Combien de temps dure ce contrôle sur « Loi binomiale » ?

120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Loi binomiale » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale.

Spécialité Mathématiques Terminale

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Loi binomiale

Épreuve et schéma de Bernoulli, loi binomiale et formule de P(X = k), P(X ≤ k) à la calculatrice, espérance, variance et écart type, seuils et intervalles de probabilité.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, avec calculatrice et corrigé rédigé : tirs à l’arc, chemins d’un arbre et loi complète, réclamations téléphoniques avec un intervalle à 0,95, visiteurs d’un site et nombre minimal, et la démonstration de la formule de la loi binomiale.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Loi binomiale

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Tirs à l’arc ★★

(4 pts)

Un archer vise le centre d’une cible ; chaque flèche l’atteint avec la probabilité $0, 45$ , les tirs étant indépendants. Il tire $7$ flèches ; $X$ est le nombre de flèches qui atteignent le centre. Arrondir les probabilités au millième.

a)Quelle est la loi de $X$ ? Justifier la réponse.
b)Calculer $P (X = 3)$ .
c)Calculer la probabilité qu’au moins une flèche atteigne le centre.
d)Donner l’espérance de $X$ , puis son écart type arrondi au centième.

Exercice 2 – Chemins de l’arbre ★★

(4 pts)

Une urne contient $2$ boules noires ( $N$ ) et $3$ boules blanches ( $B$ ). On tire $4$ fois de suite une boule, avec remise ; $X$ compte les boules noires obtenues.

a)Combien de chemins de l’arbre pondéré comportent exactement $2$ boules noires ? Les lister.
b)Calculer la probabilité de l’un de ces chemins.
c)En déduire $P (X = 2)$ .
d)Dresser le tableau de la loi de $X$ et contrôler que la somme des probabilités vaut $1$ .

Exercice 3 – Réclamations téléphoniques ★★★

(4 pts)

Un standard reçoit $60$ appels par jour. Un appel est une réclamation avec la probabilité $0, 12$ , et les appels sont indépendants entre eux. $X$ désigne le nombre de réclamations reçues dans la journée. Arrondir les probabilités au millième.

a)Préciser la loi de $X$ , son espérance et son écart type (au centième).
b)Calculer la probabilité de recevoir exactement $7$ réclamations.
c)Calculer la probabilité de recevoir au moins $10$ réclamations.
d)Déterminer le plus petit entier $a$ tel que $P (X ⩽ a) > 0, 025$ et le plus petit entier $b$ tel que $P (X ⩽ b) ⩾ 0, 975$ . En déduire un intervalle $I$ tel que $P (X \notin I) ⩽ 0, 05$ .

Exercice 4 – Visiteurs d’un site marchand ★★★

(4 pts)

Sur un site marchand, un visiteur effectue un achat avec la probabilité $0, 04$ ; les comportements des visiteurs sont indépendants. $X_{n}$ est le nombre d’acheteurs parmi $n$ visiteurs.

a)Donner, en fonction de $n$ , la probabilité qu’aucun visiteur n’achète, puis celle qu’il y ait au moins un acheteur.
b)À partir de combien de visiteurs a-t-on $P (X_{n} ⩾ 1) ⩾ 0, 95$ ?
c)Pour $n = 50$ , un élève écrit « $P (X_{50} ⩾ 2) = 1 - P (X_{50} ⩽ 2) \approx 0, 323$ ». Où est l’erreur ? Donner la bonne valeur à $10^{- 3}$ près.
d)Après une refonte du site, on souhaite que, pour $50$ visiteurs, le nombre moyen d’acheteurs soit égal à $3$ . Quelle doit être la nouvelle probabilité d’achat $p$ ? Calculer alors l’écart type de $X_{50}$ , arrondi au centième.

Exercice 5 – Démonstration et raisonnement ★★★

(4 pts)

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $ℬ (n; p)$ , où $0 < p < 1$ .

a)Démontrer que $P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ pour tout entier $k$ tel que $0 ⩽ k ⩽ n$ .
b)Montrer que $\frac{P (X = 1)}{P (X = 0)} = \frac{n p}{1 - p}$ .
c)On suppose $p = 0, 2$ et $P (X = 1) = 2 P (X = 0)$ . Déterminer $n$ .
d)Pour cette valeur de $n$ , calculer $P (X = 0)$ , $P (X = 1)$ puis $P (X ⩾ 2)$ , arrondis au millième.

Bon courage !

