Loi binomiale

Dans chaque situation, $X$ compte les succès d’un schéma de Bernoulli. Donne le paramètre $p$ (nombre décimal ou fraction, exemple : 2/5).

1. On lance $12$ fois une pièce équilibrée et $X$ compte les « Face » : $p$ =
   Succès « obtenir Face », de probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$ ; ici $n=12$.
2. Un QCM de $10$ questions offre $4$ choix dont un seul juste ; on répond au hasard et $X$ compte les bonnes réponses : $p$ =
   Un seul choix juste sur $4$ équiprobables : $p={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$.
3. Une roue de loterie a $8$ secteurs égaux, dont $3$ gagnants ; on la fait tourner $6$ fois et $X$ compte les gains : $p$ =
   $3$ secteurs gagnants sur $8$ : $p={\displaystyle \frac{3}{8}}=0,375$.
4. $7\%$ des habitants d’un pays sont gauchers. On interroge $40$ habitants au hasard (population très grande) et $X$ compte les droitiers : $p$ =
   Le succès est ce que l’on compte : être droitier, de probabilité $1-0,07=0,93$.

Sur son trajet, un cycliste passe $3$ feux. Chaque feu est vert ($V$) avec la probabilité $0,6$, rouge ($R$) sinon, indépendamment des autres. Donne des valeurs exactes.

1. Nombre d’issues de l’arbre :
   Trois épreuves à deux issues : $2\times 2\times 2=8$ chemins.
2. $P(V;V;R)$ =
   Feux indépendants : $0,6\times 0,6\times 0,4=0,144$.
3. Probabilité qu’aucun feu ne soit vert :
   C’est l’issue $(R;R;R)$ : $0,4^3=0,064$.
4. Probabilité que les trois feux soient verts :
   $0,6^3=0,216$.

Une usine fabrique des flacons ; $3\%$ d’entre eux fuient. On prélève $25$ flacons au hasard ; la production est assez importante pour assimiler ce prélèvement à $25$ tirages avec remise. $X$ est le nombre de flacons qui fuient.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Son paramètre $p$ =
   Rédaction attendue. Prélever un flacon est une épreuve de Bernoulli dont le succès, « le flacon fuit », a pour probabilité $p=0,03$. La production étant assez importante, le prélèvement des $25$ flacons est assimilé à $25$ tirages avec remise : ces $25$ épreuves sont identiques et indépendantes. $X$ compte les succès de ce schéma de Bernoulli : $X$ suit la loi binomiale $ℬ(25;0,03)$.
2. Probabilité qu’un flacon prélevé ne fuie pas :
   C’est l’événement contraire de « le flacon fuit » : $1-0,03=0,97$.

Une urne contient $5$ boules : $2$ rouges ($R$) et $3$ noires. On tire successivement deux boules. Donne des fractions irréductibles (exemple : 2/5) ou des décimaux.

1. Avec remise : $P(R;R)$ =
   Avec remise, l’urne est la même aux deux tirages : ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{4}{25}}$.
2. Sans remise, sachant que la 1^re boule est rouge, la probabilité que la 2^e soit rouge vaut
   Il reste $4$ boules dont $1$ rouge : ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.
3. Sans remise : $P(R;R)$ =
   Produit le long du chemin : ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{20}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$.
4. Justifier que, sans remise, le nombre de boules rouges tirées ne suit pas une loi binomiale. Sans remise, la probabilité que la 2^e boule soit rouge sachant que la 1^re est noire vaut
   Rédaction attendue. Si la 1^re boule est noire, il reste $4$ boules dont $2$ rouges : la probabilité que la 2^e soit rouge vaut ${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Si la 1^re est rouge, elle vaut ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. Le résultat du second tirage dépend donc du premier : les deux tirages ne sont pas indépendants. Ce n’est pas un schéma de Bernoulli, et le nombre de boules rouges ne suit pas une loi binomiale.

Coefficients binomiaux : ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}$ est le nombre de chemins de l’arbre à exactement $k$ succès parmi $n$ épreuves.

1. Dans un schéma de $9$ épreuves, nombre de chemins à exactement $1$ succès :
   Le succès unique peut être à l’une des $9$ positions : ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1}\right)}=9$.
2. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{2}\right)}$ =
   ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$, donc ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{2}\right)}={\displaystyle \frac{15\times 14}{2}}=105$.
3. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{9}\right)}$ =
   Par symétrie, ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{9}\right)}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)}={\displaystyle \frac{11\times 10}{2}}=55$.
4. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{20}\right)}$ =
   Un seul chemin a $20$ succès sur $20$ épreuves : celui où toutes les épreuves sont des succès.

Calcule la probabilité exacte, en nombre décimal.

