Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Loi binomiale

Modélisation des épreuves répétées : schéma de Bernoulli, espérance et écart-type (programme de Terminale Spécialité Maths)

La loi binomiale modélise le nombre de succès quand on répète une même expérience à deux issues : il faut savoir la reconnaître, calculer $P (X = k)$ , $E (X)$ et $σ (X)$ , et résoudre les questions de seuil.

Télécharger la fiche PDF

Définitions

Épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues, succès de probabilité $p$ , échec de probabilité $1 - p$ .
Loi de Bernoulli : $X \in {0; 1}$ , $P (X = 1) = p$ , $E (X) = p$ , $V (X) = p (1 - p)$ .
Schéma de Bernoulli : répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ( $n$ fixé).
Loi binomiale $ℬ (n; p)$ : loi du nombre de succès $X$ d'un schéma de Bernoulli.
Coefficient binomial $(\binom{n}{k})$ : nombre de chemins de l'arbre comportant exactement $k$ succès.

Formules

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ pour $0 \leq k \leq n$ .
$E (X) = n p$ ; $V (X) = n p (1 - p)$ ; $σ (X) = \sqrt{n p (1 - p)}$ .
$P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ ; $P (X > k) = 1 - P (X \leq k)$ ; $P (a \leq X \leq b) = P (X \leq b) - P (X \leq a - 1)$ .
$P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ .
$(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ ; $(\binom{n}{1}) = n$ ; $(\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2}$ ; $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ ; $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$ .

Méthodes

Justifier une loi binomiale : nommer le succès et $p$ ; vérifier « $n$ répétitions identiques et indépendantes » (avec remise ou population très grande) ; conclure $X ~ ℬ (n; p)$ .
Calculer une probabilité : formule pour $P (X = k)$ ; calculatrice (binomFdp, binomFRép) pour $P (X \leq k)$ ; passage au contraire pour $P (X \geq k)$ .
Trouver un seuil en $k$ : tableau de valeurs de $P (X \leq k)$ , citer les deux valeurs qui encadrent $α$ .
Trouver $n$ minimal : $1 - (1 - p)^{n} \geq α$ ; logarithme ; division par $\ln (1 - p) < 0$ en changeant le sens ; plus petit entier et vérification.

Démonstration exigible

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ : l'événement ${X = k}$ réunit les issues à $k$ succès ; par indépendance, chacune a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; ces issues sont incompatibles et il y en a $(\binom{n}{k})$ ; on additionne.

Pièges

Tirage sans remise : pas d'indépendance, pas de loi binomiale (sauf population très grande, hypothèse à citer).
$P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ : décalage d'indice.
$p$ est la probabilité de ce que l'on compte, même petite.
$σ (X)$ est la racine carrée de $n p (1 - p)$ , pas $n p (1 - p)$ .
Comparer les valeurs non arrondies au seuil ; ne pas arrondir avant le dernier calcul.

L'essentiel

Schéma de Bernoulli : n épreuves à deux issues, identiques et indépendantes, de probabilité de succès p.
Si X suit B(n ; p), alors P(X = k) = (k parmi n) × p^k × (1 − p)^(n − k).
E(X) = np, V(X) = np(1 − p), σ(X) = √(np(1 − p)).
P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) et P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)^n.
Pour trouver n minimal : inéquation, logarithme, division par ln(1 − p) < 0 qui change le sens.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs