Primitives

1. a)$F(x)=x^7-x^4+2x$. (1)
2. b)$\frac{1}{x^3}$ a pour primitive $-\frac{1}{2x^2}$, donc $G(x)=5\ln x+\frac{1}{x^2}$. (1)
3. c)$H(x)=6\cos x+e^x$ (car $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$). (1)
4. d)$K(x)=16\sqrt{x}$ (car $(2\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}$). (1)

Erreur fréquente — Pour $\frac{1}{x^3}$, on écrit $x^{-3}$ et on applique $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ avec $n=-3$ : le résultat n'a rien à voir avec un logarithme.

1. a)$u=5x-3$, $u^{\prime }=5$ : $f=\frac{1}{5}{u}^{\prime }{u}^6$, donc $F(x)=\frac{(5x-3{)}^7}{35}$. (1)
2. b)$u=x^3+8>0$ pour $x>-2$ et $u^{\prime }=3x^2$ : $g=\frac{u^{\prime }}{u}$, donc $G(x)=\ln (x^3+8)$. (1)
3. c)$u=1-7x$, $u^{\prime }=-7$ : $h=-\frac{1}{7}{u}^{\prime }{e}^u$, donc $H(x)=-\frac{1}{7}{e}^{1-7x}$. (1)
4. d)$\Delta =1-12=-11<0$ et coefficient $1>0$, donc $x^2+x+3>0$. $u^{\prime }=2x+1$ et $k=2\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$ : $K(x)=4\sqrt{x^2+x+3}$. (1)

À retenir — On ajuste toujours la constante multiplicative pour faire apparaître exactement $u^{\prime }$, puis on vérifie en dérivant.

1. a)$f$ est continue sur l'intervalle (quotient, $2x+5>0$), donc admet des primitives. $u=2x+5$, $u^{\prime }=2$ : $f=\frac{u^{\prime }}{u}$, primitives $\ln (2x+5)+k$. (1)
2. b)$F(-2)=\ln 1+k=k=6$, donc $F(x)=\ln (2x+5)+6$. (1)
3. c)$F(0)=6+\ln 5\approx 7,61$. (1)
4. d)$y(10)=\ln 25+k=0$ donne $k=-\ln 25$ : $y(x)=\ln (2x+5)-\ln 25=\ln \left(\frac{2x+5}{25}\right)$. (1)

Repère — Une condition initiale donne toujours une équation du premier degré en $k$ : on la résout, puis on écrit l'expression complète de la solution.

1. a)Vrai : $F^{\prime }(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$. (1)
2. b)Faux : $F-G$ est constante mais pas forcément nulle. Contre-exemple : $e^x$ et $e^x+4$ sont deux primitives de $e^x$. (1)
3. c)Faux : $\ln ((3x+1{)}^2)=2\ln (3x+1)$ a pour dérivée $\frac{6}{3x+1}$. Une primitive correcte est $-\frac{1}{3(3x+1)}$. (1)
4. d)Faux : $F(x)=\sin x+k$ ; $F(0)=3$ impose $k=3$, et alors $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=4\ne 5$. (1)

Le point clé — Pour prouver « faux », un seul contre-exemple ou un seul calcul de dérivée suffit ; pour prouver « vrai », il faut un argument valable pour tout $x$.

1. a)$F^{\prime }(x)=a\ln x+ax\times \frac{1}{x}+b=a\ln x+a+b$. (1)
2. b)Pour tout $x>0$ : $a\ln x+a+b=2\ln x+5$ ; on identifie $a=2$ et $a+b=5$, soit $b=3$. $F(x)=2x\ln x+3x$. (1)
3. c)$G=F+k$ et $F(1)=0+3=3$, donc $k=-3$ : $G(x)=2x\ln x+3x-3$. (1)
4. d)$f(x)>0⟺\ln x>-\frac{5}{2}⟺x>e^{-5/2}\approx 0,082$. Comme $G^{\prime }=f$ : $G$ décroissante sur $]0;e^{-5/2}]$, croissante sur $[e^{-5/2};+\infty [$. (1)

Attention — Pour identifier des coefficients, l'égalité doit être vraie pour tout $x$ de l'intervalle : on compare alors les coefficients de $\ln x$ et les constantes.