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Corrigé et barème – Loi binomiale

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques Terminale

Exercice 1 – Tirs à l’arc ★★

(4 pts)

a)Un tir est une épreuve de Bernoulli dont le succès, « la flèche atteint le centre », a pour probabilité $0, 45$ . Les $7$ tirs sont identiques et indépendants : c’est un schéma de Bernoulli. $X$ compte les succès, donc $X$ suit la loi binomiale $ℬ (7; 0, 45)$ . (1)
b) $(\binom{7}{3}) = 35$ , donc $P (X = 3) = 35 \times 0, 45^{3} \times 0, 55^{4}$ $= 35 \times 0, 091 125 \times 0, 091 506 25 \approx 0, 292$ . (1)
c)Le contraire de « au moins une flèche au centre » est « aucune » : $P (X ⩾ 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - 0, 55^{7}$ . Comme $0, 55^{7} \approx 0, 015 2$ , $P (X ⩾ 1) \approx 0, 985$ . (1)
d) $E (X) = n p = 7 \times 0, 45 = 3, 15$ : sur un grand nombre de séries de $7$ flèches, l’archer atteint le centre $3, 15$ fois en moyenne. $V (X) = n p (1 - p) = 7 \times 0, 45 \times 0, 55 = 1, 732 5$ , donc $σ (X) = \sqrt{1, 732 5} \approx 1, 32$ . (1)

Repère — La loi binomiale se justifie avant tout calcul : succès, probabilité, répétition identique et indépendante.

Exercice 2 – Chemins de l’arbre ★★

(4 pts)

a)Un chemin à $2$ boules noires est déterminé par les positions des $2$ tirages noirs parmi les $4$ : il y en a $(\binom{4}{2}) = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ , à savoir $N N B B$ , $N B N B$ , $N B B N$ , $B N N B$ , $B N B N$ , $B B N N$ . (1)
b)À chaque tirage, $P (N) = \frac{2}{5} = 0, 4$ et $P (B) = 0, 6$ , et les tirages sont indépendants (avec remise). Un chemin à $2$ noires et $2$ blanches a pour probabilité $0, 4^{2} \times 0, 6^{2} = 0, 16 \times 0, 36 = 0, 057 6$ . (1)
c)Les $6$ chemins sont deux à deux incompatibles et ont la même probabilité : $P (X = 2) = 6 \times 0, 057 6 = 0, 345 6$ . (1)
d) $X$ suit $ℬ (4; 0, 4)$ . $P (X = 0) = 0, 6^{4} = 0, 129 6$ ; $P (X = 1) = 4 \times 0, 4 \times 0, 6^{3} = 0, 345 6$ ; $P (X = 2) = 0, 345 6$ ; $P (X = 3) = 4 \times 0, 4^{3} \times 0, 6 = 0, 153 6$ ; $P (X = 4) = 0, 4^{4} = 0, 025 6$ . Contrôle : $0, 129 6 + 0, 345 6 + 0, 345 6 + 0, 153 6 + 0, 025 6 = 1$ . (1)

Repère — P(X = k) = nombre de chemins à k succès × probabilité d’un de ces chemins : c’est toute la démonstration de la formule.

Exercice 3 – Réclamations téléphoniques ★★★

(4 pts)

a)Chaque appel est une épreuve de Bernoulli de succès « l’appel est une réclamation », de probabilité $0, 12$ ; les $60$ appels sont identiques et indépendants : $X$ suit $ℬ (60; 0, 12)$ . $E (X) = 60 \times 0, 12 = 7, 2$ ; $V (X) = 60 \times 0, 12 \times 0, 88 = 6, 336$ et $σ (X) = \sqrt{6, 336} \approx 2, 52$ . (1)
b) $P (X = 7) = (\binom{60}{7}) \times 0, 12^{7} \times 0, 88^{53} \approx 0, 158$ (calculatrice). (1)
c)Le contraire de « au moins $10$ » est « au plus $9$ » : $P (X ⩾ 10) = 1 - P (X ⩽ 9)$ . La calculatrice donne $P (X ⩽ 9) \approx 0, 822$ , donc $P (X ⩾ 10) \approx 0, 178$ . (1)
d)La suite des $P (X ⩽ k)$ est croissante. $P (X ⩽ 2) \approx 0, 020 ⩽ 0, 025$ et $P (X ⩽ 3) \approx 0, 060 > 0, 025$ : $a = 3$ . $P (X ⩽ 11) \approx 0, 949 < 0, 975$ et $P (X ⩽ 12) \approx 0, 976 ⩾ 0, 975$ : $b = 12$ . Alors $P (3 ⩽ X ⩽ 12) = P (X ⩽ 12) - P (X ⩽ 2)$ $⩾ 1 - 2 \times 0, 025 = 0, 95$ , donc $P (X \notin [3; 12]) = 1 - P (3 ⩽ X ⩽ 12) ⩽ 0, 05$ ; à la calculatrice, $P (X \notin [3; 12]) \approx 0, 044$ . L’intervalle $I = [3; 12]$ convient. (1)

Repère — Un seuil se justifie toujours par les deux valeurs de la calculatrice qui l’encadrent.

