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Primitives

Notion de primitive, primitives des fonctions usuelles, primitives de u'uⁿ, u'/u, u'e^u, u'/√u, primitive vérifiant une condition initiale, lien avec les équations différentielles y' = f

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Primitives » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel : qu'est-ce qu'une primitive ?, Primitives des fonctions usuelles, Primitives des formes composées, Condition initiale et équation différentielle y' = f. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Vérifier qu'une fonction est une primitive

Facile

Dans chaque cas, dire si $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle indiqué, en justifiant.

a) $F (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 9$ et $f (x) = 4 x^{3} - 6 x + 2$ sur $ℝ$ .
b) $F (x) = x \ln x - x$ et $f (x) = \ln x$ sur $] 0; + \infty [$ .
c) $F (x) = (2 x + 3) e^{- x}$ et $f (x) = (- 2 x - 1) e^{- x}$ sur $ℝ$ .

Méthode : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et $F^{'} = f$ sur $I$ .

a) $F$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $ℝ$ , et $F^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x + 2 = f (x)$ . $F$ est une primitive de $f$ sur $ℝ$ .

b) $F$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ (produit et somme de fonctions dérivables). Avec $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ : $F^{'} (x) = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$ . $F$ est une primitive de $\ln$ sur $] 0; + \infty [$ .

c) $F = u v$ avec $u (x) = 2 x + 3$ , $u^{'} (x) = 2$ , $v (x) = e^{- x}$ , $v^{'} (x) = - e^{- x}$ . Donc $F^{'} (x) = 2 e^{- x} - (2 x + 3) e^{- x} = (2 - 2 x - 3) e^{- x} = (- 2 x - 1) e^{- x}$ . $F$ est bien une primitive de $f$ sur $ℝ$ .

Exercice 2 — Primitives des fonctions usuelles

Facile

Déterminer une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

a) $f_{1} (x) = 5 x^{4} - 8 x^{3} + x - 11$ sur $ℝ$ .
b) $f_{2} (x) = \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ .
c) $f_{3} (x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - 2 e^{x}$ sur $] 0; + \infty [$ .
d) $f_{4} (x) = 4 \cos x + 7 \sin x$ sur $ℝ$ .

On utilise le tableau des primitives usuelles et la linéarité.

a) Une primitive de $x^{n}$ est $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ : $F_{1} (x) = 5 \times \frac{x^{5}}{5} - 8 \times \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - 11 x$ , soit $F_{1} (x) = x^{5} - 2 x^{4} + \frac{x^{2}}{2} - 11 x$ .

b) Une primitive de $\frac{1}{x^{2}}$ est $- \frac{1}{x}$ et une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ est $\ln x$ : $F_{2} (x) = - \frac{6}{x} + \ln x$ . Contrôle : ${(- \frac{6}{x})}^{'} = \frac{6}{x^{2}}$ .

c) Une primitive de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $] 0; + \infty [$ est $2 \sqrt{x}$ : $F_{3} (x) = 6 \sqrt{x} - 2 e^{x}$ .

d) Une primitive de $\cos$ est $\sin$ , une primitive de $\sin$ est $- \cos$ : $F_{4} (x) = 4 \sin x - 7 \cos x$ . Contrôle : $F_{4}^{'} (x) = 4 \cos x + 7 \sin x$ .

Exercice 3 — Toutes les primitives, puis une seule

Facile

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = 9 x^{2} - 2 x + 1$ .

a) Déterminer toutes les primitives de $f$ sur $ℝ$ .
b) Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $ℝ$ qui prend la valeur $10$ en $2$ .
c) Existe-t-il une primitive de $f$ qui s'annule en $0$ et vaut $1$ en $1$ ? Justifier.

a) Une primitive de $f$ est $x \mapsto 3 x^{3} - x^{2} + x$ . Les primitives de $f$ sur $ℝ$ sont donc les fonctions $x \mapsto 3 x^{3} - x^{2} + x + k$ , $k \in ℝ$ .

b) $F (2) = 3 \times 8 - 4 + 2 + k = 22 + k$ . La condition $F (2) = 10$ donne $k = - 12$ . $F (x) = 3 x^{3} - x^{2} + x - 12$ .

c) Une primitive $G$ de $f$ s'écrit $G (x) = 3 x^{3} - x^{2} + x + k$ . La condition $G (0) = 0$ impose $k = 0$ ; alors $G (1) = 3 - 1 + 1 = 3 \neq 1$ . Aucune primitive ne convient : une seule condition suffit à déterminer la primitive, on ne peut pas en imposer une seconde arbitrairement.