1. $X$ suit $ℬ(4;0,5)$ : $P(X=3)$ =
   $P(X=3)={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)}\times 0,5^3\times 0,5=4\times 0,0625=0,25$.
2. $X$ suit $ℬ(3;0,2)$ : $P(X=1)$ =
   $P(X=1)=3\times 0,2\times 0,8^2=3\times 0,2\times 0,64=0,384$.
3. $X$ suit $ℬ(5;0,1)$ : $P(X=0)$ =
   $P(X=0)=(1-p{)}^n=0,9^5=0,59049$.
4. $X$ suit $ℬ(4;0,3)$ : $P(X=4)$ =
   $P(X=4)=p^4=0,3^4=0,0081$.

Un basketteur réussit un tir à trois points avec la probabilité $0,2$. Il tente $5$ tirs, indépendants les uns des autres, et $X$ compte les tirs réussis.

1. Démontrer que $P(X=3)={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}\times 0,2^3\times 0,8^2$. Valeur de ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}$, nombre de chemins de l’arbre comportant exactement $3$ réussites :
   Rédaction attendue. Chaque tir est une épreuve de Bernoulli de succès « le tir est réussi », de probabilité $0,2$ ; les $5$ tirs sont identiques et indépendants, donc $X$ suit $ℬ(5;0,2)$. Un chemin à $3$ réussites et $2$ échecs a pour probabilité $0,2^3\times 0,8^2$ (produit, par indépendance). Il y a ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}={\displaystyle \frac{5\times 4}{2}}=10$ tels chemins, deux à deux incompatibles. Donc $P(X=3)=10\times 0,2^3\times 0,8^2$.
2. $P(X=3)$ = (valeur exacte)
   $10\times 0,008\times 0,64=0,0512$.
3. Probabilité qu’il réussisse ses $5$ tirs : (valeur exacte)
   $P(X=5)=0,2^5=0,00032$ : un seul chemin.

On cherche un paramètre d’une loi binomiale. Donne un nombre décimal ou une fraction irréductible.

1. $X$ suit $ℬ(3;p)$ et $P(X=0)=0,343$. Alors $p$ =
   $P(X=0)=(1-p{)}^3=0,343=0,7^3$, donc $1-p=0,7$ (la fonction cube est strictement croissante) et $p=0,3$.
2. Avec cette valeur de $p$, $P(X=2)$ =
   $P(X=2)={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}\times 0,3^2\times 0,7=3\times 0,09\times 0,7=0,189$.
3. $Y$ suit $ℬ(10;p)$. On pose $f(p)=P(Y=1)=10p(1-p{)}^9$ pour $p\in [0;1]$. Démontrer que $f\prime (p)=10(1-p{)}^8(1-10p)$. Valeur de $p$ qui rend $P(Y=1)$ maximale :
   Rédaction attendue. $f\prime (p)=10(1-p{)}^9-90p(1-p{)}^8=10(1-p{)}^8[(1-p)-9p]=10(1-p{)}^8(1-10p)$. Sur $[0;1[$, $(1-p{)}^8>0$ : $f\prime (p)$ a le signe de $1-10p$, positif sur $\left[0;{\displaystyle \frac{1}{10}}\right]$ et négatif sur $\left[{\displaystyle \frac{1}{10}};1\right]$. $f$ est donc maximale en $p={\displaystyle \frac{1}{10}}$.

$X$ est une variable aléatoire à valeurs entières. Complète avec un entier.

1. $P(X⩾6)=1-P(X⩽k)$ avec $k$ =
   Le contraire de « au moins $6$ » est « au plus $5$ ».
2. $P(X>4)=1-P(X⩽k)$ avec $k$ =
   Le contraire de « strictement plus de $4$ » est « au plus $4$ ».
3. $P(3⩽X⩽9)=P(X⩽9)-P(X⩽k)$ avec $k$ =
   On retire les valeurs $0$, $1$, $2$, qui sont en dessous de $3$ : $k=2$.
4. $P(X<7)=P(X⩽k)$ avec $k$ =
   $X$ est entier : « moins de $7$ » signifie « au plus $6$ ».

$X$ suit $ℬ(30;0,4)$. À la calculatrice, arrondis au millième.

1. $P(X=12)\approx$
   Calculatrice (binomFdp) : $P(X=12)\approx 0,147$.
2. $P(X⩽10)\approx$
   Calculatrice (binomFRép) : $P(X⩽10)\approx 0,291$.
3. $P(X⩾15)\approx$
   $P(X⩾15)=1-P(X⩽14)\approx 0,175$.

$X$ suit $ℬ(5;0,3)$ et $Y$ suit $ℬ(40;0,15)$.