Exercice 4 – Visiteurs d’un site marchand ★★★

(4 pts)

a)Chaque visiteur est une épreuve de Bernoulli de succès « il achète », de probabilité $0, 04$ ; les $n$ visiteurs sont indépendants : $X_{n}$ suit $ℬ (n; 0, 04)$ . Donc $P (X_{n} = 0) = 0, 96^{n}$ et, par l’événement contraire, $P (X_{n} ⩾ 1) = 1 - 0, 96^{n}$ . (1)
b) $1 - 0, 96^{n} ⩾ 0, 95 ⟺ 0, 96^{n} ⩽ 0, 05$ $⟺ n \ln 0, 96 ⩽ \ln 0, 05$ (la fonction $\ln$ est croissante) $⟺ n ⩾ \frac{\ln 0, 05}{\ln 0, 96}$ , car on divise par $\ln 0, 96 < 0$ . Or $\frac{\ln 0, 05}{\ln 0, 96} \approx 73, 4$ : il faut au moins $74$ visiteurs. (1)
c)Le contraire de ${X_{50} ⩾ 2}$ est ${X_{50} ⩽ 1}$ , pas ${X_{50} ⩽ 2}$ : l’élève a retiré $P (X_{50} = 2)$ à tort. La bonne valeur : $P (X_{50} ⩾ 2) = 1 - P (X_{50} = 0) - P (X_{50} = 1)$ $= 1 - 0, 96^{50} - 50 \times 0, 04 \times 0, 96^{49}$ . Avec $0, 96^{50} \approx 0, 129 9$ et $2 \times 0, 96^{49} \approx 0, 270 6$ , on obtient $P (X_{50} ⩾ 2) \approx 0, 600$ . (1)
d) $X_{50}$ suit $ℬ (50; p)$ , donc $E (X_{50}) = 50 p$ . $50 p = 3$ donne $p = 0, 06$ . Alors $V (X_{50}) = 50 \times 0, 06 \times 0, 94 = 2, 82$ et $σ (X_{50}) = \sqrt{2, 82} \approx 1, 68$ . (1)

Repère — « Au moins un » : on passe par « aucun », puis le logarithme donne le nombre minimal d’épreuves.

Exercice 5 – Démonstration et raisonnement ★★★

(4 pts)

a) $X$ compte les succès d’un schéma de Bernoulli de $n$ épreuves. L’événement ${X = k}$ est la réunion des issues de l’arbre qui comportent exactement $k$ succès et $n - k$ échecs. Les épreuves étant indépendantes, chacune de ces issues a pour probabilité le produit $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Ces issues sont deux à deux incompatibles, et il y en a $(\binom{n}{k})$ (choix des positions des $k$ succès parmi les $n$ épreuves). En additionnant : $P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . (1)
b) $P (X = 1) = (\binom{n}{1}) p (1 - p)^{n - 1} = n p (1 - p)^{n - 1}$ et $P (X = 0) = (1 - p)^{n} \neq 0$ car $p < 1$ . Donc $\frac{P (X = 1)}{P (X = 0)} = \frac{n p (1 - p)^{n - 1}}{(1 - p)^{n}} = \frac{n p}{1 - p}$ . (1)
c)D’après la question précédente, $P (X = 1) = 2 P (X = 0) ⟺ \frac{0, 2 n}{0, 8} = 2$ $⟺ 0, 25 n = 2 ⟺ n = 8$ . (1)
d) $P (X = 0) = 0, 8^{8} \approx 0, 168$ ; $P (X = 1) = 8 \times 0, 2 \times 0, 8^{7} = 1, 6 \times 0, 8^{7} \approx 0, 336$ (bien le double). $P (X ⩾ 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1)$ $= 1 - 0, 8^{8} - 1, 6 \times 0, 8^{7} \approx 0, 497$ , calculé avec les valeurs exactes. (1)

Repère — La démonstration de la formule tient en trois mots : indépendance (produit), incompatibilité (somme), dénombrement des chemins.

Pour aller plus loin : le devoir surveillé bilan « Dénombrement, loi binomiale et sommes de variables aléatoires » mélange ce chapitre avec d'autres, en 3 niveaux : niveau ★ · niveau ★★ · niveau ★★★.

Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Loi binomiale » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Tirs à l’arc ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Chemins de l’arbre ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Réclamations téléphoniques ★★★/ 4 pts
Exercice 4 — Visiteurs d’un site marchand ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Démonstration et raisonnement ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli, épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli, loi binomiale, coefficients binomiaux, formule de P(X = k), probabilités cumulées, espérance, variance, écart type, seuil, intervalle de probabilité.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (36 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

Voir tous les contrôles de spécialité mathématiques Terminale · tous les devoirs surveillés corrigés

Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Loi binomiale » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Loi binomiale » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit : succession d’épreuves indépendantes ; épreuve, loi et schéma de Bernoulli ; loi binomiale et coefficients binomiaux ; expression de P(X = k) (démonstration exigible) ; calcul de P(X = k), P(X ≤ k), P(a ≤ X ≤ b) ; espérance, variance et écart type d’une loi binomiale ; problèmes de seuil et intervalle de probabilité.

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