Exercice 4 — La forme u'uⁿ

Moyen

Déterminer une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

a) $f (x) = (4 x + 1)^{3}$ sur $ℝ$ .
b) $g (x) = (2 x - 5) (x^{2} - 5 x + 1)^{3}$ sur $ℝ$ .
c) $h (x) = \frac{x^{2}}{(x^{3} + 4)^{2}}$ sur $] 0; + \infty [$ .
d) $k (x) = \cos x \sin^{3} x$ sur $ℝ$ .

On utilise : une primitive de $u^{'} u^{n}$ ( $n \neq - 1$ ) est $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ .

a) $u (x) = 4 x + 1$ , $u^{'} (x) = 4$ , donc $f = \frac{1}{4} u^{'} u^{3}$ . Une primitive est $\frac{1}{4} \times \frac{u^{4}}{4}$ : $F (x) = \frac{(4 x + 1)^{4}}{16}$ . Contrôle : $F^{'} (x) = \frac{4 \times 4 (4 x + 1)^{3}}{16} = (4 x + 1)^{3}$ .

b) $u (x) = x^{2} - 5 x + 1$ , $u^{'} (x) = 2 x - 5$ : $g = u^{'} u^{3}$ exactement, donc $G (x) = \frac{(x^{2} - 5 x + 1)^{4}}{4}$ .

c) $u (x) = x^{3} + 4$ , $u^{'} (x) = 3 x^{2}$ , et $u (x) > 0$ sur $] 0; + \infty [$ . Alors $h = \frac{1}{3} \times \frac{u^{'}}{u^{2}} = \frac{1}{3} u^{'} u^{- 2}$ . Une primitive de $\frac{u^{'}}{u^{2}}$ est $- \frac{1}{u}$ , d'où $H (x) = - \frac{1}{3 (x^{3} + 4)}$ .

d) $u (x) = \sin x$ , $u^{'} (x) = \cos x$ : $k = u^{'} u^{3}$ , donc $K (x) = \frac{\sin^{4} x}{4}$ . Contrôle : $K^{'} (x) = \frac{4 \cos x \sin^{3} x}{4} = k (x)$ .

Exercice 5 — Les formes u'/u et u'/√u

Moyen

Déterminer une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

a) $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 9}$ sur $ℝ$ .
b) $g (x) = \frac{1}{5 x + 3}$ sur $] - \frac{3}{5}; + \infty [$ .
c) $h (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 6}}$ sur $ℝ$ .
d) $k (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 2}$ sur $ℝ$ .

a) $u (x) = x^{2} + 9 > 0$ et $u^{'} (x) = 2 x$ : $f = \frac{u^{'}}{u}$ , donc $F (x) = \ln (x^{2} + 9)$ .

b) Sur $] - \frac{3}{5}; + \infty [$ , $u (x) = 5 x + 3 > 0$ et $u^{'} (x) = 5$ : $g = \frac{1}{5} \times \frac{u^{'}}{u}$ , donc $G (x) = \frac{1}{5} \ln (5 x + 3)$ .

c) $u (x) = x^{2} + 2 x + 6 = (x + 1)^{2} + 5 > 0$ sur $ℝ$ , et $u^{'} (x) = 2 x + 2 = 2 (x + 1)$ . Donc $h = \frac{1}{2} \times \frac{u^{'}}{\sqrt{u}}$ . Une primitive de $\frac{u^{'}}{\sqrt{u}}$ est $2 \sqrt{u}$ , d'où $H (x) = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{u (x)}$ , soit $H (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 6}$ .

d) $u (x) = e^{x} + 2 > 0$ et $u^{'} (x) = e^{x}$ : $k = \frac{u^{'}}{u}$ , donc $K (x) = \ln (e^{x} + 2)$ .

Dans chaque cas, on a vérifié la condition $u > 0$ sur l'intervalle avant d'écrire $\ln u$ ou $\sqrt{u}$ .

Exercice 6 — Exponentielle et trigonométrie

Moyen

Toutes les fonctions sont définies sur $ℝ$ .

a) Déterminer une primitive de $f (x) = e^{3 x - 1}$ .
b) Déterminer une primitive de $g (x) = x^{2} e^{x^{3}}$ .
c) Déterminer la primitive $H$ de $h (x) = \sin (2 x)$ telle que $H (0) = 0$ .
d) Déterminer une primitive de $k (x) = \cos x e^{\sin x}$ .

