Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Loi binomiale
Modélisation des épreuves répétées : schéma de Bernoulli, espérance et écart-type (programme de Terminale Spécialité Maths)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Modélisation et loi de la variable
/ 4 ptsUn arbre fruitier porte des fruits dont 15 % sont abîmés. On cueille 12 fruits au hasard (les fruits sont suffisamment nombreux pour considérer les tirages indépendants). Soit $X$ le nombre de fruits abîmés parmi les 12.
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres.
- Calculer $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$, arrondis à $10^{-4}$.
- En déduire $P(X \leq 1)$.
Exercice 2 — Espérance et écart-type
/ 4 ptsDans un jeu de loterie, la probabilité de gagner à chaque partie est $p = \frac{1}{5}$. Un joueur effectue 25 parties indépendantes. Soit $Y$ le nombre de parties gagnées.
- Quelle est la loi de $Y$ ?
- Calculer l'espérance $E(Y)$ et interpréter ce résultat.
- Calculer la variance $V(Y)$ et l'écart-type $\sigma(Y)$ (arrondi à $10^{-2}$).
- Calculer $P(Y = E(Y))$ arrondi à $10^{-3}$.
Exercice 3 — Probabilité cumulée et interprétation
/ 5 ptsUn médicament contre la grippe a une efficacité de 72 %. On le prescrit à 18 patients grippés indépendants. Soit $G$ le nombre de patients guéris.
- Donner la loi de $G$.
- À l'aide de la calculatrice, calculer $P(G \leq 12)$ arrondi à $10^{-4}$.
- En déduire $P(G \geq 13)$.
- Calculer $P(10 \leq G \leq 14) = P(G \leq 14) - P(G \leq 9)$, sachant que $P(G \leq 14) \approx 0{,}8499$ et $P(G \leq 9) \approx 0{,}0557$.
- Interpréter la probabilité $P(G \geq 13)$ dans le contexte.
Exercice 4 — Coefficients binomiaux et formule
/ 3 pts- Calculer $\binom{8}{3}$ à l'aide de la formule factorielle.
- Vérifier la relation de Pascal : $\binom{8}{3} = \binom{7}{2} + \binom{7}{3}$.
- Pour $X \sim \mathcal{B}(8, \frac{1}{3})$, calculer $P(X = 3)$ (arrondi à $10^{-3}$).
Exercice 5 — Problème ouvert — Recherche d'un paramètre
/ 4 ptsUne chaîne de production fabrique des pièces. On modélise le nombre $X$ de pièces défectueuses dans un lot de $n$ pièces par une loi $\mathcal{B}(n, 0{,}05)$.
- Calculer $P(X = 0)$ en fonction de $n$.
- On souhaite que la probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse soit supérieure à 90 %. Traduire cette condition par une inégalité sur $P(X = 0)$.
- En utilisant les logarithmes, déterminer la plus petite valeur entière de $n$ satisfaisant cette condition. (Rappel : $\ln(0{,}95) \approx -0{,}0513$.)
- Interpréter le résultat.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Modélisation et loi de la variable
Corrigé :
a) Chaque fruit est abîmé (succès, $p = 0{,}15$) ou sain (échec) indépendamment des autres, la probabilité étant la même pour chaque fruit. On répète $n = 12$ fois l'épreuve. Donc $X \sim \mathcal{B}(12, 0{,}15)$.
b) $P(X=0) = (0{,}85)^{12} \approx 0{,}1422$.
$P(X=1) = \binom{12}{1}(0{,}15)^1(0{,}85)^{11} = 12 \times 0{,}15 \times (0{,}85)^{11} \approx 12 \times 0{,}15 \times 0{,}1673 \approx 0{,}3012$.
c) $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0{,}1422 + 0{,}3012 = 0{,}4434$.
Exercice 2 — Espérance et écart-type
Corrigé :
a) $Y \sim \mathcal{B}\!\left(25, \frac{1}{5}\right) = \mathcal{B}(25, 0{,}2)$.
b) $E(Y) = 25 \times 0{,}2 = 5$. En moyenne, le joueur gagne 5 parties sur 25.
c) $V(Y) = 25 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 4$. $\sigma(Y) = \sqrt{4} = 2$.
d) $E(Y) = 5$ (entier). $P(Y = 5) = \binom{25}{5}(0{,}2)^5(0{,}8)^{20} = 53130 \times (3{,}2 \times 10^{-4}) \times (0{,}8)^{20}$.
$(0{,}8)^{20} \approx 0{,}01153$. $P(Y=5) \approx 53130 \times 3{,}2 \times 10^{-4} \times 0{,}01153 \approx 0{,}196$.
Exercice 3 — Probabilité cumulée et interprétation
Corrigé :
a) $G \sim \mathcal{B}(18, 0{,}72)$.
b) Par calculatrice (binomcdf) : $P(G \leq 12) \approx 0{,}2355$.
c) $P(G \geq 13) = 1 - P(G \leq 12) \approx 1 - 0{,}2355 = 0{,}7645$.
d) $P(10 \leq G \leq 14) = P(G \leq 14) - P(G \leq 9) \approx 0{,}8499 - 0{,}0557 = 0{,}7942$.
e) $P(G \geq 13) \approx 76{,}5\%$. Il y a environ 76 chances sur 100 que 13 patients ou plus sur 18 soient guéris par ce médicament. C'est un bon indicateur d'efficacité.
Exercice 4 — Coefficients binomiaux et formule
Corrigé :
a) $\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56$.
b) $\binom{7}{2} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = 21$ et $\binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = 35$. $21 + 35 = 56 = \binom{8}{3}$. ✓
c) $P(X=3) = 56 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 56 \times \frac{1}{27} \times \frac{32}{243} = 56 \times \frac{32}{6561} = \frac{1792}{6561} \approx 0{,}273$.
Exercice 5 — Problème ouvert — Recherche d'un paramètre
Corrigé :
a) $P(X=0) = \binom{n}{0}(0{,}05)^0(0{,}95)^n = (0{,}95)^n$.
b) $P(X \geq 1) \geq 0{,}9 \Leftrightarrow 1 - P(X=0) \geq 0{,}9 \Leftrightarrow P(X=0) \leq 0{,}1$, soit $(0{,}95)^n \leq 0{,}1$.
c) En prenant le logarithme (négatif, l'inégalité change de sens) :
$n \ln(0{,}95) \leq \ln(0{,}1)$
$n \geq \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}95)} = \frac{-\ln 10}{\ln(0{,}95)} \approx \frac{-2{,}303}{-0{,}0513} \approx 44{,}9$.
La plus petite valeur entière est $n = 45$.
d) Il faut prélever au moins 45 pièces pour avoir plus de 90 % de chances de trouver au moins une pièce défectueuse dans le lot.
Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Loi binomiale » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Modélisation et loi de la variable/ 4 pts
- Exercice 2 — Espérance et écart-type/ 4 pts
- Exercice 3 — Probabilité cumulée et interprétation/ 5 pts
- Exercice 4 — Coefficients binomiaux et formule/ 3 pts
- Exercice 5 — Problème ouvert — Recherche d'un paramètre/ 4 pts
Notions évaluées
Épreuve de Bernoulli, Répétition d'épreuves indépendantes — schéma de Bernoulli, Coefficients binomiaux, Loi binomiale : définition et formule, Représentation graphique de la loi binomiale, Espérance, variance et écart-type.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Loi binomiale » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Loi binomiale » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit Épreuve de Bernoulli, Répétition d'épreuves indépendantes — schéma de Bernoulli, Coefficients binomiaux, Loi binomiale : définition et formule.
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