1. Démontrer, sans calculatrice, que $P(X⩾2)=1-0,7^5-1,5\times 0,7^4$. Valeur exacte de $P(X⩾2)$ :
   Rédaction attendue. Le contraire de $\{X⩾2\}$ est $\{X⩽1\}$, réunion des événements incompatibles $\{X=0\}$ et $\{X=1\}$. Or $P(X=0)=0,7^5$ et $P(X=1)={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)}\times 0,3\times 0,7^4=1,5\times 0,7^4$. Donc $P(X⩾2)=1-0,7^5-1,5\times 0,7^4$ $=1-0,16807-0,36015=0,47178$.
2. $P(Y⩾1)\approx$ (au millième)
   $P(Y⩾1)=1-0,{85}^{40}\approx 0,998$.
3. $P(3⩽Y⩽8)\approx$ (au millième)
   $P(3⩽Y⩽8)=P(Y⩽8)-P(Y⩽2)\approx 0,816$ (calculatrice, valeurs non arrondies).
4. $P(Y>6)\approx$ (au millième)
   $P(Y>6)=1-P(Y⩽6)\approx 0,393$.

Un joueur de fléchettes atteint la cible avec la probabilité $0,7$ à chaque lancer, indépendamment des autres. Il lance $20$ fléchettes ; $X$ compte les fléchettes dans la cible. Arrondis au millième.

1. Probabilité d’atteindre la cible strictement plus de $15$ fois :
   $X$ suit $ℬ(20;0,7)$ et $P(X>15)=1-P(X⩽15)\approx 0,238$.
2. Probabilité de manquer la cible au plus $2$ fois :
   Manquer au plus $2$ fois, c’est atteindre la cible au moins $18$ fois : $P(X⩾18)=1-P(X⩽17)\approx 0,035$.
3. Probabilité de manquer la cible au moins $7$ fois :
   Manquer au moins $7$ fois, c’est atteindre la cible au plus $13$ fois : $P(X⩽13)\approx 0,392$.

Donne des valeurs exactes, sauf mention « au centième ».

1. $X$ suit $ℬ(60;0,25)$ : $E(X)$ =
   $E(X)=np=60\times 0,25=15$.
2. $V(X)$ =
   $V(X)=np(1-p)=60\times 0,25\times 0,75=11,25$.
3. $\sigma (X)\approx$ (au centième)
   $\sigma (X)=\sqrt{11,25}\approx 3,35$.
4. $Y$ suit $ℬ\left(18;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ : $\sigma (Y)$ =
   $V(Y)=18\times {\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=4$, donc $\sigma (Y)=\sqrt{4}=2$.

Dans un magasin, un client paie par carte avec la probabilité $0,35$. La variable $Z$ vaut $1$ si le client paie par carte, $0$ sinon.

1. $Z$ suit une loi de Bernoulli : $P(Z=0)$ =
   Loi de Bernoulli de paramètre $p=0,35$ : $P(Z=0)=1-p=0,65$, et $E(Z)=p$.
2. $V(Z)$ =
   $V(Z)=p(1-p)=0,35\times 0,65=0,2275$.
3. Sur $400$ clients aux comportements indépendants, nombre moyen de paiements par carte :
   Le nombre de paiements par carte suit $ℬ(400;0,35)$, d’espérance $400\times 0,35=140$.

Paramètres d’une loi binomiale à partir de l’espérance et de la variance.

1. $X$ suit $ℬ(n;p)$ avec $E(X)=12$ et $V(X)=8,4$. Démontrer que $1-p={\displaystyle \frac{V(X)}{E(X)}}$, puis donner $p$ =
   Rédaction attendue. On a $E(X)=np=12$ et $V(X)=np(1-p)=8,4$. En divisant la seconde égalité par la première ($np=12\ne 0$) : ${\displaystyle \frac{V(X)}{E(X)}}={\displaystyle \frac{np(1-p)}{np}}=1-p$, donc $1-p={\displaystyle \frac{8,4}{12}}=0,7$. Donc $p=0,3$.
2. $n$ =
   $np=12$ donne $n={\displaystyle \frac{12}{0,3}}=40$.
3. Pour $n=100$, démontrer que $V(X)⩽25$ quel que soit $p$. Valeur de $p$ pour laquelle $V(X)=25$ :
   Rédaction attendue. $V(X)=100p(1-p)$. Or $p(1-p)=p-p^2={\displaystyle \frac{1}{4}}-{(p-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$, et un carré est positif : $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$, avec égalité si et seulement si $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Donc $V(X)⩽100\times {\displaystyle \frac{1}{4}}=25$, et $V(X)=25$ pour $p=0,5$ seulement.