On utilise : une primitive de $u^{'} e^{u}$ est $e^{u}$ ; une primitive de $u^{'} \sin u$ est $- \cos u$ .

a) $u (x) = 3 x - 1$ , $u^{'} (x) = 3$ : $f = \frac{1}{3} u^{'} e^{u}$ , donc $F (x) = \frac{1}{3} e^{3 x - 1}$ .

b) $u (x) = x^{3}$ , $u^{'} (x) = 3 x^{2}$ : $g = \frac{1}{3} u^{'} e^{u}$ , donc $G (x) = \frac{1}{3} e^{x^{3}}$ .

c) $u (x) = 2 x$ , $u^{'} (x) = 2$ : $h = \frac{1}{2} u^{'} \sin u$ . Les primitives de $h$ sont $x \mapsto - \frac{1}{2} \cos (2 x) + k$ . Or $H (0) = - \frac{1}{2} + k = 0$ , donc $k = \frac{1}{2}$ et $H (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x)$ . Remarque : avec $\cos (2 x) = 1 - 2 \sin^{2} x$ , on obtient $H (x) = \sin^{2} x$ .

d) $u (x) = \sin x$ , $u^{'} (x) = \cos x$ : $k = u^{'} e^{u}$ , donc $K (x) = e^{\sin x}$ .

Exercice 7 — Expliquer l'erreur

Moyen

Un élève a proposé les résultats suivants. Pour chacun, expliquer pourquoi il est faux.

a) « Une primitive de $f (x) = x e^{x}$ sur $ℝ$ est $F (x) = \frac{x^{2}}{2} e^{x}$ . »
b) « Une primitive de $g (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ sur $ℝ$ est $G (x) = \ln (x^{2} + 4)$ . »
c) « Une primitive de $h (x) = \frac{1}{(2 x + 1)^{2}}$ sur $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ est $H (x) = - \frac{1}{2 x + 1}$ . » Donner ensuite une primitive correcte de $h$ .

Pour infirmer, il suffit de dériver la fonction proposée.

a) $F^{'} (x) = x e^{x} + \frac{x^{2}}{2} e^{x} = (x + \frac{x^{2}}{2}) e^{x}$ . Par exemple $F^{'} (2) = 4 e^{2}$ alors que $f (2) = 2 e^{2}$ . $F$ n'est pas une primitive de $f$ : l'élève a pris le produit des primitives, ce qui est faux (la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées).

b) $G^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 4}$ ; en $0$ , $G^{'} (0) = 0$ alors que $g (0) = \frac{1}{4}$ . Faux : la forme $\frac{u^{'}}{u}$ exige que le numérateur soit $u^{'} (x) = 2 x$ à une constante près, ce qui n'est pas le cas du numérateur $1$ . La fonction $g$ , continue, a bien des primitives, mais pas celle-ci.

c) Avec $u (x) = 2 x + 1$ : $H^{'} (x) = \frac{u^{'} (x)}{u (x)^{2}} = \frac{2}{(2 x + 1)^{2}} = 2 h (x)$ . L'élève a oublié le facteur $u^{'} = 2$ . Comme $h = \frac{1}{2} \times \frac{u^{'}}{u^{2}}$ , une primitive correcte est $x \mapsto - \frac{1}{2 (2 x + 1)}$ .

Exercice 8 — Réécrire la fonction avant de chercher une primitive

Difficile

Soit $g$ définie sur $] - 2; + \infty [$ par $g (x) = \frac{3 x + 7}{x + 2}$ .

a) Montrer que, pour tout $x > - 2$ , $g (x) = 3 + \frac{1}{x + 2}$ .
b) En déduire les primitives de $g$ sur $] - 2; + \infty [$ .
c) Déterminer la primitive $G$ de $g$ telle que $G (- 1) = 4$ .
d) Déterminer une primitive sur $] 0; + \infty [$ de $f (x) = \frac{x^{3} - 2 x + 5}{x^{2}}$ .

a) Pour $x > - 2$ : $3 + \frac{1}{x + 2} = \frac{3 (x + 2) + 1}{x + 2} = \frac{3 x + 7}{x + 2} = g (x)$ . L'égalité est démontrée.

b) Sur $] - 2; + \infty [$ , $u (x) = x + 2 > 0$ et $u^{'} (x) = 1$ , donc $\frac{1}{x + 2}$ a pour primitive $\ln (x + 2)$ . Les primitives de $g$ sont $x \mapsto 3 x + \ln (x + 2) + k$ , $k \in ℝ$ .

