : la tangente y est horizontale.
3. $f(x)={\cos }^{2}x$ : $f\prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=$
   Avec $(u^2{)}^{\prime }=2u\prime u$ : $f\prime (x)=2\times (-\sin x)\times \cos x=-2\sin x\cos x$. Donc $f\prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$ $=-2\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ $=-1$.

Tangentes. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. Justifier que la tangente à la courbe de $f(x)=\sin (2x)$ au point d’abscisse ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ a pour coefficient directeur
   Rédaction attendue. La fonction $f$ est dérivable sur $ℝ$ et, avec $(\sin (ax+b){)}^{\prime }=a\cos (ax+b)$, $f\prime (x)=2\cos (2x)$. Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ est $f\prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$ $=2\cos \pi$ $=2\times (-1)$ $=-2$.
2. Cette tangente coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée
   $f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=\sin \pi =0$, donc la tangente a pour équation $y=-2(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+0=-2x+\pi$ : son ordonnée à l’origine est $\pi$.
3. $h(x)=e^{\sin x}$ : $h\prime (0)=$
   Avec $(e^u{)}^{\prime }=u\prime e^u$ et $u=\sin$ : $h\prime (x)=\cos x{e}^{\sin x}$, donc $h\prime (0)=1\times e^0=1$.

Limites et taux d’accroissement. Écris une fraction avec « / ».

1. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin (3x)}{x}}=$
   Pour $x\ne 0$ : ${\displaystyle \frac{\sin (3x)}{x}}=3\times {\displaystyle \frac{\sin (3x)}{3x}}$. Quand $x\to 0$, $X=3x\to 0$ et ${\displaystyle \frac{\sin X}{X}}\to 1$ (limite d’une composée). Donc la limite vaut $3\times 1=3$.
2. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{2x}}=$
   ${\displaystyle \frac{\sin x}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 1={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. Démontrer, avec un taux d’accroissement, que ${\displaystyle \frac{\cos x}{x-\frac{\pi }{2}}}$ a une limite finie quand $x$ tend vers ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Cette limite vaut
   Rédaction attendue. Comme $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=0$, pour $x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : ${\displaystyle \frac{\cos x}{x-\frac{\pi }{2}}}={\displaystyle \frac{\cos x-\cos \frac{\pi }{2}}{x-\frac{\pi }{2}}}$. C’est le taux d’accroissement du cosinus entre ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ et $x$. Le cosinus est dérivable en ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, donc ce taux tend vers $\cos \prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=-1$. La limite cherchée vaut $-1$.

Écris croissante ou décroissante, ou un nombre.

1. Sur $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$, la fonction cosinus est
   $\cos \prime (x)=-\sin x⩽0$ sur $[0;\pi ]$, donc le cosinus est décroissant sur $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$ (il passe de $0$ à $-1$).
2. Sur $[\pi ;2\pi ]$, la fonction cosinus est
   Sur $[\pi ;2\pi ]$, $\sin x⩽0$, donc $\cos \prime (x)=-\sin x⩾0$ : le cosinus croît de $-1$ à $1$.
3. Sur $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right]$, la fonction sinus est
   $\sin \prime (x)=\cos x⩽0$ sur $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right]$ (moitié gauche du cercle) : le sinus décroît de $1$ à $-1$.
4. Le maximum du sinus sur $\left[\pi ;{\displaystyle \frac{5\pi }{2}}\right]$ vaut
   ${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi$ appartient à l’intervalle et $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{2}}=1$ ; comme $\sin x⩽1$ toujours, le maximum vaut $1$.

Extremums sur ℝ. Écris une fraction avec « / ».

1. $f(x)=4+3\sin x$ : maximum
   $\sin x⩽1$, donc $f(x)⩽4+3=7$, avec égalité pour $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : le maximum vaut $7$.
2. $g(x)=2-5\cos x$ : minimum
   Le coefficient $-5$ est négatif : $g$ est minimale quand $\cos x$ est maximal, c’est-à-dire $\cos x=1$. Minimum : $2-5=-3$, atteint en $x=0$.
3. $h(x)=-1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos (3x)$ : maximum
   $\cos (3x)⩽1$, avec égalité pour $x=0$ : le maximum vaut $-1+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

On étudie $f(x)=2\sin x-1$ sur $[0;2\pi ]$. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. Justifier que $f$ est croissante sur $\left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$, puis donner son maximum sur $[0;2\pi ]$ :
   Rédaction attendue. $f$ est dérivable sur $[0;2\pi ]$ et $f\prime (x)=2\cos x$. Sur $\left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$, $\cos x⩾0$, donc $f\prime (x)⩾0$ et $f$ est croissante. Sur $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right]$, $\cos x⩽0$ : $f$ décroît ; sur $\left[{\displaystyle \frac{3\pi }{2}};2\pi \right]$, elle croît. Les candidats au maximum sont $f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=2-1=1$ et $f(2\pi )=-1$ : le maximum vaut $1$.
2. Minimum de $f$ sur $[0;2\pi ]$ :
   $f$ décroît jusqu’à ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ puis croît : le minimum est $f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)=2\times (-1)-1=-3$.
3. Abscisse où ce minimum est atteint : $x=$
   Le sinus vaut $-1$ en ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ sur $[0;2\pi ]$ : c’est là que $f$ atteint son minimum.

