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Primitives

Notion de primitive, primitives des fonctions usuelles, primitives de u'uⁿ, u'/u, u'e^u, u'/√u, primitive vérifiant une condition initiale, lien avec les équations différentielles y' = f

À propos de cette page

Ce QCM sur « Primitives » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'essentiel : qu'est-ce qu'une primitive ?, Primitives des fonctions usuelles, Primitives des formes composées, Condition initiale et équation différentielle y' = f. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Une primitive de $x \mapsto x^{5}$ sur $ℝ$ est :
- A. $\frac{x^{6}}{6}$
- B. $5 x^{4}$
- C. $6 x^{6}$
- D. $\frac{x^{6}}{6} + x$
Réponse
A. $\frac{x^{6}}{6}$ — La dérivée de $\frac{x^{6}}{6}$ est $x^{5}$ . $5 x^{4}$ est la dérivée de $x^{5}$ , pas une primitive, et $\frac{x^{6}}{6} + x$ a pour dérivée $x^{5} + 1$ .
Dire que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ signifie :
- A. $f^{'} = F$ sur $I$
- B. $F^{'} = f$ sur $I$
- C. $F = f + k$ sur $I$
- D. $F \times f = 1$ sur $I$
Réponse
B. $F^{'} = f$ sur $I$ — Par définition, $F$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est $f$ .
Une primitive de $x \mapsto e^{x}$ sur $ℝ$ est :
- A. $x e^{x - 1}$
- B. $\frac{e^{x + 1}}{x + 1}$
- C. $e^{x} + 3$
- D. $e^{x} \ln x$
Réponse
C. $e^{x} + 3$ — $(e^{x} + 3)^{'} = e^{x}$ : ajouter une constante donne encore une primitive.
Une primitive de $x \mapsto \cos x$ sur $ℝ$ est :
- A. $- \sin x$
- B. $\cos x$
- C. $- \cos x$
- D. $\sin x$
Réponse
D. $\sin x$ — $(\sin x)^{'} = \cos x$ . Attention : c'est pour $\sin$ que la primitive porte un signe moins.
Une primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ est :
- A. $- \frac{1}{x^{2}}$
- B. $\ln x$
- C. $\ln (x^{2})$
- D. $\frac{2}{x^{2}}$
Réponse
B. $\ln x$ — $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ . $- \frac{1}{x^{2}}$ est la dérivée de $\frac{1}{x}$ .
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle :
- A. diffèrent d'une constante
- B. sont toujours égales
- C. sont proportionnelles entre elles
- D. ont la même valeur en 0
Réponse
A. diffèrent d'une constante — Leur différence a une dérivée nulle sur un intervalle : elle est constante.
Une primitive de $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $] 0; + \infty [$ est :
- A. $\frac{\sqrt{x}}{2}$
- B. $\ln \sqrt{x}$
- C. $- \frac{1}{2 x \sqrt{x}}$
- D. $2 \sqrt{x}$
Réponse
D. $2 \sqrt{x}$ — $(2 \sqrt{x})^{'} = 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .
Résoudre l'équation différentielle $y^{'} = f$ sur $I$ , c'est :
- A. dériver la fonction $f$ sur $I$
- B. chercher les zéros de $f$ sur $I$
- C. trouver les primitives de $f$
- D. calculer la valeur de $f$ en 0
Réponse
C. trouver les primitives de $f$ — Une solution $y$ vérifie $y^{'} = f$ : c'est exactement une primitive de $f$ .