Un joueur lance $10$ fois un dé équilibré. Il mise $6$ € et reçoit $3$ € par « 6 » obtenu. $X$ est le nombre de « 6 » et $G=3X-6$ son gain algébrique, en euros.

1. $E(X)$ = (fraction)
   $X$ suit $ℬ\left(10;{\displaystyle \frac{1}{6}}\right)$ : $E(X)=10\times {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$.
2. Justifier la valeur de l’espérance du gain : $E(G)$ = €
   Rédaction attendue. Par linéarité, $E(G)=E(3X-6)=3E(X)-6$ $=3\times {\displaystyle \frac{5}{3}}-6=5-6=-1$. En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perd $1$ € par partie.
3. Mise $m$ (en €) qui rendrait le jeu équitable, c’est-à-dire $E(3X-m)=0$ : $m$ =
   $E(3X-m)=3\times {\displaystyle \frac{5}{3}}-m=5-m$, nul pour $m=5$.
4. Écart type du gain : $\sigma (G)\approx$ € (au centième)
   $V(X)=10\times {\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{50}{36}}$, puis $V(G)=3^{2}V(X)={\displaystyle \frac{450}{36}}=12,5$ et $\sigma (G)=\sqrt{12,5}\approx 3,54$.

Résous l’inéquation avec le logarithme népérien et donne le plus petit entier $n$.

1. Le plus petit entier $n$ tel que $1-0,8^n⩾0,95$ est
   $0,8^n⩽0,05⟺n\ln 0,8⩽\ln 0,05$ $⟺n⩾{\displaystyle \frac{\ln 0,05}{\ln 0,8}}\approx 13,4$ (car $\ln 0,8<0$) : $n=14$.
2. Le plus petit entier $n$ tel que $1-0,{97}^n⩾0,5$ est
   $0,{97}^n⩽0,5⟺n⩾{\displaystyle \frac{\ln 0,5}{\ln 0,97}}\approx 22,8$ : $n=23$.

$X$ suit $ℬ(30;0,25)$. La calculatrice donne, arrondies au dix-millième :

1. Le plus petit entier $k$ tel que $P(X⩽k)⩾0,9$ est
   $P(X⩽10)\approx 0,8943<0,9$ et $P(X⩽11)\approx 0,9493⩾0,9$ : $k=11$.
2. Le plus petit entier $k$ tel que $P(X⩽k)⩾0,95$ est
   $P(X⩽11)\approx 0,9493<0,95$ : il ne convient pas. $P(X⩽12)\approx 0,9784⩾0,95$ : $k=12$.
3. $P(9⩽X⩽12)\approx$ (au millième)
   $P(9⩽X⩽12)=P(X⩽12)-P(X⩽8)\approx 0,9784-0,6736\approx 0,305$.

$X$ suit $ℬ(50;0,1)$. On utilise la calculatrice et la fonction seuil du cours.

1. Justifier, en citant deux valeurs, le plus petit entier $k$ tel que $P(X⩽k)⩾0,95$ : $k$ =
   Rédaction attendue. La suite des $P(X⩽k)$ est croissante en $k$. La calculatrice donne $P(X⩽8)\approx 0,942<0,95$ et $P(X⩽9)\approx 0,975⩾0,95$. Le plus petit entier $k$ tel que $P(X⩽k)⩾0,95$ est donc $k=9$.
2. L’appel seuil(50, 0.1, 0.9) renvoie
   La fonction renvoie le plus petit $k$ tel que $P(X⩽k)⩾0,9$ : $P(X⩽7)\approx 0,878<0,9$ et $P(X⩽8)\approx 0,942⩾0,9$, donc $8$.

$X$ suit $ℬ(80;0,25)$. On cherche un intervalle $[a;b]$ tel que $P(a⩽X⩽b)⩾0,95$.

1. Le plus petit entier $a$ tel que $P(X⩽a)>0,025$ est
   $P(X⩽12)\approx 0,022⩽0,025$ et $P(X⩽13)\approx 0,042>0,025$ : $a=13$.
2. Le plus petit entier $b$ tel que $P(X⩽b)⩾0,975$ est
   $P(X⩽27)\approx 0,971<0,975$ et $P(X⩽28)\approx 0,983⩾0,975$ : $b=28$.
3. Justifier que $P(a⩽X⩽b)⩾0,95$. Valeur au millième de cette probabilité :
   Rédaction attendue. $P(13⩽X⩽28)=P(X⩽28)-P(X⩽12)$. Par définition de $b$, $P(X⩽28)⩾0,975$ ; par définition de $a$, $12$ ne convient pas, donc $P(X⩽12)⩽0,025$. Ainsi $P(13⩽X⩽28)⩾0,975-0,025=0,95$. À la calculatrice, $P(13⩽X⩽28)\approx 0,961$.