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Fiche de révision : loi binomiale

Épreuve et schéma de Bernoulli, loi binomiale et formule de P(X = k), P(X ≤ k) à la calculatrice, espérance, variance et écart type, seuils et intervalles de probabilité.

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Loi binomiale

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Probabilités · Loi binomiale)

La démarche pour un exercice de loi binomiale

1. Je justifie la loi : succès nommé et $p$ , $n$ répétitions identiques et indépendantes, conclusion « $X$ suit $ℬ (n; p)$ ».

2. Je traduis la question en événement : $X = k$ , $X ⩽ k$ , $X ⩾ k$ , $a ⩽ X ⩽ b$ .

3. Je calcule : formule pour $P (X = k)$ , calculatrice pour $P (X ⩽ k)$ , contraire pour le reste.

4. Je conclus par une phrase dans le contexte, avec la valeur arrondie demandée.

Le réflexe — la loi binomiale ne se donne jamais sans justification : un « X suit B(n ; p) » sans les trois vérifications (deux issues, répétition identique, indépendance) perd des points.

Cas 1 · Justifier une loi binomiale

Réflexe — je nomme le succès et sa probabilité, je cite la répétition identique et l’indépendance (avec remise ou population très grande).

Exemple. Questions types : « Justifier que $X$ suit une loi binomiale ; préciser ses paramètres ». Exemple : un vaccin protège $92 %$ des personnes ; on choisit $15$ personnes vaccinées dans une grande population, et $X$ compte les personnes non protégées.

Choisir une personne est une épreuve de Bernoulli de succès « la personne n’est pas protégée », de probabilité $p = 1 - 0, 92 = 0, 08$ .

La population est grande : on assimile le choix des $15$ personnes à $15$ tirages avec remise, identiques et indépendants.

$X$ compte les succès : $X$ suit $ℬ (15; 0, 08)$ .

Attention — p est la probabilité de ce que l’on compte : ici 0,08 et non 0,92.

Cas 2 · Calculer P(X = k)

Réflexe — coefficient binomial, p puissance k, (1 − p) puissance n − k ; valeurs exactes jusqu’au bout.

Exemple. Questions types : « Calculer la probabilité d’obtenir exactement $k$ succès ». Exemple : $X$ suit $ℬ (6; 0, 25)$ , calculer $P (X = 2)$ .

$(\binom{6}{2}) = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ .

$P (X = 2) = 15 \times 0, 25^{2} \times 0, 75^{4}$ $= 15 \times \frac{1}{16} \times \frac{81}{256}$ $= \frac{1 215}{4 096}$ .

Donc $P (X = 2) \approx 0, 297$ .

Attention — sans le coefficient binomial, on n’a que la probabilité d’un seul chemin.

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Cas 3 · Au moins, au plus, entre

Réflexe — j’écris l’événement, je le traduis en « X ≤ … » ; pour « au moins k », je passe au contraire « au plus k − 1 ».

Exemple. Questions types : « Probabilité d’au moins $k$ succès », « d’au plus $k$ », « entre $a$ et $b$ ». Exemple : $X$ suit $ℬ (18; 0, 35)$ , calculer $P (X ⩾ 5)$ .

Le contraire de « au moins $5$ » est « au plus $4$ » : $P (X ⩾ 5) = 1 - P (X ⩽ 4)$ .

La calculatrice donne $P (X ⩽ 4) \approx 0, 189$ .

Donc $P (X ⩾ 5) \approx 0, 811$ .

Attention — « au moins 5 » se calcule avec P(X ≤ 4), pas avec P(X ≤ 5).

Cas 4 · Espérance et écart type

Réflexe — E(X) = np, V(X) = np(1 − p), puis la racine carrée ; j’interprète E(X) comme une moyenne sur un grand nombre de séries.

Exemple. Questions types : « Calculer l’espérance de $X$ et l’interpréter », « Donner l’écart type ». Exemple : $X$ suit $ℬ (400; 0, 05)$ .

$E (X) = 400 \times 0, 05 = 20$ : en moyenne, sur un grand nombre de séries de $400$ épreuves, on obtient $20$ succès.

$V (X) = 400 \times 0, 05 \times 0, 95 = 19$ .

$σ (X) = \sqrt{19} \approx 4, 36$ .

Attention — np(1 − p) est la variance, pas l’écart type.

Cas 5 · Seuils et intervalles

Réflexe — seuil sur n : logarithme, division par ln(1 − p) < 0 ; seuil sur k ou intervalle : tableau de la calculatrice et deux valeurs qui encadrent.

Exemple. Questions types : « Combien d’épreuves pour que la probabilité d’au moins un succès dépasse… ? », « Plus petit $k$ tel que $P (X ⩽ k) ⩾$ … ». Exemple : $p = 0, 15$ et on veut $P (X ⩾ 1) ⩾ 0, 999$ .

$1 - 0, 85^{n} ⩾ 0, 999 ⟺ 0, 85^{n} ⩽ 0, 001$ .

$n \ln 0, 85 ⩽ \ln 0, 001 ⟺ n ⩾ \frac{\ln 0, 001}{\ln 0, 85} \approx 42, 5$ , car $\ln 0, 85 < 0$ .

Il faut au moins $43$ épreuves.

Attention — diviser par un logarithme négatif change le sens de l’inégalité ; on arrondit à l’entier supérieur.

Les pièges

Tirage sans remise dans une petite population : pas d’indépendance, pas de loi binomiale.
P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) : l’entier change quand on passe au contraire.
Une issue précise (un seul chemin) n’a pas de coefficient binomial ; l’événement « X = k » en a un.
σ(X) est la racine carrée de np(1 − p).
Pour un seuil, on compare des valeurs non arrondies et on cite les deux valeurs qui encadrent.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche d’un exercice de loi binomiale, puis, pour chacun des cinq cas du cours, les questions types du bac et une réponse rédigée : justifier une loi binomiale, calculer P(X = k), traiter « au moins » et « au plus », espérance et écart type, nombre minimal d’épreuves. Les formules à connaître sont dans la fiche tableaux.

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