Niveau moyen — 8 questions

Une primitive de $x \mapsto (3 x + 2)^{4}$ sur $ℝ$ est :
- A. $\frac{(3 x + 2)^{5}}{5}$
- B. $12 (3 x + 2)^{3}$
- C. $\frac{(3 x + 2)^{5}}{15}$
- D. $\frac{3 (3 x + 2)^{5}}{5}$
Réponse
C. $\frac{(3 x + 2)^{5}}{15}$ — $(3 x + 2)^{4} = \frac{1}{3} \times 3 (3 x + 2)^{4}$ , forme $\frac{1}{3} u^{'} u^{4}$ : primitive $\frac{1}{3} \times \frac{u^{5}}{5} = \frac{(3 x + 2)^{5}}{15}$ .
Une primitive de $x \mapsto \frac{8 x}{x^{2} + 5}$ sur $ℝ$ est :
- A. $4 \ln (x^{2} + 5)$
- B. $8 \ln (x^{2} + 5)$
- C. $\frac{- 4}{(x^{2} + 5)^{2}}$
- D. $8 x \ln (x^{2} + 5)$
Réponse
A. $4 \ln (x^{2} + 5)$ — $\frac{8 x}{x^{2} + 5} = 4 \times \frac{2 x}{x^{2} + 5}$ , forme $4 \frac{u^{'}}{u}$ avec $u > 0$ : primitive $4 \ln (x^{2} + 5)$ .
La primitive $F$ de $x \mapsto 2 x + 3$ sur $ℝ$ telle que $F (1) = 0$ est :
- A. $x^{2} + 3 x$
- B. $x^{2} + 3 x + 4$
- C. $2 x^{2} + 3 x - 5$
- D. $x^{2} + 3 x - 4$
Réponse
D. $x^{2} + 3 x - 4$ — $F (x) = x^{2} + 3 x + k$ et $F (1) = 4 + k = 0$ donne $k = - 4$ . $2 x^{2} + 3 x - 5$ s'annule en 1 mais sa dérivée est $4 x + 3$ .
Une primitive de $x \mapsto e^{- 4 x}$ sur $ℝ$ est :
- A. $- 4 e^{- 4 x}$
- B. $- \frac{1}{4} e^{- 4 x}$
- C. $\frac{1}{4} e^{- 4 x}$
- D. $\frac{e^{- 4 x + 1}}{- 4 x + 1}$
Réponse
B. $- \frac{1}{4} e^{- 4 x}$ — ${(- \frac{1}{4} e^{- 4 x})}^{'} = - \frac{1}{4} \times (- 4) e^{- 4 x} = e^{- 4 x}$ .
Une primitive de $x \mapsto \sin (5 x)$ sur $ℝ$ est :
- A. $- \frac{1}{5} \cos (5 x)$
- B. $\frac{1}{5} \cos (5 x)$
- C. $- 5 \cos (5 x)$
- D. $\frac{1}{5} \sin (5 x)$
Réponse
A. $- \frac{1}{5} \cos (5 x)$ — Primitive de $\sin$ : $- \cos$ ; cas affine : on divise par $5$ . Contrôle : ${(- \frac{1}{5} \cos (5 x))}^{'} = \sin (5 x)$ .
Une primitive de $x \mapsto \frac{11}{x^{2}}$ sur $] 0; + \infty [$ est :
- A. $\frac{11}{x}$
- B. $11 \ln (x^{2})$
- C. $- \frac{11}{x}$
- D. $- \frac{22}{x^{3}}$
Réponse
C. $- \frac{11}{x}$ — ${(- \frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ , donc $- \frac{11}{x}$ convient. $- \frac{22}{x^{3}}$ est la dérivée, pas une primitive.
Une primitive de $x \mapsto x^{3} e^{x^{4}}$ sur $ℝ$ est :
- A. $\frac{x^{4}}{4} e^{x^{4}}$
- B. $\frac{1}{4} e^{x^{4}}$
- C. $4 e^{x^{4}}$
- D. $x^{3} e^{x^{4}}$
Réponse
B. $\frac{1}{4} e^{x^{4}}$ — $x^{3} e^{x^{4}} = \frac{1}{4} \times 4 x^{3} e^{x^{4}}$ , forme $\frac{1}{4} u^{'} e^{u}$ : primitive $\frac{1}{4} e^{x^{4}}$ .
Une primitive de $x \mapsto \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ sur $ℝ$ est :
- A. $2 \sqrt{x^{2} + 16}$
- B. $\ln (x^{2} + 16)$
- C. $\frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + 16}$
- D. $\sqrt{x^{2} + 16}$
Réponse
D. $\sqrt{x^{2} + 16}$ — $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}} = \frac{1}{2} \times \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ : primitive $\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{x^{2} + 16} = \sqrt{x^{2} + 16}$ .

