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Fiche de révision : primitives

Notion de primitive et ensemble des primitives, primitives des fonctions usuelles, formes u′uⁿ, u′/u², u′/√u, u′/u, u′eᵘ, u′cos u et u′sin u, primitive vérifiant une condition initiale et équation différentielle y′ = f.

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Primitives

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Analyse · Primitives)

La démarche pour trouver une primitive

1. Je regarde l’intervalle et ce qui est demandé : une primitive, toutes les primitives, ou celle qui vérifie une condition.

2. Je reconnais la forme : somme de fonctions usuelles (tableau, linéarité), fonction de $a x + b$ , ou forme composée ( $u' u^{n}$ , $\frac{u'}{u}$ , $u' e^{u}$ …) dont je nomme $u$ et $u'$ .

3. J’ajuste la constante multiplicative et je vérifie la condition sur l’intervalle ( $u > 0$ pour $\ln u$ et $\sqrt{u}$ , $u \neq 0$ pour $\frac{1}{u}$ ).

4. Je contrôle en dérivant, puis j’ajoute $k$ et j’utilise la condition s’il y en a une.

Le réflexe — une primitive se justifie en nommant la forme et la fonction u (« forme u′/u avec u(x) = … > 0 ») ; une réponse sans cette ligne, ou sans contrôle par la dérivée, risque de ne pas rapporter tous les points.

Cas 1 · Vérifier ou chercher une primitive par identification

Réflexe — je dérive F et je retrouve f ; si la forme est imposée, je dérive et j’identifie les coefficients.

Exemple. Questions types : « Montrer que $F$ est une primitive de $f$ », « Déterminer $a$ et $b$ pour que… ». Exemple : $F (x) = (x + 2) e^{- x}$ et $f (x) = - (x + 1) e^{- x}$ sur $ℝ$ .

$F$ est dérivable sur $ℝ$ (produit de fonctions dérivables).

$F' (x) = 1 \times e^{- x} + (x + 2) \times (- e^{- x}) = (1 - x - 2) e^{- x} = - (x + 1) e^{- x}$ .

Pour tout réel $x$ , $F' (x) = f (x)$ : $F$ est une primitive de $f$ sur $ℝ$ .

Attention — on dérive F, jamais f ; et le produit des primitives n’est pas une primitive du produit.

Cas 2 · Fonctions usuelles et linéarité

Réflexe — je découpe en somme, j’applique le tableau terme par terme en gardant les coefficients ; pour f(ax + b), je divise par a.

Exemple. Question type : « Déterminer une primitive de $f$ sur $I$ ». Exemple : $f (x) = 5 x^{4} - \frac{2}{x} + 3 \sin x$ sur $] 0; + \infty [$ .

Une primitive de $x^{4}$ est $\frac{x^{5}}{5}$ , de $\frac{1}{x}$ est $\ln x$ (car $x > 0$ ), de $\sin x$ est $- \cos x$ .

Par linéarité : $F (x) = x^{5} - 2 \ln x - 3 \cos x$ .

Contrôle : $F' (x) = 5 x^{4} - \frac{2}{x} + 3 \sin x = f (x)$ .

Attention — sin donne −cos ; 1/x² donne −1/x et non ln(x²) ; la formule xⁿ⁺¹/(n + 1) est interdite pour n = −1.

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Cas 3 · Forme u′uⁿ, u′/u² ou u′/√u

Réflexe — je nomme u, je calcule u′, j’écris f = λ × forme, j’applique la formule, je vérifie u ≠ 0 ou u > 0.

Exemple. Question type : « Déterminer une primitive de $f$ ». Exemple : $f (x) = \frac{x^{2}}{(x^{3} + 1)^{2}}$ sur $] - 1; + \infty [$ .

On pose $u (x) = x^{3} + 1$ : $u' (x) = 3 x^{2}$ , et $u (x) > 0$ pour $x > - 1$ .

$f = \frac{1}{3} \times \frac{u'}{u^{2}}$ ; une primitive de $\frac{u'}{u^{2}}$ est $- \frac{1}{u}$ .

Donc $F (x) = - \frac{1}{3 (x^{3} + 1)}$ .

Attention — on n’ajuste qu’une constante, jamais un x ; si u′ n’apparaît pas, on développe ou on cherche une autre forme.

Cas 4 · Forme u′/u ou u′eᵘ

Réflexe — exponentielle : je cherche u′ devant eᵘ ; quotient : numérateur = dérivée du dénominateur à une constante près, puis u > 0.

Exemple. Question type : « Déterminer une primitive de $f$ ». Exemple : $f (x) = 3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$ sur $ℝ$ .

On pose $u (x) = x^{3} - 1$ : $u' (x) = 3 x^{2}$ .

$f = u' e^{u}$ , dont une primitive est $e^{u}$ .

Donc $F (x) = e^{x^{3} - 1}$ ; contrôle : $F' (x) = 3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$ .

Attention — pas de ln u sans u > 0 sur l’intervalle ; dénominateur au carré : c’est u′/u², pas u′/u.

Cas 5 · Condition initiale, équation y′ = f

Réflexe — toutes les primitives F(x) + k, la condition donne k, j’écris la fonction complète.

Exemple. Questions types : « Déterminer la primitive telle que… », « Résoudre $y' = f$ avec $y (x_{0}) = y_{0}$ ». Exemple : $f (x) = 6 x - e^{x}$ avec $F (0) = 4$ .

Les primitives de $f$ sur $ℝ$ sont $F (x) = 3 x^{2} - e^{x} + k$ , $k \in ℝ$ .

$F (0) = 0 - 1 + k = k - 1$ , et $k - 1 = 4$ donne $k = 5$ .

Donc $F (x) = 3 x^{2} - e^{x} + 5$ (unique).

Attention — écrire F(x₀) = y₀ sans la constante k ne mène à rien ; et e⁰ = 1, pas 0.

Les pièges

Oublier la constante : « les primitives » s’écrivent F(x) + k, k ∈ ℝ.
Primitive de sin : −cos (et non cos) ; primitive de cos : sin.
1/x² a pour primitive −1/x, pas ln(x²) ; 1/(x² + 1) n’a pas pour primitive ln(x² + 1).
On ajuste une constante (x = ½ × 2x), jamais un x.
ln u exige u > 0 sur l’intervalle ; sur ]−∞ ; 0[, une primitive de 1/x est ln(−x).
La primitive d’un produit n’est pas le produit des primitives : on développe, on reconnaît u′eᵘ… ou on identifie.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour trouver une primitive, puis, pour chacun des cinq cas du cours, la question type du bac et une réponse rédigée : vérifier une primitive en dérivant, sommes de fonctions usuelles, formes u′uⁿ et u′/u², formes u′/u et u′eᵘ, primitive vérifiant une condition. Les pièges classiques (signe de −cos, ln(x²), constante oubliée) sont listés en fin de fiche.

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