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Équations différentielles
Équations du premier ordre y' = ay et y' = ay + b — définition, solutions, conditions initiales — programme de Spécialité Maths Terminale
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Équations différentielles » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Notion d'équation différentielle, Équation y' = ay — solution générale, Condition initiale et solution particulière, Équation y' = ay + b — méthode. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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Notion d'équation différentielle
Définition. Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui relie cette fonction à sa dérivée (ou ses dérivées successives).
Au programme de Terminale, on étudie les équations différentielles du premier ordre, c'est-à-dire faisant intervenir $y$ et $y'$.
Au programme de Terminale, on étudie les équations différentielles du premier ordre, c'est-à-dire faisant intervenir $y$ et $y'$.
On note souvent l'inconnue $y$ (ou $f$) et on cherche une fonction $x \mapsto y(x)$ définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$.
Exemples d'équations différentielles.
- $y' = 2y$ : solutions de la forme $y = Ce^{2x}$.
- $y' = -y + 3$ : équation avec second membre constant.
- $y' + 3y = 0$ : équation homogène (équivalente à $y' = -3y$).
Vocabulaire. Une fonction $f$ est dite solution d'une équation différentielle si, en remplaçant $y$ par $f(x)$ et $y'$ par $f'(x)$, l'équation est vérifiée pour tout $x$.
Attention ! L'inconnue d'une équation différentielle est une fonction, pas un nombre. Il y a en général une infinité de solutions (paramétrées par une constante $C$).
Vérification. Vérifier que $f(x) = 4e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$.
$f'(x) = 8e^{2x}$ et $2f(x) = 8e^{2x}$. Donc $f'(x) = 2f(x)$ : $f$ est bien solution.
$f'(x) = 8e^{2x}$ et $2f(x) = 8e^{2x}$. Donc $f'(x) = 2f(x)$ : $f$ est bien solution.
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Équation y' = ay — solution générale
Théorème fondamental. Soit $a$ un réel. Les solutions de l'équation différentielle
$$y' = ay$$
sont exactement les fonctions :
$$y(x) = C \cdot e^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$$
La famille de fonctions $\{Ce^{ax} \mid C \in \mathbb{R}\}$ s'appelle la solution générale de $y' = ay$.
$$y' = ay$$
sont exactement les fonctions :
$$y(x) = C \cdot e^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$$
La famille de fonctions $\{Ce^{ax} \mid C \in \mathbb{R}\}$ s'appelle la solution générale de $y' = ay$.
Preuve (idée). Si $y' = ay$, alors $y' - ay = 0$. On cherche une primitive : on reconnaît que $(e^{-ax} \cdot y)' = -ae^{-ax}y + e^{-ax}y' = e^{-ax}(y' - ay) = 0$. Donc $e^{-ax} \cdot y = C$ (constante), soit $y = Ce^{ax}$.
Exemples.
- $y' = 3y$ : solutions $y = Ce^{3x}$, $C \in \mathbb{R}$.
- $y' = -y$ : solutions $y = Ce^{-x}$, $C \in \mathbb{R}$.
- $y' = 0$ : solutions $y = C$ (fonctions constantes).
- $2y' - 6y = 0$, soit $y' = 3y$ : solutions $y = Ce^{3x}$.
| Équation | Coefficient $a$ | Solution générale |
|---|---|---|
| $y' = ay$ | $a \gt 0$ | $y = Ce^{ax}$ (croissante si $C\gt 0$) |
| $y' = ay$ | $a \lt 0$ | $y = Ce^{ax}$ (décroissante si $C\gt 0$) |
| $y' = ay$ | $a = 0$ | $y = C$ (constante) |
Attention ! La solution $y = 0$ (fonction nulle) est toujours solution de $y' = ay$ : c'est le cas $C = 0$. Ne pas l'oublier !
Quelques solutions de $y' = y$ : chaque courbe $y = Ce^x$ correspond à une valeur de $C$. Ces courbes ne se croisent jamais (sauf en $x \to -\infty$ si $C \gt 0$).
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Condition initiale et solution particulière
Condition initiale. Une condition initiale (ou condition de Cauchy) est la donnée d'une valeur $y(x_0) = y_0$ que la solution doit satisfaire. Elle permet de déterminer la constante $C$ et d'obtenir une solution particulière unique.
Méthode complète. Résoudre $y' = -2y$ avec $y(0) = 3$.
Étape 1 — Solution générale : $y = Ce^{-2x}$, $C \in \mathbb{R}$.
Étape 2 — Condition initiale : $y(0) = Ce^{0} = C = 3$, donc $C = 3$.
Solution particulière : $y = 3e^{-2x}$.
Étape 1 — Solution générale : $y = Ce^{-2x}$, $C \in \mathbb{R}$.
Étape 2 — Condition initiale : $y(0) = Ce^{0} = C = 3$, donc $C = 3$.