Niveau difficile — 8 questions

Sur $] - \infty; 0 [$ , une primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ est :
- A. $\ln x$
- B. $\ln (- x)$
- C. $- \ln x$
- D. $- \ln (- x)$
Réponse
B. $\ln (- x)$ — $\ln x$ n'est pas défini pour $x < 0$ . Avec $u = - x > 0$ , $(\ln (- x))^{'} = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$ .
La fonction $x \mapsto \frac{1}{x^{2} + 1}$ admet-elle des primitives sur $ℝ$ ?
- A. non, car $\ln (x^{2} + 1)$ ne convient pas
- B. non, aucune formule du cours ne s'applique
- C. oui, et $\ln (x^{2} + 1)$ en est une
- D. oui, car elle est continue sur $ℝ$
Réponse
D. oui, car elle est continue sur $ℝ$ — Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, même si on ne sait pas les exprimer avec les fonctions usuelles. $\ln (x^{2} + 1)$ a pour dérivée $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .
$F (x) = x \ln x$ est, sur $] 0; + \infty [$ , une primitive de :
- A. $\ln x + 1$
- B. $\ln x$
- C. $\frac{1}{x}$
- D. $\frac{x^{2}}{2} \ln x$
Réponse
A. $\ln x + 1$ — $F^{'} (x) = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1$ . Une primitive de $\ln x$ est $x \ln x - x$ .
$F$ et $G$ sont deux primitives d'une fonction continue sur $ℝ$ , avec $F (0) = 2$ et $G (0) = - 1$ . Alors $G (5) - F (5)$ vaut :
- A. $0$
- B. $3$
- C. $- 3$
- D. on ne peut pas le savoir
Réponse
C. $- 3$ — $G - F$ est constante sur $ℝ$ , égale à $G (0) - F (0) = - 3$ .
Une primitive de $x \mapsto \sin x \cos^{4} x$ sur $ℝ$ est :
- A. $\frac{\cos^{5} x}{5}$
- B. $- 4 \sin^{2} x \cos^{3} x$
- C. $\frac{\sin^{2} x \cos^{5} x}{10}$
- D. $- \frac{\cos^{5} x}{5}$
Réponse
D. $- \frac{\cos^{5} x}{5}$ — Avec $u = \cos x$ , $u^{'} = - \sin x$ : $\sin x \cos^{4} x = - u^{'} u^{4}$ , primitive $- \frac{u^{5}}{5}$ . Le signe moins vient de $u^{'}$ .
Laquelle de ces fonctions n'est PAS une primitive de $x \mapsto 2 \sin x \cos x$ sur $ℝ$ ?
- A. $\sin^{2} x$
- B. $\cos^{2} x$
- C. $- \cos^{2} x$
- D. $- \frac{1}{2} \cos (2 x)$
Réponse
B. $\cos^{2} x$ — $(\cos^{2} x)^{'} = - 2 \sin x \cos x$ . Les trois autres conviennent et diffèrent entre elles d'une constante ( $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$ ).
Sur $] 1; + \infty [$ , une primitive de $x \mapsto \frac{1}{x \ln x}$ est :
- A. $\frac{1}{\ln x}$
- B. $\ln x \times \ln x$
- C. $\ln (\ln x)$
- D. $\frac{(\ln x)^{2}}{2}$
Réponse
C. $\ln (\ln x)$ — Avec $u = \ln x > 0$ sur $] 1; + \infty [$ et $u^{'} = \frac{1}{x}$ , la fonction est $\frac{u^{'}}{u}$ : primitive $\ln (\ln x)$ .
Combien de primitives de $x \mapsto x^{2}$ sur $ℝ$ ont une courbe passant par le point $A (3; 0)$ ?
- A. exactement une
- B. aucune
- C. une infinité
- D. cela dépend de la constante
Réponse
A. exactement une — Les primitives sont $\frac{x^{3}}{3} + k$ ; la condition $9 + k = 0$ impose $k = - 9$ : une seule primitive.

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