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Formulaire : primitives

Notion de primitive et ensemble des primitives, primitives des fonctions usuelles, formes u′uⁿ, u′/u², u′/√u, u′/u, u′eᵘ, u′cos u et u′sin u, primitive vérifiant une condition initiale et équation différentielle y′ = f.

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Primitives

Fiche tableaux : les primitives à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Primitives des fonctions usuelles

Fonction $f$	Une primitive $F$	Sur
$a$ (constante)	$a x$	$ℝ$
$x^{n}$ ( $n ⩾ 1$ )	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x^{2}}$	$- \frac{1}{x}$	$] 0; + \infty [$ ou $] - \infty; 0 [$
$\frac{1}{x^{n}}$ ( $n ⩾ 2$ )	$- \frac{1}{(n - 1) x^{n - 1}}$	$] 0; + \infty [$ ou $] - \infty; 0 [$
$\frac{1}{x}$	$\ln x$	$] 0; + \infty [$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2 \sqrt{x}$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$ℝ$
$\cos x$	$\sin x$	$ℝ$
$\sin x$	$- \cos x$	$ℝ$

Exemple : sur $] 0; + \infty [$ , une primitive de $x^{9} - \frac{2}{x^{4}}$ est $\frac{x^{10}}{10} + \frac{2}{3 x^{3}}$ .

Linéarité et fonctions de ax + b

Fonction	Une primitive
$λ f + μ g$	$λ F + μ G$
$f (a x + b)$ , $a \neq 0$	$\frac{1}{a} F (a x + b)$
$e^{a x + b}$	$\frac{1}{a} e^{a x + b}$
$\cos (a x + b)$	$\frac{1}{a} \sin (a x + b)$
$\sin (a x + b)$	$- \frac{1}{a} \cos (a x + b)$
$(a x + b)^{n}$ , $n \neq - 1$ ( $a x + b \neq 0$ si $n < 0$ )	$\frac{(a x + b)^{n + 1}}{a (n + 1)}$
$\frac{1}{a x + b}$ ( $a x + b > 0$ )	$\frac{1}{a} \ln (a x + b)$

Exemple : une primitive de $e^{3 - x}$ est $- e^{3 - x}$ (ici $a = - 1$ ).

Formes composées

Forme	Une primitive	Condition
$u' u^{n}$ ( $n \neq - 1$ )	$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$	$u \neq 0$ si $n < 0$
$\frac{u'}{u^{2}}$	$- \frac{1}{u}$	$u \neq 0$
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$	$2 \sqrt{u}$	$u > 0$
$\frac{u'}{u}$	$\ln u$	$u > 0$
$u' e^{u}$	$e^{u}$	aucune
$u' \cos u$	$\sin u$	aucune
$u' \sin u$	$- \cos u$	aucune

Exemple : $\frac{x}{x^{2} + 3} = \frac{1}{2} \times \frac{2 x}{x^{2} + 3}$ , de primitive $\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 3)$ , car $x^{2} + 3 > 0$ .

Toutes les primitives, condition initiale, y′ = f

Situation	Résultat
$f$ continue sur un intervalle $I$	$f$ admet des primitives sur $I$
$F$ primitive de $f$ sur $I$	les primitives sont les $F + k$ , $k \in ℝ$
Condition $F (x_{0}) = y_{0}$	une seule primitive : $k = y_{0} - F (x_{0})$
Équation $y' = f$	solutions : les primitives de $f$
Mouvement	$v$ primitive de $a$ , position primitive de $v$

Exemple : la primitive de $2 x$ qui vaut $0$ en $1$ est $x^{2} - 1$ .

Reconnaître la forme

Ce que je vois	Ce que je cherche
une somme de termes usuels	le tableau, terme par terme
une puissance d’une expression $u$	$u'$ en facteur : $u' u^{n}$
une racine $\sqrt{u}$ au dénominateur	$\frac{u'}{\sqrt{u}}$
un quotient, dénominateur au carré	$\frac{u'}{u^{2}}$
un quotient, dénominateur simple	$\frac{u'}{u}$ , avec $u > 0$
une exponentielle $e^{u}$	$u'$ en facteur : $u' e^{u}$
un produit sans $u'$	développer, ou forme imposée et identification

Exemple : $x (x^{2} - 1)^{2}$ est une puissance de $u = x^{2} - 1$ avec $u' = 2 x$ présent à $\frac{1}{2}$ près : une primitive est $\frac{(x^{2} - 1)^{3}}{6}$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision des primitives en tableaux, pour le bac de spécialité maths : primitives des fonctions usuelles avec leur intervalle, linéarité et fonctions de ax + b, formes composées u′uⁿ, u′/u², u′/√u, u′/u, u′eᵘ, u′cos u et u′sin u avec leurs conditions, condition initiale et équation y′ = f, et un tableau pour reconnaître la forme. Elle se télécharge en PDF.

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