Solution particulière : $y = 3e^{-2x}$.
Autre exemple. Résoudre $y' = 4y$ avec $y(1) = 2$.
Étape 1 : $y = Ce^{4x}$.
Étape 2 : $y(1) = Ce^4 = 2$, donc $C = 2e^{-4}$.
Solution : $y = 2e^{-4} \cdot e^{4x} = 2e^{4(x-1)}$.
Étape 1 : $y = Ce^{4x}$.
Étape 2 : $y(1) = Ce^4 = 2$, donc $C = 2e^{-4}$.
Solution : $y = 2e^{-4} \cdot e^{4x} = 2e^{4(x-1)}$.
Interprétation graphique. Parmi toutes les courbes $y = Ce^{ax}$, la condition initiale $y(x_0) = y_0$ sélectionne exactement celle qui passe par le point $(x_0, y_0)$.
Attention ! Si la condition porte sur $x = 0$, le calcul de $C$ est simple : $C = y_0$. Si elle porte sur un autre point $x_0
eq 0$, penser à calculer $e^{ax_0}$ pour isoler $C$.
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Équation y' = ay + b — méthode
Équation différentielle du premier ordre avec second membre constant. On considère l'équation
$$y' = ay + b \quad (a \neq 0, b \in \mathbb{R})$$
Méthode de résolution :
$$y' = ay + b \quad (a \neq 0, b \in \mathbb{R})$$
Méthode de résolution :
- Solution particulière constante : on cherche $y_p$ constante telle que $y_p' = 0 = ay_p + b$, soit $y_p = -\dfrac{b}{a}$.
- Équation homogène associée : $y' = ay$, de solution générale $y_h = Ce^{ax}$.
- Solution générale : $y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$.
Exemple 1. Résoudre $y' = 2y + 6$.
• Solution particulière constante : $0 = 2y_p + 6$, donc $y_p = -3$.
• Solution homogène : $y_h = Ce^{2x}$.
• Solution générale : $y = Ce^{2x} - 3$, $C \in \mathbb{R}$.
• Solution particulière constante : $0 = 2y_p + 6$, donc $y_p = -3$.
• Solution homogène : $y_h = Ce^{2x}$.
• Solution générale : $y = Ce^{2x} - 3$, $C \in \mathbb{R}$.
Exemple 2. Résoudre $y' = -3y + 9$ avec $y(0) = 5$.
• $y_p = -9/(-3) = 3$.
• Solution générale : $y = Ce^{-3x} + 3$.
• Condition initiale : $y(0) = C + 3 = 5$, donc $C = 2$.
• Solution particulière : $y = 2e^{-3x} + 3$.
• $y_p = -9/(-3) = 3$.
• Solution générale : $y = Ce^{-3x} + 3$.
• Condition initiale : $y(0) = C + 3 = 5$, donc $C = 2$.
• Solution particulière : $y = 2e^{-3x} + 3$.
Astuce — réécriture. L'équation $y' = ay + b$ peut se réécrire $y' - ay = b$. En posant $z = y - y_p = y + b/a$, on a $z' = y'$ et $z' = a(z + y_p) + b = az + ay_p + b = az$. Donc $z' = az$ : équation homogène sur $z$.
Attention ! La méthode ne fonctionne que si $a \neq 0$. Si $a = 0$, l'équation $y' = b$ se résout directement par intégration : $y = bx + C$.
Solutions de $y' = -y + 2$ : toutes les courbes convergent vers la solution particulière constante $y = 2$ quand $x \to +\infty$ (car $a = -1 \lt 0$).
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Représentation graphique des solutions
Les courbes solutions d'une équation différentielle forment un faisceau de courbes. Leurs propriétés graphiques dépendent du signe de $a$.
| Équation | $a \gt 0$ | $a \lt 0$ |
|---|---|---|
| $y' = ay$ | Les courbes $Ce^{ax}$ divergent vers $\pm\infty$ | Les courbes $Ce^{ax}$ convergent vers $0$ |
| $y' = ay + b$ | Divergence vers $\pm\infty$ | Convergence vers $-b/a$ |
Tangente en un point. En un point $(x_0, y_0)$, la pente de la tangente à la courbe solution vaut $y'(x_0)$, ce qui est donné directement par l'équation différentielle.
Champ de directions. L'équation $y' = ay + b$ définit un champ de directions : en chaque point $(x, y)$ du plan, on peut tracer un petit segment de pente $ay + b$. Les courbes solutions sont tangentes à ce champ en chaque point.
Asymptote. Pour $y' = ay + b$ avec $a \lt 0$, la droite $y = -b/a$ est asymptote horizontale de toutes les courbes solutions : elles s'en approchent indéfiniment quand $x \to +\infty$.
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Modélisation et applications
Les équations différentielles modélisent de nombreux phénomènes évoluant au cours du temps où la vitesse de variation est proportionnelle à la valeur actuelle.