On pose $g(x)=\cos x-1+x$ sur $[0;+\infty [$. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. Démontrer que $g$ est croissante sur $[0;+\infty [$. La plus petite valeur $x>0$ où $g\prime (x)=0$ est
   Rédaction attendue. $g$ est dérivable et $g\prime (x)=-\sin x+1=1-\sin x$. Comme $\sin x⩽1$ pour tout réel $x$, $g\prime (x)⩾0$ : $g$ est croissante sur $[0;+\infty [$. La dérivée ne s’annule que si $\sin x=1$, c’est-à-dire en des points isolés $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi$ ; la plus petite valeur strictement positive est ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
2. $g(0)=$
   $g(0)=\cos 0-1+0=1-1=0$.
3. On en déduit que $\cos x⩾1-x$ pour $x⩾0$. Minorant obtenu pour $\cos (0,2)$ :
   $g$ est croissante et $g(0)=0$, donc $g(x)⩾0$, soit $\cos x⩾1-x$ pour $x⩾0$. Avec $x=0,2$ : $\cos (0,2)⩾0,8$ (la calculatrice donne $\cos (0,2)\approx 0,980$).

Résoudre sur $[0;2\pi [$. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ : la plus grande solution est
   $\cos x=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ : $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi$ ou $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi$. Dans $[0;2\pi [$ : ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ ($k=0$) et $-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\pi ={\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$ ($k=1$). La plus grande est ${\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$.
2. $\sin x=-1$ : la solution est
   $\sin x=-1⟺x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi$ ; dans $[0;2\pi [$, $k=1$ donne ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$, seule solution.
3. $\sin x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ : la plus grande solution est
   $\sin x=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ : $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2k\pi$ ou $x=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2k\pi ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2k\pi$. Dans $[0;2\pi [$ : ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ et ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.
4. $2\cos x=3$ : nombre de solutions
   L’équation équivaut à $\cos x=1,5$, or $\cos x⩽1$ : aucune solution, $S=\varnothing$.

Solutions dans ℝ ($k\in \mathbb{Z}$) : complète la seconde famille. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. $\cos x=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}⟺x={\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+2k\pi$ ou $x=$ $+2k\pi$
   Pour une équation en cosinus, la seconde famille est $-\alpha +2k\pi$ : ici $-{\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+2k\pi$.
2. $\sin x=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{9}}⟺x={\displaystyle \frac{\pi }{9}}+2k\pi$ ou $x=$ $+2k\pi$
   Pour le sinus, la seconde famille est $\pi -\alpha +2k\pi$ : $\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{9}}={\displaystyle \frac{8\pi }{9}}$.
3. $\cos x=0⟺x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+$ (une seule famille)
   Le cosinus s’annule aux points $(0;1)$ et $(0;-1)$, diamétralement opposés : $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Équations en $ax+b$. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. $\cos (2x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sur $[0;\pi ]$ : la plus grande solution est
   $2x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2k\pi$ ou $2x=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2k\pi$, soit $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi$ ou $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi$. Dans $[0;\pi ]$ : ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ ($k=0$) et ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ ($k=1$ dans la seconde famille).
2. Justifier que $\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=1$ a une seule solution dans $[0;2\pi [$ et la donner :
   Rédaction attendue. $\sin X=1⟺X={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Avec $X=x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ : $x$ $={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2k\pi$ $={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2k\pi$. Pour $k=0$, ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\in [0;2\pi [$ ; pour $k=1$, ${\displaystyle \frac{11\pi }{4}}>2\pi$ ; pour $k=-1$, $-{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}<0$. La seule solution est ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.
3. Nombre de solutions de $\cos (3x)=0$ dans $[0;\pi ]$ :
   $3x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi$, soit $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{3}}$. Dans $[0;\pi ]$ : ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ ($k=0,1,2$) ; $k=3$ donne ${\displaystyle \frac{7\pi }{6}}>\pi$. Trois solutions.

Second degré et inéquations. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. Démontrer que $2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$ équivaut à $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ou $\sin x=-1$. Nombre de solutions dans $[0;2\pi [$ :
   Rédaction attendue. On pose $X=\sin x$ : $2X^2+X-1=0$, de discriminant $\Delta =1+8=9$, d’où $X={\displaystyle \frac{-1+3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ou $X={\displaystyle \frac{-1-3}{4}}=-1$. Les deux valeurs sont dans $[-1;1]$. Dans $[0;2\pi [$ : $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ donne ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ ; $\sin x=-1$ donne ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$. Il y a $3$ solutions.
2. Sur $[-\pi ;\pi ]$, $\cos x⩽{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}⟺x\in [-\pi ;-\alpha ]\cup [\alpha ;\pi ]$ avec $\alpha =$
   $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\in [0;\pi ]$. Le cosinus est inférieur à ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ sur la partie gauche du cercle délimitée par les points d’angles $\pm {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ : $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
3. Sur $[-\pi ;\pi ]$, les solutions de $2\cos x+\sqrt{3}⩾0$ forment l’intervalle $[-\beta ;\beta ]$ avec $\beta =$
   $2\cos x+\sqrt{3}⩾0⟺\cos x⩾-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$, avec ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\in [0;\pi ]$. Donc $x\in [-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}};{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}]$.