c) $G (- 1) = - 3 + \ln 1 + k = - 3 + k$ . La condition $G (- 1) = 4$ donne $k = 7$ , donc $G (x) = 3 x + \ln (x + 2) + 7$ .

d) On divise chaque terme par $x^{2}$ ( $x \neq 0$ ) : $f (x) = x - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}$ . Une primitive de $x$ est $\frac{x^{2}}{2}$ , de $\frac{1}{x}$ est $\ln x$ sur $] 0; + \infty [$ , de $\frac{1}{x^{2}}$ est $- \frac{1}{x}$ . D'où $F (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 \ln x - \frac{5}{x}$ . Contrôle : $F^{'} (x) = x - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} = f (x)$ .

Exercice 9 — Primitive cherchée sous une forme imposée

Difficile

Soit $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = (4 x - 1) e^{- 2 x}$ . On cherche deux réels $a$ et $b$ tels que $F (x) = (a x + b) e^{- 2 x}$ soit une primitive de $f$ sur $ℝ$ .

a) Calculer $F^{'} (x)$ en fonction de $a$ et $b$ .
b) Déterminer $a$ et $b$ .
c) En déduire la primitive de $f$ sur $ℝ$ qui s'annule en $0$ .

a) $F$ est dérivable sur $ℝ$ comme produit. Avec $u (x) = a x + b$ , $u^{'} (x) = a$ , $v (x) = e^{- 2 x}$ , $v^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x}$ : $F^{'} (x) = a e^{- 2 x} - 2 (a x + b) e^{- 2 x}$ , soit $F^{'} (x) = (- 2 a x + a - 2 b) e^{- 2 x}$ .

b) $F$ est une primitive de $f$ si et seulement si, pour tout réel $x$ , $(- 2 a x + a - 2 b) e^{- 2 x} = (4 x - 1) e^{- 2 x}$ . Comme $e^{- 2 x} > 0$ , c'est équivalent à $- 2 a x + a - 2 b = 4 x - 1$ pour tout $x$ . Deux fonctions affines égales ont mêmes coefficients : $- 2 a = 4$ et $a - 2 b = - 1$ . Donc $a = - 2$ , puis $- 2 - 2 b = - 1$ , soit $b = - \frac{1}{2}$ . $F (x) = (- 2 x - \frac{1}{2}) e^{- 2 x}$ .

c) Les primitives de $f$ sont les $F + k$ . Or $F (0) = - \frac{1}{2}$ , donc $F (0) + k = 0$ donne $k = \frac{1}{2}$ . La primitive cherchée est $x \mapsto (- 2 x - \frac{1}{2}) e^{- 2 x} + \frac{1}{2}$ .

Exercice 10 — Une équation différentielle y' = f

Difficile

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{'} = \frac{\ln x}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ .

a) Déterminer toutes les solutions de $(E)$ sur $] 0; + \infty [$ .
b) Déterminer la solution $φ$ de $(E)$ telle que $φ (e) = 2$ .
c) Étudier les variations de $φ$ et montrer que, pour tout $x > 0$ , $φ (x) \geq \frac{3}{2}$ .

a) Les solutions de $(E)$ sont les primitives de $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ . Avec $u (x) = \ln x$ et $u^{'} (x) = \frac{1}{x}$ , on a $f = u^{'} u$ , dont une primitive est $\frac{u^{2}}{2}$ . Les solutions sont les fonctions $x \mapsto \frac{(\ln x)^{2}}{2} + k$ , $k \in ℝ$ .

b) $φ (e) = \frac{(\ln e)^{2}}{2} + k = \frac{1}{2} + k$ . La condition $φ (e) = 2$ donne $k = \frac{3}{2}$ : $φ (x) = \frac{(\ln x)^{2}}{2} + \frac{3}{2}$ .

c) $φ$ est solution de $(E)$ , donc $φ^{'} (x) = \frac{\ln x}{x}$ . Comme $x > 0$ , $φ^{'} (x)$ a le signe de $\ln x$ : négatif sur $] 0; 1 [$ , nul en $1$ , positif sur $] 1; + \infty [$ . Donc $φ$ est décroissante sur $] 0; 1]$ et croissante sur $[1; + \infty [$ ; elle admet un minimum en $1$ égal à $φ (1) = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ . Pour tout $x > 0$ , $φ (x) \geq \frac{3}{2}$ . (On le voit aussi directement : $(\ln x)^{2} \geq 0$ .)

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