Modèles classiques.
- Croissance/décroissance exponentielle : population, radioactivité, intérêts. Équation : $y' = ky$, solution $y(t) = y_0 e^{kt}$.
- Loi de Newton (refroidissement) : $\theta'(t) = -k(\theta - \theta_e)$ où $\theta_e$ est la température ambiante. Solution : $\theta(t) = (\theta_0 - \theta_e)e^{-kt} + \theta_e$.
- Charge d'un condensateur : $u'(t) = -\dfrac{1}{RC} u(t) + \dfrac{E}{RC}$, de type $y' = ay + b$.
Exemple — Population. Une colonie bactérienne vérifie $N'(t) = 0{,}5 N(t)$ avec $N(0) = 1000$ (bactéries, $t$ en heures).
Solution générale : $N(t) = Ce^{0{,}5t}$. Condition initiale : $C = 1000$.
Solution : $N(t) = 1000e^{0{,}5t}$.
Après 4 heures : $N(4) = 1000e^2 \approx 7389$ bactéries.
Solution générale : $N(t) = Ce^{0{,}5t}$. Condition initiale : $C = 1000$.
Solution : $N(t) = 1000e^{0{,}5t}$.
Après 4 heures : $N(4) = 1000e^2 \approx 7389$ bactéries.
Exemple — Refroidissement. Un objet à $80°C$ est placé dans un milieu à $20°C$. Sa température vérifie $\theta'(t) = -0{,}1(\theta - 20)$, soit $\theta' = -0{,}1\theta + 2$.
Solution particulière : $\theta_p = 20$. Solution générale : $\theta(t) = Ce^{-0{,}1t} + 20$.
Condition initiale $\theta(0) = 80$ : $C + 20 = 80$, soit $C = 60$.
Solution : $\theta(t) = 60e^{-0{,}1t} + 20$. Quand $t \to +\infty$, $\theta(t) \to 20°C$.
Solution particulière : $\theta_p = 20$. Solution générale : $\theta(t) = Ce^{-0{,}1t} + 20$.
Condition initiale $\theta(0) = 80$ : $C + 20 = 80$, soit $C = 60$.
Solution : $\theta(t) = 60e^{-0{,}1t} + 20$. Quand $t \to +\infty$, $\theta(t) \to 20°C$.
Méthode générale pour les problèmes.
1. Traduire l'énoncé en équation différentielle.
2. Identifier le type : $y' = ay$ ou $y' = ay + b$.
3. Écrire la solution générale.
4. Utiliser la condition initiale pour trouver $C$.
5. Répondre aux questions avec la solution particulière.
1. Traduire l'énoncé en équation différentielle.
2. Identifier le type : $y' = ay$ ou $y' = ay + b$.
3. Écrire la solution générale.
4. Utiliser la condition initiale pour trouver $C$.
5. Répondre aux questions avec la solution particulière.
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Récapitulatif et méthode de résolution
| Type | Solution générale | Remarque |
|---|---|---|
| $y' = ay$ | $y = Ce^{ax}$ | Homogène ; $C \in \mathbb{R}$ |
| $y' = ay + b$ ($a \neq 0$) | $y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ | $y_p = -b/a$ constante |
| $y' = b$ ($a = 0$) | $y = bx + C$ | Intégration directe |
Algorithme de résolution.
- Mettre l'équation sous la forme $y' = ay + b$.
- Si $b = 0$ : solution générale $Ce^{ax}$.
Si $b \neq 0$ et $a \neq 0$ : solution particulière $y_p = -b/a$, solution générale $Ce^{ax} + y_p$.
Si $a = 0$ : intégrer directement. - Si une condition initiale est donnée, substituer pour trouver $C$.
- Vérifier en recalculant $y'$ et en vérifiant l'équation.
Vérification — étape indispensable. Pour $y = 2e^{-3x} + 3$ (solution de $y' = -3y + 9$) :
$y' = -6e^{-3x}$ et $-3y + 9 = -6e^{-3x} - 9 + 9 = -6e^{-3x}$ ✓
$y' = -6e^{-3x}$ et $-3y + 9 = -6e^{-3x} - 9 + 9 = -6e^{-3x}$ ✓
Schéma de la méthode de résolution : quatre étapes successives pour passer de l'équation à la solution particulière.
L'essentiel
- Équation $y' = ay$ : solution générale $y = Ce^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$.
- Équation $y' = ay + b$ ($a \neq 0$) : solution générale $y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ (somme de la solution homogène et d'une solution particulière constante $y_p = -b/a$).
- Condition initiale $y(x_0) = y_0$ : substituer pour déterminer $C$ et obtenir une solution unique.
- Vérification : calculer $y'$ et vérifier que l'équation est satisfaite.
- Applications : croissance bactérienne, décroissance radioactive, refroidissement, condensateur.
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