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Formulaire : loi binomiale

Épreuve et schéma de Bernoulli, loi binomiale et formule de P(X = k), P(X ≤ k) à la calculatrice, espérance, variance et écart type, seuils et intervalles de probabilité.

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Loi binomiale

Fiche tableaux : les formules à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Bernoulli

Objet	Définition	Ce qu’on en tire
Épreuve de Bernoulli	deux issues : succès $S$ (probabilité $p$ ), échec $\overset{―}{S}$ (probabilité $1 - p$ )	—
Loi de Bernoulli	$X = 1$ si succès, $X = 0$ sinon	$E (X) = p$ , $V (X) = p (1 - p)$
Schéma de Bernoulli	$n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, $n$ fixé	le nombre de succès suit $ℬ (n; p)$

Exemple : on répond au hasard à $12$ questions à $3$ choix dont un juste : $X$ suit $ℬ (12; \frac{1}{3})$ .

Loi binomiale B(n ; p)

Formule	Pour
$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	$0 ⩽ k ⩽ n$
$(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ , $(\binom{n}{1}) = n$	tout $n$
$(\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2}$	$n ⩾ 2$
$(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$	$0 ⩽ k ⩽ n$
$P (X = 0) = (1 - p)^{n}$ , $P (X = n) = p^{n}$	tout $n$

Exemple : $X$ suit $ℬ (5; 0, 5)$ : $P (X = 2) = 10 \times 0, 5^{5} = 0, 312 5$ .

Traduire l’événement

Dans l’énoncé	Événement	Calcul
au plus $k$	$X ⩽ k$	$P (X ⩽ k)$
moins de $k$	$X < k$	$P (X ⩽ k - 1)$
au moins $k$	$X ⩾ k$	$1 - P (X ⩽ k - 1)$
plus de $k$	$X > k$	$1 - P (X ⩽ k)$
entre $a$ et $b$	$a ⩽ X ⩽ b$	$P (X ⩽ b) - P (X ⩽ a - 1)$
au moins un	$X ⩾ 1$	$1 - (1 - p)^{n}$

Exemple : « au moins $3$ » se calcule $1 - P (X ⩽ 2)$ .

Espérance, variance, écart type

Loi	$E (X)$	$V (X)$	$σ (X)$
Bernoulli de paramètre $p$	$p$	$p (1 - p)$	$\sqrt{p (1 - p)}$
$ℬ (n; p)$	$n p$	$n p (1 - p)$	$\sqrt{n p (1 - p)}$
$a X + b$	$a E (X) + b$	$a^{2} V (X)$	$\| a \| σ (X)$

Exemple : $X$ suit $ℬ (48; 0, 25)$ : $E (X) = 12$ , $V (X) = 9$ , $σ (X) = 3$ .

Calculatrice et Python

Outil	$P (X = k)$	$P (X ⩽ k)$
TI	binomFdp $(n, p, k)$	binomFRép $(n, p, k)$
Casio	Bpd	Bcd
NumWorks	application Probabilités, loi binomiale
Python	`comb(n, k) * p*k (1 - p)**(n - k)` avec `from math import comb`

On arrondit au millième sauf indication contraire, à partir des valeurs non arrondies.

Seuils et intervalles

Question	Méthode
plus petit $n$ avec $P (X ⩾ 1) ⩾ α$	$(1 - p)^{n} ⩽ 1 - α$ , $n ⩾ \frac{\ln (1 - α)}{\ln (1 - p)}$
plus petit $k$ avec $P (X ⩽ k) ⩾ s$	tableau de valeurs, deux valeurs qui encadrent $s$
intervalle $[a; b]$ avec $P (a ⩽ X ⩽ b) ⩾ 1 - α$	$a$ : plus petit entier avec $P (X ⩽ a) > \frac{α}{2}$ ; $b$ : plus petit entier avec $P (X ⩽ b) ⩾ 1 - \frac{α}{2}$

Exemple : $1 - 0, 6^{n} ⩾ 0, 99$ donne $n ⩾ \frac{\ln 0, 01}{\ln 0, 6} \approx 9, 02$ , soit $n = 10$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision de la loi binomiale en tableaux, pour le bac de spécialité maths : Bernoulli et schéma de Bernoulli, formule de P(X = k) et coefficients usuels, traduction de « au moins », « au plus » et « entre », espérance, variance et écart type, commandes de la calculatrice et de Python, seuils et intervalles. La fiche se télécharge en PDF.

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