Réduire l’intervalle d’étude avec la période PUIS la parité : la fonction est étudiée sur $[0;b]$ avec $b$ le plus petit possible, puis complétée par symétrie et translations. Donne $b$. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. $f(x)=\cos (2x)+2\cos x$ : $b=$
   $f$ est $2\pi$-périodique (chaque terme l’est : $\cos (2x+4\pi )=\cos (2x)$) et paire ($f(-x)=f(x)$). On l’étudie sur la moitié d’une période : $[0;\pi ]$.
2. $g(x)=3\sin (2x)+\sin (4x)$ : $b=$
   $g(x+\pi )$ $=3\sin (2x+2\pi )+\sin (4x+4\pi )$ $=g(x)$ : $g$ est $\pi$-périodique. Elle est impaire : $g(-x)$ $=-3\sin (2x)-\sin (4x)$ $=-g(x)$. On l’étudie sur $\left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$.

Sens de variation sur ℝ : écris croissante ou décroissante.

1. $f(x)=2x-\sin x$ est sur $ℝ$
   $f\prime (x)=2-\cos x⩾2-1=1>0$ : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$.
2. $f(x)=\sin x-x$ est sur $ℝ$
   $f\prime (x)=\cos x-1⩽0$, et $f\prime$ ne s’annule qu’en des points isolés ($x=2k\pi$) : $f$ est (strictement) décroissante sur $ℝ$.

On étudie $f(x)={\sin }^{2}x+\cos x$ sur $[0;\pi ]$. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. Démontrer que $f\prime (x)=\sin x(2\cos x-1)$. Valeur de $f\prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$ :
   Rédaction attendue. $f$ est dérivable sur $[0;\pi ]$. Avec $(u^2{)}^{\prime }=2u\prime u$ et $u=\sin$ : $({\sin }^{2}x{)}^{\prime }=2\cos x\sin x$. Donc $f\prime (x)=2\sin x\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)$. Alors $f\prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1\times (0-1)=-1$.
2. $f$ atteint son maximum sur $[0;\pi ]$ en $x=$
   Sur $[0;\pi ]$, $\sin x⩾0$ : $f\prime (x)$ a le signe de $2\cos x-1$, positif pour $\cos x⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$, soit $x\in \left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right]$. $f$ croît sur $\left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right]$ puis décroît : maximum en ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
3. Valeur de ce maximum :
   $f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$ $={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $={\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{4}}$ $={\displaystyle \frac{5}{4}}$.
4. Minimum de $f$ sur $[0;\pi ]$ :
   Les candidats sont les bornes : $f(0)=0+1=1$ et $f(\pi )=0-1=-1$. Le minimum vaut $-1$, atteint en $\pi$.

Un cône de révolution a une génératrice de longueur $1$ m. On note $\theta \in \left]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right[$ l’angle entre l’axe du cône et une génératrice. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / ».

1. Justifier que le volume s’écrit $V(\theta )=k{\sin }^2\theta \cos \theta$, avec $k=$
   Rédaction attendue. Dans le triangle rectangle formé par l’axe, un rayon de la base et une génératrice (hypoténuse de longueur $1$), le rayon vaut $r=\sin \theta$ et la hauteur $h=\cos \theta$. Le volume d’un cône est $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$, donc $V(\theta )={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\sin }^2\theta \cos \theta$ et $k={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
2. Démontrer que $V\prime (\theta )={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\sin \theta (3{\cos }^2\theta -1)$. La dérivée s’annule sur $\left]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right[$ quand ${\cos }^2\theta =$
   Rédaction attendue. Par la dérivée d’un produit, avec $({\sin }^2\theta {)}^{\prime }=2\cos \theta \sin \theta$ : $V\prime (\theta )$ $={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(2\sin \theta \cos \theta \times \cos \theta +{\sin }^2\theta \times (-\sin \theta ))$ $={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\sin \theta (2{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )$. Avec ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ : $V\prime (\theta )={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\sin \theta (3{\cos }^2\theta -1)$. Sur $\left]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right[$, $\sin \theta >0$, donc $V\prime (\theta )=0⟺{\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
3. Le volume maximal, arrondi au millième de m³, vaut
   Sur $\left]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right[$, $\cos \theta$ décroît de $1$ à $0$ : $3{\cos }^2\theta -1$ est positif puis négatif, donc $V$ croît puis décroît, et le maximum est atteint quand ${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$, soit $\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ et ${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$. Alors $V$ $={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ $={\displaystyle \frac{2\pi }{9\sqrt{3}}}$ $={\displaystyle \frac{2\pi \sqrt{3}}{27}}\approx 0,403$ m³.